數論那些事兒之高斯和《數論探究》

今天給讀者朋友們介紹一下大數學家 Gauss 和他的專著《數論探究》的內容 , 希望讀者能喜歡 . 更多精彩內容請關注：

從19世紀開始 , 數論逐漸成為現代數學中的主流且同時產生了代數數論和解析數論兩大分支 , 原因就在于理論上的系統化和研究方法上的創新 , 這就不得不提及大數學家 Gauss 和他的《數論探究》一書 . 而《數論探究》的前言里寫道 , Euclid 和 Diophantine 都研究了數論中的許多特殊的規律 , 但數論需要由一般原則 , 這些原則已經由 Fermat , Euler , Lagrange 和 Legendre 開始研究 . 《數論探究》一書共有七章 , 前四章分別是同余 , 一次同余 , 冪剩余和原根指數 , 二次同余和二次互反律 , 首先在這一部分 Gauss 采用了同余式符號 , 系統地闡述了同余式運算法則和模 同余類的概念 , 并嚴格地證明了一系列關于同余性質的重要定理(如 Fermat 小定理 , Euler 定理等) . 其次 Gauss 在這一部分論述了原根和指數的概念和性質 , 用現代數學的語言來說就是研究有限 Abel 加法群 和乘法群 的結構 , Gauss 嚴格證明了乘法群 是循環群 , 其中 是素數 , 而該群的生成元是模 的原根 , 事實上原根存在定理是由 Euler 提出來的 , 只不過 Gauss利用指數理論計算出模 的原根共有 個 , 其中模 的原根就是 階乘法循環群 的生成元 . 然后 Gauss 還給出了一次和二次同余方程的解法并用來求一次和二次不定方程的整數解 , 即 Gauss 敘述了一次不定方程求整數解的完整理論 , 對于一元二次同余方程 , 則采用配方法把問題歸結為最基本的情形 , 由此建立了二次剩余的概念和性質 , 二次剩余理論的核心部分是二次互反律 , 而二次互反律的建立是 Gauss 的一項偉大的工作 , 它為代數數論的發展提供了源泉 .

《數論探究》的第五章和第六章則論述了二次不定方程 的整數解問題和具體應用 , 其中 , 如果上面的二元二次不定方程有整數解 , 那么稱二元二次型 表示整數 . 于是 Gauss 研究下面的一般問題 , 即一個固定的二元二次型 可以表示哪些整數 ？

對于這個問題 , Gauss 并不是對二元二次型逐個進行研究 , 而是對所有的二元二次型加以分類 , 他繼續使用 Lagrange 的方法 , 用行列式為 的二階整數方陣群的作用 , 把二元二次型分成不同的等價類 , 而判別式 是等價不變量且等價的二元二次型表示相同的整數 . Gauss 還發展了 Lagrange 的約化方法 , 證明了對每個非零整數 , 判別式為 的二元二次型只有有限個等價類 . 當 時 , 即 是正定二次型 , 其中 , 證明是比較容易的且由 Lagrange 給出 . 而當 時 , 即 是不定二次型 , Gauss 重新定義了約化二元二次型的定義 , 證明需要克服很多困難 . 如果用 表示判別式為 的二元二次型的等價類的個數 , 那么 Gauss 對很多 計算了 的值 . 之前 Lagrange 給出了 , 而 Gauss 計算出當 時 且猜想對于其他負整數 均有 . 這個猜想直到1967年才由英國數學家 Baker 和美國數學家 Stark 分別獨立證明 , 只不過 Baker 使用超越方法而 Stark 采用模形式理論 . 另外 Gauss 還作出如下猜想 , 即存在無限多個正整數 使得 , 這個猜想至今未解決 .

Gauss 還把 Lagrange 關于二元二次型的合成運算的定義進行了修改 , 并證明這是二元二次型等價類的運算且這個運算滿足結合律和交換律 . 用現代數學的語言來敘述就是所有判別式為 的二元二次型的等價類似于合成運算形成 階 Abel 群 , 同時他不但給出計算 的解析公式 , 而且還建立了二元二次型的 genus 理論 . 根據這個理論可以證明 , 如果 有 個不同的素因子 , 那么 . 直到19世紀后期 Dedekind 建立了理想論后 , 上述這些 Gauss 給出的結果直接轉化為二次域理想分解和理想類群作為經典代數數論的結果 . 事實上根據 Gauss 關于二元二次型合成運算的定義 , 為了驗證合成運算滿足結合律 , 則需要驗證 個等式是否成立 , 直到 Dedekind 采用理想論的語言后 , 這樣的運算就是 trivial 的 .

《數論探究》的前六章是純粹數論的內容 , 而第七章則是研究一個幾何問題 , 即對滿足什么條件的正整數 , 我們可以用尺規作出一個正 邊形 , 上面的問題還可以用下面的方式描述 , 對于哪些正整數 , 可以用尺規將單位圓周 等分 . 在復平面上把單位圓周 等分 , 如果圓心在原點而其中一個分點為 , 那么 個分點為 , 其中 .  事實上很早的時候古希臘人就知道如何用尺規作出正三角形 , 正方形和正五邊形 , 而且也掌握了用尺規作角的平分線 , 于是如果可以用尺規作出正 邊形 , 那么一定可以作出正 邊形 . 而 Gauss 在十幾歲的時候就用尺規作出了正十七邊形 , 這一結果的理論背景為如果 和 均為形如 的不同素數( Fermat 素數) , 那么可以用尺規夠作出正 邊形 . 后來在19世紀中期誕生了 Galois 理論 , 這意味著 Gauss 已經找到了可以用尺規構作出的全部正 邊形 .

下面我們討論一下 Gauss 是如何證明這一結論的 . 首先利用初等數論的知識可以證明 , 若用尺規可以構作出正 邊形和正 邊形 , 且 和 互素 , 則可以用尺規構作出正 邊形 , 于是問題歸結為要證明對每個 Fermat 素數 可以用尺規構作出正 邊形 . 為此 Gauss 研究 , 其中 和 是 Legendre 符號 , 即對于與 互素的整數 , 有

而 稱為 Gauss 和 . 故 Gauss 利用 Legendre 符號的關系 證明了

因此 , 進而 Gauss 還證明了上式的右邊恒為正數 , 即 . 如果令 和 , 那么 和 , 于是有

根據平面幾何的知識 , 如果確定一個單位長度的線段 , 那么可以用尺規構作出長度為任意正有理數的線段 , 更一般地 , 如果用尺規可以構作出復平面上的點 和 (即復數 和 ) , 那么可以構作出由四則運算得到的復數 , 和 以及開方運算得到的復數 , 事實上上述的這些結果完全可以用 Galois 理論來解釋 . 于是我們設 和 是可以根據尺規構造出的復數 , 并設 是 Fermat 素數 , 記 以及取 為模 的一個原根 , 則模 的 個二次剩余為 , 其中 , 而 個非二次剩余為 , 其中 , 故 和 均是 個 次單位根之和 , 即 和 , 進而模 的四次剩余共有 個 , 即 , 接下來令 和 , 則 和 均是 個 次單位根之和且滿足 . Gauss 證明了 可以用有理數以及 和 通過四則運算表達出來 , 從而 和 都可以由尺規構作出來 , 注意到 和 是二次方程 的解 , 根據求根公式可知 , 這一過程的運算只有四則運算和開方運算 , 于是 和 均可以由尺規構作出來 . 同理可以證明 個 次單位根之和為 也可以由尺規構作出來 , 如此進行下去便可以得到 可以由尺規構作出來 , 因此可以用尺規構作出正 邊形 , 其中 是 Fermat 素數 , 以上就是 Gauss 的證明過程 .

Gauss 和以及它的各種推廣成為了數論研究的重要工具 . 在18世紀時 Euler 研究 Fermat 猜想在 的情形時使用了三次單位根 , 而 Gauss 更進一步研究了單位根 的性質 , 這成為了后來研究分圓域 的開端 , 注意到 , 即 可以由 次單位根表示 , 則二次域 是分圓域 子域 , 于是任何二次域都是分圓域的子域 , 以此為契機引發了 Hilbert 的第12個問題 , 這是一個代數數論的問題 . 雖然第七章在研究幾何問題 , 但實際上卻討論了代數數論中的分圓域理論 , 分圓域理論的深入研究是 Kummer 于19世紀中期的重要工作 .

以上就是 Gauss 的著作《數論探究》的主要內容 , 我們今天就暫時討論到這里 .