基本不等式，只看這一篇就夠了！

基本不等式在原來的教材中叫做重要不等式，從這個(gè)命名方式大家就可以想見它的重要程度，這個(gè)內(nèi)容在數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)中是這樣給出的。

這部分內(nèi)容就算是初中生讀起來也沒有任何難度。但是，基本不等式在高中數(shù)學(xué)中具有極其重要的地位，從知識(shí)體系來說，基本不等式（也叫做均值不等式）不僅本身是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，而且能與多個(gè)知識(shí)分支相互融合；從思維能力角度來說，基本不等式反映了創(chuàng)造性和嚴(yán)謹(jǐn)性的有機(jī)結(jié)合，發(fā)散性思維和收斂性思維的辯證統(tǒng)一。所以我們要重視這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在考試中，這一塊還是會(huì)出現(xiàn)一些很難的題目的，值得我們好好研究一下。

【問題一】什么叫算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)？

平均數(shù)也叫均值，它是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，我們經(jīng)常用它來比較兩組數(shù)據(jù)的差異。

我們先看這樣一個(gè)問題：在高一入學(xué)后進(jìn)行的兩次數(shù)學(xué)考試中，A同學(xué)的得分分別是60和

120，B同學(xué)的得分分別是70和110。哪一個(gè)同學(xué)的平均成績更好？

很明顯，這兩位同學(xué)兩次考試的平均分都是90分，我們可以認(rèn)為兩位同學(xué)的成績從均值的角度是一致的。我們的算法是將兩次的得分相加，再除以2。這樣得出的平均數(shù)在數(shù)學(xué)上就叫做“算術(shù)平均數(shù)”。

對(duì)于上面的問題，我們?cè)黾右粋€(gè)條件，在高一入學(xué)后進(jìn)行的兩次數(shù)學(xué)考試中，第一次考試的滿分是100分，第二次考試的滿分是150分，A同學(xué)兩次的得分分別是60和120，B同學(xué)兩次的得分分別是70和110。哪一個(gè)同學(xué)的平均成績更好？

此時(shí)如果我們?nèi)匀挥们懊娴姆椒ǎ@然就不妥當(dāng)了，因?yàn)閮纱慰荚嚨木S度不一致，我們可以把兩個(gè)維度統(tǒng)一之后再比較看看。如果我們把第一次的分?jǐn)?shù)按滿分為150分換算，那么，A同學(xué)的得分就換算為90分，B同學(xué)的得分就換算為105分，所以兩次考試。A同學(xué)的平均分為105分，B同學(xué)的平均分為107.5分，B同學(xué)平均成績更好。在這個(gè)問題中，我們用算術(shù)平均數(shù)來計(jì)算，顯然兩位同學(xué)的平均分相等，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。當(dāng)然，如果這里我們通過計(jì)算和來比較兩人的平均分，仍然會(huì)得到B同學(xué)的成績好。這個(gè)方法求的就是幾何平均數(shù)，它研究的是兩個(gè)維度上（或多個(gè)維度）的問題。類似的問題還有很多， 如：某企業(yè)今年1月份的銷售額比上月增長

10%，2月份比上月增長20%，3月份比上月增長40%，那么，這三個(gè)月的平均增長率就為，并不是。

對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a和b，若a和b不相等，則這些平均數(shù)的大小都會(huì)介于兩者之間；若a和b相等，則這些平均數(shù)的大小都會(huì)等于a和b（這也是記憶這些平均數(shù)的方法）。因此我們就需要研究這些平均數(shù)之間的大小關(guān)系，從而得到了“均值不等式”。

【問題二】如何證明基本不等式。

基本不等式的內(nèi)容：

理解了公式的證明方法，也就能很輕松的記住和記牢公式。這是我們?cè)趯W(xué)習(xí)新公式時(shí)要遵循的方法，先考慮知其所以然，再知其然。因?yàn)椤斑^程都清楚了，結(jié)論自然就搞定了，不但搞定了，往往也就會(huì)用了”。

【問題三】基本不等式有什么用？

1.基本不等式的變形

基本不等式講的是兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，需要注意的是這兩個(gè)數(shù)可以是a和b，當(dāng)然也可以是a 1和b-1，甚至是x y-1和2x 3y 5，只要它們是兩個(gè)正數(shù)，就滿足基本不等式，這一點(diǎn)一定要想明白。

要想用好基本不等式，就需要搞明白上面的變式，理解它們的來龍去脈才可以。

2. 基本不等式的用法

基本不等式最主要的作用是用來證明不等式和求最值，由于高考主要考查的是求最值，并且兩種用法差異不大，因此這里只介紹用基本不等式求最值的方法。

關(guān)于這個(gè)問題，教材上是以一個(gè)例題的形式呈現(xiàn)的：

這也是高中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)特點(diǎn)，一些重要的知識(shí)、方法可能是以例題、練習(xí)或習(xí)題的形式出現(xiàn)的，閱讀教材不能只是去關(guān)心那些黑體字部分，不然你會(huì)丟失掉很多很多東西。

通過上面的例題我們就得到利用基本不等式求最值的解題步驟：

第一步：找到兩個(gè)正數(shù)x,y，注意它們是變量，不是常數(shù)，字母不一定是變量，也可以是常數(shù)。這是基本不等式求最值的第一個(gè)重點(diǎn)，基本不等式研究的是雙變量的最值問題，找出這兩個(gè)正數(shù)是這里最關(guān)鍵的步驟，因?yàn)檫@兩個(gè)正數(shù)可以是x,y,也可以是x 2y和2x 3y,這是需要你根據(jù)題意進(jìn)行判斷，題目可能明示，也可能暗示，甚至可能需要你通過變形、通過化簡、通過換元等等方法才能發(fā)現(xiàn)。很多同學(xué)這種題目做不好，往往就是因?yàn)槿鄙龠@一步的思考，直接就胡亂的套公式。這一步我們把它簡稱為“一正”，確定兩個(gè)正數(shù)。

第二步：若xy為定值（常數(shù)），則x y就可能有最小值。（積定和最小）

若x y為定值（常數(shù)），則xy就可能有最大值。（和定積最大）

這一步的關(guān)鍵是定值，因此這一步我們把它簡稱為“二定”，找出或構(gòu)造定值。

第三步：驗(yàn)證不等式的等號(hào)能取到，如果取不到等號(hào)，則說明方法有誤。在求最值的問題中如果前兩步很容易就滿足的話，等號(hào)很多是取不到的。因?yàn)槲覀冎馈疤焐喜粫?huì)掉餡餅”，“來得太容易的往往是假的，是坑”。這一步我們把它簡稱為“三相等”，保證取等，得出最值。

簡單說就是：一正，二定，三相等。積定和最小，和定積最大。

本題盡管不算難，但它體現(xiàn)的方法非常重要，大家可以多想幾遍，理解透徹了，很多題就能解決了。“換元”是一個(gè)很有用的方法，我們今后會(huì)經(jīng)常用到它。

上面兩道題分別對(duì)應(yīng)了兩種情況：積定和最小，和定積最大。因此解題時(shí)還要注意分析所求的是最大值還是最小值，這可以幫助我們判斷研究的是積還是和，因?yàn)楹团c積其實(shí)是相對(duì)的。看下面的例子：

這道題已知與結(jié)論都是以和的形式呈現(xiàn)的。

在用基本不等式求最值中，認(rèn)清兩正數(shù)是關(guān)鍵，認(rèn)清后，換元是重要方法，通過換元可以把題目迅速的轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。

這種題型非常重要，是試題中一個(gè)重要的出題點(diǎn)，很多題目的原型都是它。所以我們先給出這道題的一個(gè)通用的解法，它的理論依據(jù)來自于前面給出的一個(gè)變式。

需要注意的是，下面的解法是錯(cuò)誤的，大家想想錯(cuò)在哪了。

當(dāng)然，這道題也可以用前面3個(gè)例子的方法完成，畢竟它們的本質(zhì)都是一致的，也就是下面的方法二，但這里的變形，還是需要一點(diǎn)技巧的，大家要認(rèn)真體會(huì)這種變形方法。

上面的方法看起來很繁瑣，但仔細(xì)理清其中的道理，你對(duì)基本不等式的理解會(huì)有很大的提升。數(shù)學(xué)的很多方法其實(shí)都是這樣的，很多看似完全不相關(guān)的問題，其本質(zhì)往往是一模一樣的。

當(dāng)然，這道題還可以用函數(shù)的方法來處理，過程也很簡潔。

這道題最終我們還是轉(zhuǎn)化成用基本不等式的方法來求函數(shù)的最值。當(dāng)然，我們不用基本不等式，直接通過研究函數(shù)的單調(diào)性也是可以的，只是研究其單調(diào)性，用高二選擇性必修中的導(dǎo)函數(shù)處理會(huì)更方便一些，用單調(diào)性的定義處理就會(huì)比較麻煩。事實(shí)上，利用基本不等式求函數(shù)、特別是分式型函數(shù)的值域和最值，也是非常重要的方法。

由于函數(shù)與方程是息息相關(guān)的，因此，這道題還可以用方程的方法（判別式法）來處理。

這個(gè)方法又叫做“萬能k法”，它的特點(diǎn)是“問誰設(shè)誰（為k）”，把k看成常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為的一元二次方程（k以系數(shù)的方式出現(xiàn)）問題，最后用判別式構(gòu)造關(guān)于k的不等式處理，但一定不要忘了判斷取等的條件。既然叫“萬能k法”，適用面是非常廣的，前面的幾個(gè)例子（也包括后面的題目），都是可以用的。

這道題除了前面給出的四種方法以外，還可以用“三角代換法”和“幾何法”處理，這兩個(gè)方法需要用到三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，這里就不展開了。

以上8道題都屬于【例3】的類型，如果你都能解決，這塊知識(shí)就達(dá)到一定的火候了。

問題：什么時(shí)候取等號(hào)?

這個(gè)方法處理起來并不難，但有一點(diǎn)巧合，如果求的最小值就不好用了。所以我們類比【例4】的【方法三】就得到以下的解法，這個(gè)方法才是通法。

本題除了上面的方法，函數(shù)法與“萬能k法”都是可以的。

與前面的例子相比，本題沒有定值條件，但基本方法并沒有改變，我們?nèi)匀恍枰_定兩個(gè)正數(shù)。因此有

自己試一下，別急著看答案。

基本不等式求最值的基本方法就這些了，如果你能把這里給出的所有題目弄清楚，搞明白，對(duì)付一般的考試應(yīng)該是沒有多大的問題了。但是，更高階的方法這里仍然沒有涉及，象強(qiáng)基競(jìng)賽黨，還需要進(jìn)一步研究，這里就不展開了。

【寫在最后】

從基本不等式這個(gè)內(nèi)容來說，課本上只有很少的幾頁，但如果我們深入的去研究，就會(huì)覺得似乎無窮無盡，這也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，就象佛經(jīng)中所說的“芥子納須彌”。“芥子”指芥菜的種子，佛家以“芥子”比喻極為微小；“須彌”指須彌山，佛家以“須彌山”比喻極為巨大。生如芥子有須彌，心似微塵藏大千。很多東西，你以為搞清楚了，其實(shí)只是在你的認(rèn)知層面上搞清楚了，也許別人是在更高的層面上俯視你，你看到的只是“芥子”，別人看到的是整座“須彌山”。因此，多思考、多探索，學(xué)無止境永遠(yuǎn)都是真理。

芥子納須彌