每次好奇心冒頭時，別壓住念頭，多問一個為什么，會幫到你很大的忙。直接的好處是你逐漸理解發現或發明數學數學和計算機算法開創者的良苦初心。初心是相同的。數學中的基本原則是，如果一個問題很難，你應該嘗試將其線性化，這樣你就可以盡可能多地將其簡化為線性代數。接下來討論的向量的相加/相乘，都是將復雜的問題轉換為線性的問題！近似假設重力加速度為10m/s^2，則左側黃色的繩索張力是 40牛，右側綠色張力是30牛，兩個力的合力 ≠ (4+3) = 7 ，那么等于多少呢？這時，我們發現描述每一個砝碼的質量用一個數就能表達：1kg，但表述力僅僅有數量不夠的，還有方向。嚴格的說，描述砝碼的重量僅僅用 1kg也不夠，還需要重力加速度 9.8
圖中黃線代表的 力 Fy 和綠線代表的 Fg 又如何表達呢？
Fy = [0, 3] + Fg = [4,0] = Fr = [4,3]再看一個變換： Fy = [-3, 2] + Fg = [3,-4] => Fr = [0,-2]
本篇是概述??鏈接的深入探究 大喵看來，如果你覺得線性代數學起來吃力，責任大部分在老師。文章引用視頻來自著名的 3Blue1Brown essence of linear algegra 希望您通過視頻了解線性變換等抽象概念對應的幾何意義，對了解后續的課程有關鍵作用。視頻中啟發思考的方法論： 引入一個新的概念叫'變換'。談到變換的概念替換'函數'意義在于，僅僅停留在符合變換對理解線性代數沒有幫助。經驗告訴慎重引入新的概念，但如若要引入新的概念，衡量是否能到達更易于理解，更易于運算的效果。 視頻從線性代數概念的厘清開始，一系列后續的視頻講解基于幾何的角度看待線性數學。數學中的一個基本原則是，如果一個問題很難，你應該嘗試將其線性化，這樣你就可以盡可能多地將其簡化為線性代數。ACSL競賽的一道圖論中用到了矩陣的乘法， 詳見鏈接??ACSL 2020-21年競賽 | 第4場高級組 矩陣乘法--更確切地說，給定矩陣A的冪--是圖論中一個有用的工具，其中有關的矩陣是一個圖或一個有向圖的鄰接矩陣。更一般地說，我們可以把矩陣解釋為代表有向圖中的(可能是加權的)邊，該圖可能有也可能沒有循環，而矩陣的乘積則指定了具有特定結構的、成對頂點之間的所有步行的總數或總權重。Floyd-Warshall算法用于尋找加權圖中的所有對最短路徑，可以看作是計算圖的鄰接矩陣的冪，其中乘法A2=A?A， 是在語義 R,min,+,∞上定義的。矩陣在數學金融中以各種方式被大量使用。一個具體的例子是相關矩陣，其中一個條目(i,j)指定了在特定時間段內，工具i和工具j的價格變動的相關程度。每天都有大量的運算任務是計算這些矩陣，并對其進行進一步分析，以便在一定程度上試圖量化與工具組合相關的風險量。Tensors, scalars, vectors and matriceshttps://github.com/bovem/publications/tree/master/Linear%20Algebra張量、標量、向量和矩陣。張量在計算中表達為二維數組(數字、函數等)，它以任意數量(0 或更大)的維度展開。 TED視頻 | 講解什么是向量 vector？ 關鍵詞：張量、標量、向量和矩陣 維數稱為張量秩，秩 0 張量
沒有維度(0)的張量。A 是 0 維張量
秩 1 張量
僅在一維中展開的張量。如圖所示，秩 3 張量具有立方體(或長方體狀結構)。如果張量的秩超過 3，則很難可視化。“ ... .... 矩陣乘法在量子力學和整個物理學中起著重要作用。這方面的例子包括慣性張量、使用哈密頓人對物理系統演化的連續時間描述，特別是在具有有限數量基態的系統中），以及狹義相對論中洛倫茲變換的最一般表述。廣義相對論還使用了張量，張量是行向量、列向量和矩陣這類對象的概括。非常粗略地講，行向量和列向量是 '一維 '張量，它的系數只有一個索引，而矩陣是 '二維 '張量，它的系數有兩個索引，有兩種不同的 '種類'，分別代表行和列--如果你愿意，輸入和輸出。張量允許三個或更多的索引，并允許一個以上的索引具有相同的 '種類'。考慮到用列表示向量的慣例在物理學中很常見。然后我們經常用一個尺寸為n?×n?的矩陣來確定線性變換 T：??1→??2：用這樣的矩陣T乘以列向量x∈??1，得到另一個列向量T x∈?2。T的列空間定義了輸出，而行空間定義了輸入。此外，固定T的一個列索引'a'（識別一個單列）決定了給定標準基向量e?作為輸入的輸出；然后行索引描述了輸出的向量的系數。機器學習的一個核心主題是在數據空間中尋找結構（最好是線性結構）；如果你可以的話，你的觀察的內在維度見特征面 ... .... ' 標量是 0 秩張量—在物理學中，各種量表示為標量，例如：距離(500公里)，溫度(10oC)，速度(34公里/小時)等。秩 1 張量稱為向量。物理量如受力(見上圖)中力是有方向和大小，速度(10 m/s)、位移(向東 54 m)、電磁場 (1 V/m)。不需要其他信息(如方向)的量(如溫度)表示為標量。然而，需要指定方向的量與其大小一起用向量(如電場)表示。 向量用粗體字母,如“E”或字母上方的箭頭表示。為了繪制一個向量，我們使用它的元素作為坐標的值(分別為x，y和z軸)。在這里，第一個元素(0.5)被當作x值，第二個元素(0.5)被當作y值,如果我們有三個元素，第三個就是z值。矢量 E 在圖形上繪制為藍點 將向量繪制為點后，我們從原點 （0，0） 向它放置一個箭頭。 向量只是具有一行（稱為列向量）或一列（稱為行向量）的矩陣。 矩陣 矩陣是秩 2 張量。我們之前已經看過矩陣。 秩大于 2 的張量簡稱為“張量”(秩大于 2 的張量沒有特定名稱)。 張量的概念將矩陣、向量和標量推廣到一個屋檐下(它們都是張量，但秩不同)。 矩陣作為向量的乘積： 當兩個向量相乘時，它們形成一個矩陣。 向量 X(3×1 階)將與向量 Y(1×3 階)相乘向量 X 和 Y 組合起來有 6 個元素，但它們的乘積本身就有 9 個元素。因此，一些矩陣可以分解為兩個向量的乘積。為了從行圖片中找到線性方程組的解，我們查看圖形，看看所有線是否有任何一個交點，該點稱為方程組解。如果沒有共同點，那么方程組就沒有解（如上例所示）。列圖是為每個變量單獨形成的系數矩陣。之后，變量與其系數矩陣（標量乘法）相乘并相加。然后，它等同于常數矩陣。為了在圖上顯示列圖片，我們將單個系數矩陣視為向量，并將這些向量繪制在圖上。 藍色向量是X的系數矩陣
紅色向量是Y的系數矩陣 綠色向量是常數矩陣 為了從列圖片中找到方程組的解，我們將系數矩陣與不同的變量值(x 和 y)相乘并將它們相加(向量加法類似于矩陣加法)。如果結果等于常數矩陣，則x和y的值稱為線性方程組解。對于此示例，正如我們在行圖片中看到的那樣，沒有解決方案。因此，對于列圖片中沒有 x 和 y 的值，總和向量將等于常量矩陣(或向量)。在尋找任何線性方程組的解時，我們可能會遇到以下三種情況之一
一個獨特的解決方案
考慮一個線性方程組：為了驗證解決方案 x= 2 和 y=1，我們從列圖片中替換它們的值并計算。 因此，x=2 和 y=1 是方程組(4)(5)和(6)的一個唯一解。無限多的解決方案
考慮一個線性方程組：在這里，我們有解決方案，但它們的數量無限大,因為兩條線幾乎在每個點上相交。因此，x 和 y 可能有無限多的值，以便列圖片返回常量矩陣。除了前面討論的矩陣乘法方式之外，我們還可以通過另外兩種方式進行乘法中：當一個矩陣的各個列與另一個矩陣的行（標量乘法）相乘時，結果矩陣相加。第一個矩陣(1)的第 4 列乘以第二個矩陣的第 1 行，第一個矩陣(2)的第 5 列乘以第二個矩陣的第 2 行，依此類推應用資源 ： 統計物理學中的高維問題有時可以直接用矩陣乘法來解決，見http://en./wiki/Transfer_matrix_methodhttp://en./wiki/Ising_model 其中一個N粒子系統可以通過計算2x2-m的N次方來 '解決'。2x2矩陣的第N次方來 '解決'，否則，我們將不得不計算2N的和 項的和來得到同樣的結果。矩陣乘法是深度學習和卷積神經網絡的主要內容。2012年開始，深度學習算法已經迅速成為各種問題的最知名的算法，其中值得注意的是圖像分類，其中卷積神經網絡CNN被使用深度學習與一些卷積層，而且值得注意的是在GPU上運行，而不是CPU。而深度學習和卷積神經網絡在很大程度上是（密集的）矩陣乘法，在訓練和推理階段都是如此。這篇文章解釋得很好：https:///2015/04/20/why-gemm-is-at-the-heart-of-deep-learning/ Joseph C. Kolecki,將在課堂精講中分享 3Blue1Brown essence of linear algegraGilbert Strang's Linear Algebra course我知道我這樣說是要把我自己置于危險之中，但是，嘿！我個人認為：這門課程可能適合對線性代數的應用、具體表現感興趣的學生。這不是我推薦給對數學之美感興趣的學生的課程，也不是為深入研究數學做準備的課程。事實上，它與我推薦的課程正好相反。現在，讓我再次強調：學習線性代數有許多不同的理由。如果你學習它是因為你認為你想成為一名數據科學家或機器學習或游戲的軟件工程師或諸如此類的事情，那么這可能被證明是對你非常有效的課程--盡管我自己仍然會選擇以一種非常不同的方式來教你這些東西。如果你希望成為一名數學家，或者至少看到高等數學是怎么回事，它的抽象能力和思維的純粹性，以及對證明和想法的強調，那么我相信這絕對不是適合你的課程。還有一點需要注意的是：吉爾伯特-斯特朗是麻省理工學院的數學教授。我是互聯網上的一個家伙。你認為我的意見有多大價值，就把它放在多大的位置上。我最近在Quora上寫道，我愛上了數學，這要感謝我在本科第一學期的實分析和線性代數老師。我所學的線性代數是非常抽象的：我們在一般的領域里工作（不僅僅是實數或復數），我們強調無基礎的方法（線性變換，而不是矩陣），我們學習如何干凈利落地證明事物，我們確實做計算作為鞏固理論的一種方式，但它從來不是主菜。斯特朗的課程采取了相反的方法。課程的重點是幾乎完全放在矩陣上。計算技術被貫穿強調。一切都在實數或復數之上。如果我學的是斯特朗的課程，我就不會對數學產生濃厚的興趣。我認為，學習線性代數的關鍵好處之一是接觸抽象的數學思維和證明。這些主題在智力上的好處遠遠超過你在這門課程中希望學到的其他東西。這使得它對一些學生來說是一門具有挑戰性的課程，但這恰恰說明了一些重要的事情正在發生：我們正在學習新的東西。當然，這將是困難的。我會按照我的教學方式來教授線性代數：這里有向量和變換的具體概念，來自物理學（疊加）、幾何學和微分方程，現在我們將忘記所有這些，引入向量空間的抽象概念，在標量場的抽象概念之上，以后我們將遇到這些對象之間的箭頭：線性變換，簡單而自然地定義為結構保持的映射。是的，有限維矢量空間有基，一旦你任意選擇一個基，那么矢量就變成了標量的列，線性變換就對應于矩陣。但是不同的基的選擇會給你完全不同的列和完全不同的矩陣。真正具有行列式、跡線和特征值的是線性變換，而不是矩陣。這些都是對象的內在屬性，而不是其雜亂無章的、任意的表述。 之間的解耦，以及線性變換和矩陣之間的解耦，就是錯過了在我看來是線性代數的主要令人敬畏的課程之一。我不可能用其他方式來教它。那么，這門課程適合初學者嗎？我不知道你是誰，也不知道你希望能學到什么。如果你還沒有準備好，那就不合適。如果你準備好了，并且樂意滿足于理論的平凡、具體方面，那就去吧。我不認為這是開始你的數學之旅的合適方式，但你的旅程不需要是我的旅程，也不需要通向更高的數學和證明之類的東西。也許這正是你所需要的。皮克斯Pixar動畫技術是數學和計算機科學的許多分支的一個了不起的交叉點。我甚至敢說，'交叉 '并不能很好地說明所涉及的數學的深度和廣度；它更像是整個CS研究主題，從軟件工程一直到抽象數學的統計和物理學的 '大合作'！通常使用的比喻是相機指向一個三維場景，相機將它 '看到的 '東西 '渲染 '成一個二維圖像。我們需要計算所有從場景中到達相機鏡頭的光線。下面的積分描述了 '渲染 '方程，它是一個遞歸的定義，說明從某一點向某一方向移動的光是它在該方向上發出的光的總量，加上它從宇宙中其他每一點反射的光的減去的部分——矢量的和 這個精確的定義在實踐中是沒有用的，因為存在著無限的點和無限的遞歸，而計算機并不擅長這些，但顯然大自然是擅長的--如果你喜歡對這些事情進行哲學思考，那就很好奇了。相反，我們使用統計技術對渲染方程進行近似。就個人而言，計算機圖形學實際上是學習許多統計學概念的一種非常有趣和直觀的方式，如MCMC方法、重要性抽樣、統計力學和偏差-變異權衡等。物理學在這里也有涉及。光不是一個標量--它有偏振，我們需要決定用什么基礎來表示光（我們是否使用RGB基向量？我們是否允許顏色值大于255？）好了，我們可以畫圖了，但我們仍然需要知道要畫什么。在上圖中，悲傷（角色）正漂浮在一些熔巖上面的枕頭墊上。她穿著一件毛茸茸的毛衣，當她說話的時候，她的臉在運動中變形。對于像熔巖這樣具有復雜行為的東西，模擬它可能比讓藝術家把它的流體平流行為做成動畫更容易。在我們繪制物理現實的圖片之前，我們往往需要模擬物理現實本身。毛衣是由布制成的，它的行為有點像彈簧的阻尼系統，每根毛衣線都是一個彈簧。這必須被模擬出來，以便在悲哀移動時表現得像一件毛衣。悲傷的頭發也是一個“彈簧”系統，從她頭部的運動中吸收動能，并受到風的影響。熔巖會發出光（這也是光傳輸模擬的內容）。如果熔巖模型是根據第一原理建立的，我們實際上可以用熔巖發出的黑體輻射量來計算光線。但這可能是不必要的，如果著色師只是提前決定發射的顏色。請注意，皮克斯Pixar的業務不是制作完美逼真的渲染，而是觸動人心和賺錢。有能力在燈光的數量和圖像的漂亮程度上挑戰極限，可以為藝術家提供更多的創作空間，所以這就是皮克斯在數學/技術方面進行大量投資的原因。正如可汗學院的 'Pixar In a Box '布局部分所提到的，場景幾何的表示是通過大量的線性代數完成的。無論是建模人員調整角色面部網格的一些頂點，還是布景師安排一些物品，都需要移動一些東西，或者說 '變換'。這些 '變換 '是用線性代數表示的。旋轉、變換和縮放都很簡單，但線性代數也涉及反運動學問題（如動畫）和模擬的數值解算器（即為彈簧力學的數值解算尋找大型方程組的解，或在Sadness的臉頰被壓扁時保留體積。不時地，一個物體可能墜落并與其他一些物體相撞。網格的碰撞也必須被模擬。更多的數值方法，如果碰撞的物體是軟的，可能需要有限元方法。4. 陰影Scene Representation與渲染緊密相連的是陰影，它描述了場景中的每一小塊幾何體如何對進入的光線做出反應。同樣，我們在這里試圖模擬現實。凹凸不平甚至是模糊的表面與平坦的表面有明顯的區別，因為它是如何反射光線的。現實中的表面比計算機模型要凹凸不平，而且是異質的在組成上，所以這種幾何形狀要用陰影來補償。
機器學習、線性回歸和其他參數模型在這里發揮了作用，而BSSDF模型是另一個活躍的研究領域。事實上，只要有足夠的數據，機器學習方法實際上可以用來對光場方程本身做回歸--也就是說，對光的積分結果做一個 '猜測'，甚至不需要做完整的路徑追蹤。這些擬合的模型可能是統計分布本身--一個微面模型，可以用來產生針織毛衣或頭發或皮膚的閃亮的中觀反射行為。令人驚訝的是放大仔細看，這些只是原始的立方體和環狀體，沒有一縷毛發的幾何形狀。這些圖片是通過從實際的模糊物體對光的反應的統計分布中取樣而形成的陰影，事實證明，再現一個物體的行為的統計數據可以作為一個非常好的底層物體毛皮幾何的印象。www.cs.drexel.edu/~david/Classes/CS586/Papers/p271-kajiya.pdf計算機圖形學促進了很多有趣的數學組合，你可能在其他地方看不到。像拋物線、樣條線和分形這樣的基本東西在計算機圖形學中隨處可見，無論是以大規模、參數化的方式繪制簡單的曲線幾何圖形，如草地，還是隨時間變化的聯合動畫的平滑運動曲線。Keenan Crane在這個領域做了很多非?？岬墓ぷ?。我自己也不太明白，但它似乎對計算復雜性有很大的改進，并使某些保角的網格操作變得可行（比如把兔子變形為球），而這在以前使用傳統的網格表示法是不可能的。所有情緒的頭像都是由閃亮的材料制成的 這無疑給圖像帶來了一些混疊困難，所以必須使用抗混疊方法?？够殳B也是渲染的一個重要部分（見http:///www/articles/filtering/filtering.htm），這就帶來了有趣的問題，即混疊對于光傳輸的蒙特卡洛估計是否有更深的意義。從藝術的角度來看，空間頻率的概念也很重要，因為具有空間頻率頻譜的作品往往在視覺上更引人注目見http:///www/articles/multiresaocc/multiresaocc.htm布景師會在一個場景中穿插大塊的內容，然后在更高的細節水平（頻率）上逐步細化。這也可以通過程序來完成，即多個八度空間頻率被組合在一起，產生像頭發、灌木等現象的 '印象'。總而言之，計算機圖形學跨越了很多數學，因為圖形學的圣杯是模擬所有的物理現實(光、流體、碰撞)，盡可能快地模擬CS算法和數據結構。Pixar-in-a-Box課程是一個很好的開始，可以了解計算機圖形如何在更常見的操作中發揮直接作用。對于更高級的數學概念，在年度SIGGRAPH會議GRAPHics和互動技術特別興趣小組和其他圖形會議上發表的論文列表主頁:這些真的擴大了數學的兔子洞。每年的主題都會有所不同，但研究領域包括微分幾何、優化、數值方法。迪斯尼研究也做了一些很酷的工作：紙質發電機從觸摸、摩擦和滑動中獲取能量，而這也僅僅是CG的數學方面和與皮克斯有關的工作。還有很多計算機科學和用戶交互的研究 (215.5K views)
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