往年高考題精選(24)——曲線上動(dòng)點(diǎn)距離的最值

往年高考原題精選(24)——曲線上動(dòng)點(diǎn)距離的最值

原創(chuàng)聲明：所有例題的答案和題目的答案均為作者寫的.

求兩條曲線上的動(dòng)點(diǎn)的最大值和最小值，需要建立函數(shù)關(guān)系式，這也考查了同學(xué)們從一個(gè)圖像情境上的數(shù)學(xué)建模能力.

這樣的考查方法綜合了直線與圓(平面解析幾何)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、基本不等式等知識(shí)，是當(dāng)前高考考查的熱點(diǎn).

例1.【2023四省聯(lián)考, 14】

若分別是拋物線與圓上的點(diǎn), 則的最小值為 _____________.

解： 先求到圓心的最小值, 于是的最小值是的最小值減去半徑. 設(shè), 則

令, 則, 所以在單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增. 于是最小值為, 的最小值為, 的最小值為.

例2.【2019年山東新高考適應(yīng)性測(cè)試, 6】

已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn), 為圓上的動(dòng)點(diǎn), 則的最小值是

• A.
• B.
• C.
• D.

解： 【方法一】設(shè), 圓的圓心為. 則的最小值等于的最小值減圓的半徑. 而

令, 則

所以在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 因此的最小值是, 的最小值是, 的最小值是, 從而答案是A.

【方法二】畫出與圓的圖象如下.

可以發(fā)現(xiàn), 在處取得最小值(基本不等式), 記. 而圓縱坐標(biāo)最高的點(diǎn)是. 所以由圖可知的最小值是.

例3. 設(shè)是可導(dǎo)函數(shù). 若曲線與不相交, 在曲線上, 在曲線上. 證明：當(dāng)取得最小值時(shí), .

證明： (1)先固定點(diǎn). 令, 則當(dāng)取最小值時(shí), , 即

因?yàn)?span>與不相交, 所以, 因此

(2)再固定點(diǎn). 令, 則當(dāng)取最小值時(shí), , 即

因?yàn)?span>與不相交, 所以, 因此

(3)綜合(1)(2), 當(dāng)就能取到最小值時(shí), 同時(shí)成立, 此時(shí), .

注： 如果其中一條曲線是圓或者直線, 那么這個(gè)方法（二級(jí)結(jié)論）并不一定能給你帶來便利(你可以把這個(gè)定理用在上面兩個(gè)例題試試看), 僅適合拿來檢查，所以要謹(jǐn)慎使用.

往年高考題練習(xí)

1.【2013重慶, 文4】 設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn),是直線上的動(dòng)點(diǎn), 則最小值為

• A. 6
• B. 4
• C. 3
• D. 2

2.【2013重慶, 7】 已知圓, 圓, 分別是圓的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn), 則的最小值為

• A.
• B.
• C.
• D.

3.【2011湖南, 8】 設(shè)直線與函數(shù), 的圖象分別交于點(diǎn), 則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為

• A.
• B.
• C.
• D.

4.【2014福建, 9】設(shè)分別為圓與橢圓上的點(diǎn), 則兩點(diǎn)間的最大距離是

• A.
• B.
• C.
• D.

5.【2012課標(biāo)全國, 12】設(shè)點(diǎn)在曲線上, 點(diǎn)在曲線上. 則的最小值為

• A.
• B.
• C.
• D.

6.【2019江蘇, 10】在平面直角坐標(biāo)系中, 是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則點(diǎn)到直線的距離的最小值是 _______________.

7.【2013江蘇, 13】 在平面直角坐標(biāo)系中, 設(shè)定點(diǎn),是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn), 若點(diǎn)之間的最短距離為, 則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為 _______________.

8.【2020江蘇, 14】 在平面直角坐標(biāo)系中, 已知,是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 滿足. 則面積的最大值是 _______________.

9.【2012浙江, 文17理16】 定義: 曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離. 已知曲線到直線的距離等于曲線到直線的距離, 則實(shí)數(shù) ________________.

參考答案

所有答案都是我自己寫的，如果有誤或者有疑問，歡迎指出.

1. B. 提示：圓心到直線的最短距離是, 而圓的半徑為2, .

2. A. 提示：取關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn), 則在圓上, 且. 由于, 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)共線. 而的最小值就是圓與圓圓心距離減去半徑, 即.

3. D. 提示: 直線與函數(shù)分別交于與. 所以.

令, 則, 所以當(dāng)時(shí); 當(dāng)時(shí)0' data-formula-type='inline-equation'>, 即在單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增.

所以, 從而在時(shí)取最小值.

4. D. 提示: 設(shè), 則到圓心的距離是:

當(dāng)時(shí)取最大值, 所以到的最大距離是.

5. B. 提示: 函數(shù)與互為反函數(shù), 圖像關(guān)于直線對(duì)稱. 令,

經(jīng)過分別作垂線, 垂直于直線, 垂足記為.  則

由于, 求導(dǎo)可證得, 所以.

取到最小值的, 且重合, 都為點(diǎn)

6. . 提示: 設(shè), 則與直線的距離是

等號(hào)成立的條件是. 所以最小值為.

7. 或. 提示: 提示: 設(shè), 則

取, 則. 令.

①若, 則在單調(diào)遞增, 最小值為

此時(shí), 解得.

②若, 則在遞減, 在遞增, 最小值為

此時(shí), 解得.

8. . 提示: 由于, 則. 設(shè)到直線的距離為, 則, 易知. 則

考慮, 其中. 則

當(dāng)時(shí)0' data-formula-type='inline-equation'>, 當(dāng)時(shí). 當(dāng)時(shí)取最大值, 此時(shí)面積最大, 為.

9. . 提示: 圓心為, 半徑, 圓心到直線的距離. 所以曲線到直線的距離為.

對(duì)曲線求導(dǎo), 可得. 根據(jù)例3的結(jié)論, 曲線上離直線最近的點(diǎn)的斜率與直線相同. 令, 則. 所以曲線到直線距離最短的點(diǎn)為, 所以,  解得.