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一、試卷結構的變化  填空題個數下降，在我看來是變向的降低試卷整體難度。學生在處理填空題時，在解決問題的過程當中只要出現一些細節上的問題或者小的失誤，就會導致結果出現錯誤，又沒有選項的提示，得分率相對較低，降低填空題目的數量便可以減少這種情況的發生，變向降低了整體試卷難度。  單項選擇題：第1題  單項選擇題：第2題 本題基于橢圓離心率求解橢圓方程中參數的一個問題，這個問題重點考查的就是橢圓中的相關概念。對于橢圓標準方程中的三個參數a、b、c而言，它們三個自身存在一個關系，即b、c的平方和的等于a的平方。如果通過題目條件再給出兩個關系，三個變量三個關系自然是可以求解的，所以這里是有著方程思想相關考查的。本題當中給出的條件是b的值以及離心率即c和a的比，隨后可以選擇不同的方式求解方程組，最終得到答案。這里要強調一個解題習慣，就是拿到橢圓或者雙曲線標準方程后，一定要首先分析長軸（實軸）的位置，避免出現錯誤的字母對應關系。  單項選擇題：第3題 本題是一個等差數列的相關考查，在上文中也提到過，本題的方法選擇對求解本題有很大的影響。對于等差數列而言，其基本量就是數列首項以及公差，即兩個變量，題目當中也給出了關于數列自身的兩個條件，可以圍繞著這兩個條件構造方程組求解基本量。這種方法是常見通法，通法適用范圍廣，但未必是最簡單的。本題可以利用等差數列性質實現更快的求解。由第3項和第7項我們可以推理出第5項的值，同時題目給出了第12項的值，那么自然角標和為5+12=17的兩項之和都是可以求解的，此時首項和第16項的和可以求解，而這個和就是求和公式中的“首項+末項”的結果，帶入求和公式后可以直接求解。這樣處理需要一定的觀察分析能力，但是運算量和化簡的量會大大減少。  單項選擇題：第4題 本題是一個立體幾何部分比較經典考題形式，讓我們根據給出的線、面的空間位置關系來判斷新的線、面空間位置關系是否成立。雖然是第四題，但是它出現的位置及考查的方式都是比較常規的。作為選擇題而言，找反例否定選項中的結論是比較常見的方法。但是，如果作為日常的練習，尤其是高一高二的同學，還是希望大家可以嚴格的對一些結論進行證明，還是要去培養自己推理論證的能力的，尤其是哪些基本事實（公理）、定理能直接使用，哪些定理結論不能直接用于高中階段的立體幾何證明，這些意識都是要通過日常練習慢慢建立起來的。尤其是在后期可能出現解答題分值提高的情況下，嚴謹的推理才能保證過程不被扣去分數。比如本題當中的C選項的證明，通過圖形關系感覺結論顯然成立，但是要完全利用課本內的定理證明還是有一定難度的，需要涉及到平行的轉化。又比如本題當中的D選項，它正確的結論應該是α與β平行（因為強調了是兩個平面，所以不能重合），這個結論看上去很直觀，同樣證明起來也具有一定難度。最后還要強調，日常訓練可以證明，但是考試還是通過圖形直接分析尋找反例性價比最高。  單項選擇題：第5題 本題是一個計數問題，經典的排隊背景。在隊列中有兩組元素是有特殊需求的，自然會利用到特殊元素特殊位置優先排列的方法。本題甲以及乙和丙是兩組特殊元素，那么優先排列哪一組都可以完成這個計數問題的。如果優先排列乙、丙，因為乙丙的位置只有兩種可能，第一步確定好位置，隨后分配乙丙具體的位置，再然后將甲排在非排頭的位置，最后再給兩個沒有要求的人安排位置即可。如果優先排甲，按道理是應該根據甲的位置分三種情況討論，但是根據對稱性，有兩種情況計數結果一致，綜合來看也就只分了兩類進行計數。總體邏輯與第一種方法基本類似，先確定甲的位置，再選擇乙、丙位置分布并安排他們具體的位置，最后安排兩個沒有需求的人的位置。但是第一種方法屬于直接分步；第二個屬于先分類，再在每一類中分步完成計數。   單項選擇題：第6題 本題是一個跨章節綜合問題，涉及到了直線方程以及平面向量的坐標表達兩個部分的知識內容。作為一個單選題，我們可以直接尋找題目條件背后的幾何含義，通過圖形直接判斷選項。可以在坐標系中做出直線l，并在上面繪制一個向量QP，當動點Q運動起來時，P隨著Q的變化形成的軌跡恰好是與l平行的一條直線，以此便可以否定A、B、D選項，只能選擇C選項了。如果要嚴謹說明的話，則需要利用到相關點軌跡方程求解的方法，題目中P是動點Q的相關點，用P的坐標表示Q的坐標，并將其帶入到Q所在直線的方程中，便可以得到動點P的軌跡方程了。由于E與l平行，隨后利用平行直線的距離公式可以求解出E上動點到l的距離了。到第6題為止，這六個問題的難度并沒有很大，而且題目的情景也相對常見，正如前文所說，前6個單選問題比較常規，還是比較容易進行處理的。雖然試卷當中難題是存在的，但不要一直盯著它，不要因為這次考試中的部分難題在日常復習中就一味抓著難題不放，千萬不要忽略一些通性通法的學習，拿到該拿的分數才能體現出求解難題的意義，不然難題分數有了，其他地方的分數丟掉，得不償失。  單項選擇題：第7題 本題涉及到了多個三角函數相關的公式，題目在三角函數范圍內有較高的綜合度，同時還有一定的計算量。題目首先給出了θ的范圍，隨后給出了θ二倍角和θ和角相關的正切關系。這里我們要意識到，題目給出的這個條件是關于θ的方程，理論上是可以對θ進行求解的。高中階段我們所謂的求解一個角，更多的情況下是求解出它的某一個三角函數值，對于這個條件，不論是正切的2倍角，還是正切的和角公式，如果我們對這兩個公式熟悉，那么它們進行恒等變換之后均只與tanθ相關，也就是說題目給出的條件實際上就是關于tanθ的方程。通過求解該方程并結合θ的范圍，我們可以計算出tanθ=-1/2. 此時問題就又變成了利用角的正切去求值的問題，這樣看來本就是將兩個問題連接在一起形成的一個新的問題，這種出題邏輯很經典，但換句話說就是比較老套。后續求解的式子實際上是可以化為與θ正余弦相關的齊次分式，通過同角三角函數關系化簡可以利用tanθ來表示該式，最終求值即可。  單項選擇題：第8題 本題是一個雙曲線離心率求解的問題，離心率求解通常都是要找到和a、b、c相關的一個關系，結合雙曲線中參數關系，即a、b平方和等于c的展開求解。從變量角度來看，三個變量兩個關系，雖然不能求解每個變量的值，但是變量間可以相互表達，進而得到c和a的比，也就是離心率。本題首先會考查到雙曲線的對稱性，因為直線過其對稱中心，所以直線與曲線的交點也是關于該中心對稱的，這樣兩個直線與曲線的交點和兩個焦點對應連線相互平分，可以形成平行四邊形。根據題目條件及雙曲線性質，可以將平行四邊形四個邊均利用a進行表達，但此時仍沒有得到字母間關系。想獲得字母間關系就需要在具體圖形中利用一些定理、公式了。如果圍繞焦點三角形解決問題，則可以利用題目給出的向量數量積來計算焦點三角形的一個頂角，隨后利用余弦定理建立字母間關系，進而求解離心率。由于題目還存在著平行四邊形，直接利用和、差兩種形式的極化恒等關系結合題目給出的數量積也可以找到三個字母之間的關系。我也看到有些同學利用中線長公式去解決問題，其本質就是加和形式的極化恒等關系。  多項選擇題：第9題 由于多選題的數量下降了，多選題部分的綜合程度實際上是有所提升的。本題便涉及到了三角函數的恒等變換以及三角函數圖象相關性質兩方面內容。題目給出的函數f(x)可以利用輔助角公式進行化簡，得到Asin(wx+φ)的形式。對于A選項，涉及到了簡單的復合函數和誘導公式的相關知識；B選項則涉及到了正弦相關函數對稱軸的求解；C選項涉及到了正弦相關函數的單調性；D選項則涉及到了三角函數相關的值域求解。如果今后多選題和填空題題量減少，這種綜合度較強的題目勢必會提高出現頻率，以平衡題目總量減少帶來的知識點覆蓋不足的問題。 多項選擇題：第10題 本題也是關于復數的一個綜合考查，而且本題不同的方法選擇耗時差異是很大的。之所以會有這種現象，就是輕視復數部分知識導致的，其實近幾年復數部分的知識在高考中也已經不是所謂的送分題了，同時很多高校的自主招生考試當中也都有復數相關的考查。復數如果只了解相關的基本概念以及四則運算是可以解決問題的，但是這樣會導致分析問題極其套路化，設出z=a+bi，之后一頓“猛算”。實際上，復數有著豐富的性質，同時有幾何含義以及三角表示，本題的四個選項均可以有不同的角度進行分析，所以下面的描述我不再說明利用z=a+bi運算的求解方式了。A選項可以直接通過運算結果進行判斷，等號左邊可能為虛數，右邊一定是實數，這里等式不成立；B選項利用復數與自身共軛復數之積等于模的平方，可以一步得到相應結論；C選項是共軛復數的性質，實際上通過復數的幾何含義可以十分直觀的理解和說明這個結論，也便于記憶；D選項是最能體現出差異的，如果直接利用四則運算方式分析，運算量極大，實際上《必修二》7.3部分的內容告訴我們復數除法的幾何含義就是模作比，輻角做差，那么自然商的模等于模的商。希望通過本題大家可以意識到復數相關的知識是值得深入學習的。 多項選擇題：第11題 本意是一個抽象函數性質的相關分析問題，也是近幾年比較熱門的考查方式，像23年新高考I卷的第11題就是一個相關的考查。抽象函數相關的問題通常都是有兩種思路的，第一種可以解決問題但不是十分嚴謹，就是去尋找這個函數的具體的解析式。本題當中給出的關系由于存在4xy，那么函數f(x)基本上就只能是多項式函數了，其他的函數形式很難出現這樣的項。同時等號左側有f(x)f(y)，那么這個多項式函數是一次的，否則左右關于變量次數是不一致的。基于以上原因我們可以利用待定系數求解函數解析式后進一步分析問題。另外一種求解方式就是比較常規的但是是絕對嚴謹的，我們通過不同的賦值來分析函數的取值和性質。具體賦值方式看下面解析即可，在此我想強調一下本題的特殊之處，即本題是可以求解出函數解析式的，通過賦值我們得到了f(x-1/2)的解析式，再利用整體代換是可以得到f(x)解析式的。實際上很多函數題目的解析式都是間接給出的，大家一定要熟悉哪些形式相當于告訴了我們函數的解析式，這樣才便于處理后續更為復雜的問題。 填空題：第12題 集合的考查放到了填空題的第一個，考查的并不是常規的集合運算，而是基于集合關系求解參數的問題，需要做出一些分析和推理，但難度并不算大。通過集合運算的結果我們可以知道A是B的子集，那么此時便有兩種邏輯可以處理本題，第一種就是計算出B中元素的范圍，然后使A中元素均在這個范圍之內，最終計算出m的最小值；另外一種則是利用子集定義，A中元素均屬于集合B，直接將A中所有元素代入到集合B描述法的描述當中去，得到與m相關的不等關系，以此計算m的最小值。 填空題：第13題 本題是空間幾何體相關的綜合問題，我們注意到，這個問題又是一個綜合問題，正如第9題中說的一樣，如果出現題目數量減少的情況，題目綜合性的提升是在所難免的。題目給出了一個軸截面為正三角的圓錐以及一個以圓錐高為直徑的球體，讓我們分別分析它們的體積和表面積的比。我們只需要利用圓錐的高分別表示兩個幾何體的體積和表面積即可。本題的難度實際上并不是很高， 填空題：第14題 本題是填選問題當中考查方式比較新穎同時具有一定難度的問題。題目新定義了一種對集合中元素取最大值的符號，并給從小到大依次給出了a、b、c三個在區間（0,1）上的實數，這三個實數實際上并沒有定量的關系，只有定性的限制，總體來看還是不相關的。我個人在解題時，習慣先考慮的還是去分析幾個變量之間存在的關系，由于是彼此之間沒有定量關系，就會考慮利用不相關多變量問題的思路處理問題。這里觀察到集合當中三個元素b-a,c-b,1-c代表的是依次排列在數軸上的點之間的距離，這三段距離之和是1-a，我們便可以先假定a是定值去尋找最值，這其實就是不相關多變量問題的分析思路。如果希望這三個元素的最大值取到最小，就需要這三個距離均相等，具體證明在下面解析中有所說明。此時為了取到最值，b、c就和a有了定量關系，隨后再根據題目提供的a、b的不等關系可以計算a的范圍進一步求解出最值。除了這種思路，本題還可以對這三個距離進行放縮和配湊去解決問題。在方法二中，用三個距離重新表示a、b，就可以發現每個關于a、b的不等關系都能變為若干個距離的和對應的最值關系，同時這個集合的最大值一定大于等于集合中的每一個距離，所以這里就可以通過放縮和配湊形成關于集合最大值的一個不等關系，進而計算最小值。本題當中的兩個條件之間使用“或”進行連接的，這也是與以往很多問題不同的地方，大家如果有興趣也可以嘗試將“或”改為“且”再去嘗試求解一下這個問題。 解答題：第15題 本題考查的是導數相關的知識和應用。解答題的第一題就考查導數，相信很多同學都是比較意外的，其實整張試卷從頭到尾只有這一個導數問題，還出成這樣的難度，我個人覺得不是特別合理，畢竟導數部分的知識是連接著高中和大學數學的紐帶。不過確實近幾年的高考解答題部分的知識點分布并沒有一定之規，其實側面給我們的復習增加了難度。回到這個問題，第一問通過垂直關系求解切線斜率，由于切點已知，求導后表示斜率便可以計算參數a的值。第二問就是很常規的利用導數分析函數的單調區間及極值的問題了，這里一定要關注到對數函數的定義域，其余的都是導數相關的基本技能考查。 解答題：第16題 本題是一個概率和離散型隨機變量相關的問題，其實核心還是去考查分析問題解決問題的能力。近幾年高考當中概率相關的考查背景變得逐漸復雜起來，在利用古典概型求解概率時，基本事件個數以及符合某個事件的基本事件個數的求解是這些題目的難點。對于本題而言，其難點也是在于計數。本題的全體基本事件個數的求解比較清晰，就是在總計8個球中選取3個。對于第一問，需要3個球兩兩不同，那么首先要確定三個標號，隨后從每個標號的兩個球當中選取一個球即可。第二問中給出的隨機變量X為所有球上的最小數字，那么首先我們要寫出隨機變量的所有取值，即1、2、3，之后分別分析取到它們的概率。這里要注意每個概率的求解都需要進行分類。拿1為例，我們要考慮到取出的三個球中有幾個1，如果有1個1，先要從兩個標號為1的球中取一個球，同時另外兩個球就要在標號為2、3、4的6個球中取；如果有2個1，那么只剩下1個球從標號為2、3、4的6個球中取。對于X=2和X=3也是這樣分析的，計算出概率后列出分布列求解數學期望即可。這里強調一下很多同學在求解最后一個概率的時候喜歡用1減去前面的概率之和，這種方式確實可以節約一些時間，但是有一定的風險，因為如果前面的概率算錯一個，后面也會跟著發生錯誤了。我個人比較建議每個概率都去求解一下，最后通過加和為1對概率求解進行檢驗。當然，對自己概率運算十分自信的同學是可以用這種方法的。本題總體來看難度適中，并沒有很困難。 解答題：第17題 本題是一個立體幾何和空間向量相關的問題。正如很多同學吐糟的一樣，現在橫平豎直的立體幾何題越來越少了，斜棱柱、切割體這種有些“眼歪嘴斜”的幾何體比比皆是。本題其實就是圍繞著一個斜棱柱展開的。斜棱柱相關分析最重要的是去分析上下兩個底面在俯視圖中的位置關系，而第一問證明線面垂直就是為了確定上底頂點在下底的投影。關于第一問，由于給出了角C1CB和角C1CD相等，這種條件出現之后，圍繞著這兩個角對應的側面大多具有對稱性，所以這里可以利用對稱的關系去尋找垂直，說白了就是等腰三角形三線合一。我們利用兩個三角形全等可以得到C1BD為等腰三角形，從而得到C1O與BD垂直。C1O與BD垂直的證明也可以利用空間向量進行說明，主要原因也是因為存在兩個角相等，可以構造出數量積相等來進行證明。另外一個垂直關系則需要利用余弦定理進行簡單的計算了。其實這個幾何體給出了全部的棱長數據，當條件中棱長數據給的很充分的時候，那么很有可能證明過程中就需要利用到三角形相關（勾股定理、余弦定理）的運算去解決問題了。對于第二問就相對簡單常規了，通過第一問垂直關系的證明，以OB、OC、OC1分別為x、y、z、建立空間直角坐標系，對于整體比較“傾斜”的幾何體，建議大家可以通過整個幾何體俯視圖去分析點的坐標，確定好坐標之后就是空間向量問題求解的常規思路了。 解答題：第18題 本題開始，解答題難度有了極其明顯的提升，本題是一個圍繞著拋物線的解析幾何解答題，其實在小題里面已經有了橢圓和雙曲線，自然此處就應該是一個拋物線的問題了。本題的第一問就有了以往第二問的感覺，讓我們證明直線過定點，其實這樣難度特點的考查方式在高考中已經出現了。對于定點問題而言，一般可以走兩種思路，第一種就是順著題目給出的繪圖順序去表示相應的點和直線，最終表達出這條直線的方程，隨后利用點斜式分析它是否過定點；另一種思路就是通過猜想先分析出定點，再證明三點共線說明直線恒過定點。下面的解析我也給出了兩種不同的處理方式，另外本題在處理時也可以利用點差法去表示中點M、N的坐標，但由于點差法只能解決與交點坐標之和相關的問題，而第二問中的<方法二>需要利用到交點坐標乘積，所以并沒有在解答中進行說明，大家可以自行嘗試處理。第二問的面積求解會有兩個方向的思路。第一種思路是考慮面積轉化，因為三角形GMN并不是形狀特殊的三角形，而且直接求解三角形的底和高也比較困難，所以才會考慮轉化面積。我個人習慣用解答中給出的[思路3]即向量的叉乘運算來進行面積轉化，這種方式依賴計算不過分依賴對于圖形的觀察，不過只是通過它發現面積轉化關系，后續說理證明還是要利用到平面幾何的方法，如[思路1]和[思路2]。轉化后會發現所求三角形面積可以與對角線相互垂直的四邊形ADBE面積之間產生關系，進而求解四邊形面積最值即可。第二種思路則需要結合題目極點極線的背景以及第一問證明的結論展開。點G在點F對應的極線上，那么點G橫坐標是定值，同時MN過定點，所以考慮是否可以圍繞著這兩個“定”來解決問題。這里需要利用鉛錘高乘以水平寬去表示面積，因為水平寬可以和兩個“定”產生聯系，而鉛錘高就是兩個中點的縱坐標做差。其中鉛錘高的最值比較好求解，水平寬的最值直觀觀察可以猜想就是定點（3,0）到x=-1的距離，不過說理有一定困難。這兩個量取等條件一致，所以可以計算出最終的面積最值。 解答題：第19題 如果第18題是常規意義上的我們可以想象的難題的話，第19題的難法就有點超出很多同學的想象了。這個問題是一個數論相關的問題，如果對于學習過數學競賽的同學來說，本題可以通過一系列同余的性質以及費馬小定理進行求解，但是并不知道評分細則里面這種方法會給出多少分數。而且對于本題而言，我個人也只想出來這種處理辦法，我可以看出題目給出的一些信息是為了利用它去避開費馬小定理、避開完全剩余系，但可能因為我自己就是搞競賽出身的，實在是繞不開固有邏輯了。實話講我自己是沒有辦法在考場上想出來一個繞開費馬小定理的解法的，可能只會證明一遍再去解決問題。所以后邊我也會附上評分參考當中給出的答案。很抱歉個人能力有限，雖然利用以往的競賽知識解決了問題，但是真的不知道該如何避開這些數論知識直接引導大家去解決這個問題。所以本題的解答我給出了數論當中一些常用的符號、性質以及定理和推論用于證明這個題目，有能力的同學可以去閱讀一下。關于本題我想談談我的想法，明顯這個題目的設置就是為了提高選拔性的，但是從課程標準出發，數論的內容在2017年課程標準當中的E類課程中，這類型課程涉及到一些校本課程以及大學先修課程，對于絕大多不搞競賽的數學校來說，校本課程當中是不會設計數論知識的。在老教材中還有一本書選修4-6講解初等數論，而現在普遍使用的新教材當中是沒有任何章節涉及到數論的，如果非說有，可能就是課本邊邊角角處關于一些數論名詞（比如：素數）的解釋了。如果今后的壓軸題目是這種考查方向，那通過這個題目篩選出來的一定是有著良好數學學習經歷或者極具數學天賦的考生了。所以對于本題來說，尤其是高三的同學，不要過分關注，還是要把前面的問題處理好才是關鍵。 【評分參考】提供的答案解析 版權聲明：本文來源于網絡。以上圖文貴在分享。如有侵權請聯系刪除。 |
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