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    解析函數的泰勒級數

     形貌 2023-08-11 發布于北京

    定理1

    冪級數在其收斂域內絕對收斂,其和函數在該圓內解析,并且可以逐項微分、積分任意多次(即和函數的微分、積分等于各項微分、積分后得到的級數的和函數),得到的新的冪級數與原來的冪級數有相同的收斂半徑。

    定理2(解析函數的泰勒展開定理)

    如果函數f(z)在z0的某領域|z-z0|<R內解析,則對該鄰域內的任意點z有

    ?
    上式稱為f(z)在z0處的泰勒展開式,其右端的級數稱為f(z)在點z0處的泰勒級數(泰勒級數與冪級數),其中cn為泰勒級數的展開系數,可以表示為
    ?
    這里的C為該鄰域內任意一條包圍z0的正向簡單閉曲線。

    由于解析函數都可以展開為冪級數,而冪級數在收斂域內都解析,且可以逐項微分、積分,因此冪級數是一種很好的研究解析函數的工具。

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