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構(gòu)造等腰三角形，不管是幾何證明題，還是幾何計(jì)算題，都是非常重要的輔助線作法。今天我們通過一篇文章來系統(tǒng)的看看構(gòu)造等腰三角形的六種技巧： 1、做腰的平行線構(gòu)造等腰三角形 2、做底的平行線構(gòu)造等腰三角形 3、角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形 4、角平分線+垂直，構(gòu)造等腰三角形 5、截長補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形 6、構(gòu)造等邊三角形 類型一、做一腰的平行線構(gòu)造等腰三角形
輔助線：作DE∥BC，則△ADE為等腰三角形 例題：如圖，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC的延長線上，且BD＝CF，連接DE交BC于E．求證：DE＝EF
證明：過D點(diǎn)作AF的平行線交BC于G點(diǎn)， ∴∠ECF＝∠DGE， ∴∠DGB＝∠ACB ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DGB， ∴DG＝BD， ∵BD＝CF， ∴DG＝CF． 由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得 △DGE≌△FCE（AAS）， ∴DE＝EF． 類型二、做底的平行線構(gòu)造等腰三角形
輔助線：作DE∥AB，則△CDE為等腰三角形 例題：如圖，等邊△ABC中，D在邊AC延長線上一點(diǎn)，延長BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求證：BG＝EG．
證明：過點(diǎn)D作DF∥BC交AB的延長線于點(diǎn)F． ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°， ∴△ADF是等邊三角形， ∴AD＝DF＝AF， ∴CD＝BF． 又∵AD＝CE， ∴FD＝CE． 又∵∠DFB＝∠DCE＝60°， 在△BFD和△DCE中， ∴△BFD≌△DCE（SAS）， ∴DB＝DE． 又∵DG⊥BC， ∴BG＝EG． 類型三、角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形
輔助線：利用平行線將角平分線的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形里面 例題：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，線段EF∥AD交線段AB于點(diǎn)G，交線段CA的延長線于點(diǎn)F．求證：BG＝CF．
作CM∥AB交FE的延長線于M． ∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE， ∵E是BC中點(diǎn)， ∴BE＝EC， ∴△BEG≌△CEM， ∴BG＝CM， ∵AD∥EF， ∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F， ∵∠1＝∠2， ∴∠F＝∠FGA， ∵AB∥CM， ∴∠FGA＝∠M， ∴∠F＝∠M， ∴CF＝CM， ∴BG＝CF． 類型四、角平分線+垂直，構(gòu)造等腰三角形 如圖，△ABC的面積為6cm2，AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P，則△PBC的面積是？
解：延長AP交BC于點(diǎn)E，如圖所示． ∵AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P， ∴∠ABP＝∠EBP． 在△ABP和△EBP中， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP． ∵△APC和△EPC等底同高， ∴S△APC＝S△CPE， ∴S△PBC＝S△BPE+S△CPES△ABC6＝3（cm2）， 故答案為：3． 類型五、截長補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形 例題：如圖，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，則∠C的度數(shù)為？
解：在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE＝DB，連接AE， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°， ∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC， ∴AB＝CE， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠C∠AEB＝25°， 故答案為：25°．
類型六、構(gòu)造等邊三角形 例題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P為三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求∠PBC的度數(shù)．
解：以BC為邊在BC上方作等邊△DBC，連接DA， ∴DB＝BC＝DC，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°， ∵∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴AB＝AC，∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝20°，∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝20°， ∵∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°， ∵∠PAB＝20°， ∴∠PAC＝∠BAC﹣∠PAB＝80°， ∵∠PCA＝20°， ∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝80°， ∴∠CAP＝∠APC＝80°， ∴AC＝CP， ∴AB＝AC＝CP， ∵∠DBA＝∠DCA＝∠PCB＝20°， ∴△DBA≌△DCA≌△BCP（SAS）， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠PBC∠BDC＝30°， ∴∠PBC的度數(shù)為30°．
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