【原】角平分線的綜合探究，考查全等和相似，基本功底還是非常重要

【問題】北師大版數學八年級下冊P32第2題：

已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上.

解答:某數學興趣小組在小明同學提出了如下的解題方法：

如圖2，過點F作FG⊥AD于點G，作FH⊥AE于點H，作FM⊥BC于點M，由角平分線的性質定理可得FG=FM，FH=FM

∴FG=FH

∵FG⊥AD，FH⊥AE，

∴F在∠DAE的平分線上

【探究】(1)小方在研究小明的解題過程中，還發現圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數量關系，請你直接寫出它們的數量關系：____________

(2) 小明也發現∠BFC和∠GFH之間存在一定的數量關系，請你直接寫出它們的數量關系：____

(3) 如圖3，邊長為3的正方形ABCD中，點E、F分別是邊CD、BC上的點，且DE=1，連接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，求BF的長.

【拓展】如圖4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B，將△DEF在頂點D在放BC邊的中點處，邊DF交線段AB于點G，邊DE交線段AC于點H，連接GH，現將△DEF繞著點D旋轉，在旋轉過程中，△AGH的周長是否發生變化？若不變，求出△AGH的周長，若改變，請說明理由.

解：(1)BC=BG+CH(提示：易證△FBG≌△FBM，△FCM≌△FCH得BG=BM，CH=CM)

(2)∠BFC=∠GFH

(3)在CB的延長線上取點G使BG=DE,易知△BAG≌△ADE，AG=AE，∠DAE=∠BAG；而∠BAF+∠DAE=45，得∠BAG+∠BAF=45，即∠GAF=45，故△AFE≌△AFG，FG=FE，即有EF=BF+DE

由已知∠B=∠C=∠HDG，∠BDG+∠CDH=∠CDH+∠CHD得∠BDG=∠CHD得△BDG~△CHD得而BD=CD得，∠HDG=∠B，故△BDG~△DHG，得∠BDG=∠GHD，又∠BDG=∠CHD，DH平分∠CHG；同理可得DG平分∠BGH；

作DM、DN、DO分別垂直于AB、GH、AC于點M、N、O，易知DM=DN=NO可得△DGM≌△DGN，△DHN≌△DHO，GN=GM，NH=OH得AG+GH+AH=AM+AO=2AM；而由射影定理可知AD²=AMAB得AM=，故△AGH的周長不變為

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