游戲開發的物理和數學

在游戲開發的奇妙旅程中，物理和數學不僅是構建逼真游戲世界的基石，更是賦予游戲生命和靈魂的神奇工具。它們使得游戲中的角色能夠以符合自然規律的方式移動，確保了游戲環境的真實性與連貫性，同時也為玩家提供了無限的探索樂趣和挑戰。《游戲開發的物理和數學》一書正是為了揭示這些背后的科學原理，將抽象的數學概念和物理定律轉化為游戲開發中可直接應用的實踐知識。

今天的分享主題為“游戲開發的物理和數學”，部分內容取自書籍《游戲開發的物理和數學》，其余內容是本人根據主題進行的拓展。今晚視頻號“模型視角MI”直播中我將進行知識分享（錄播內容也關注視頻號，在“直播回放”處找到。歡迎關注和預約：

《游戲中的物理和數學》

《游戲開發的數學和物理》一書覆蓋了游戲開發所需的數學和物理知識，內容從基礎的物體運動模擬擴展到復雜的光線制作與畫面切換效果，最終深入探討了游戲開發的基礎理論。書中的六個章節逐步引導讀者理解和應用各種數學和物理概念，如比例、函數、碰撞檢測、光線處理等，強調了這些知識在游戲設計中的廣泛應用。

通過提供示例程序的編譯及運行方法（該書提供的是C++代碼，本文提供的是Python代碼），該書不僅展示了數學知識在游戲開發中的實際應用，而且傳達了一個重要信息：雖然所需的數學知識廣泛，但并非難以掌握。讀者通過實踐體會這些概念的應用，可以更好地將理論知識轉化為創造性的游戲設計和開發實踐。

物體的運動

1. 勻速直線運動

在這個模型中，物體以恒定速度沿直線路徑移動。位置 隨時間 的變化可以用方程 表示，其中 是初始位置， 是速度。

應用舉例：在一個 平臺游戲中，一個角色以恒定速度在平面上移動，不受外力影響，其位置更新可以直接用 實現。

2. 斜方向移動

利用勾股定理和向量表示，可以實現斜方向移動。如果角色沿斜方向移動，其速度向量可以分解為 和 ，其中 。

應用舉例: 當玩家通過鍵盤輸入控制角色斜向移動時，可以根據輸入計算出 和 ，進而更新角色的位置。

3. 任意方向的運動

使用三角函數來計算運動的方向。如果已知速度 和移動方向（角度 ) ，則可以通過正弦和余弦函數計算出 和 。

應用舉例：在一個足球游戲中，球被踢出時沿任意方向移動，可以根據踢球的方向和力度計算出球的速度向量。

4. 拋物運動

拋物運動是由初速度和重力加速度 共同作用的結果。物體的水平位置和垂直位置隨時間的變化可通過積分求解，得到 和 的表達式。

應用舉例：在射擊游戲中，子彈的軌跡可以通過拋物線方程模擬，考慮到重力加速度對其垂直下落的影響。

5. 隨機飛濺運動

使用隨機數生成技術模擬物體的隨機飛濺運動?？梢?strong>通過均勻隨機數或正態分布生成隨機的方向和速度。

應用舉例：在一個模擬雨滴落下的場景中，雨滴飛濺方向和速度可以用隨機數生成，以實現自然的效果。

Python 代碼

6. 圓周運動

圓周運動可以通過角速度 和向心力 來描述。物體繞中心以恒定角速度旋轉，其位置隨時間的變化可以用極坐標表示。

應用舉例：在一個太空游戲中，行星繞恒星的運動可以通過圓周運動模型來模擬。

7. 微分方程式及其數值解法

微分方程式用于描述物體運動的速度和加速度隨時間的變化關系。通過數值解法，如歐拉法，可以近似求解微分方程，模擬復雜的動態系統。

應用舉例：在模擬一個懸掛的彈簧物體的振動時，可以使用微分方程描述其位置隨時間的變化，通過數值方法求解以模擬運動。

這些模型和例子展示了如何將數學和物理原理應用于游戲開發中，以實現各種動態和逼真的效果。

卷動

1. 背景卷動

背景卷動通常依賴于鏡頭位置和卷動幅度的比例關系來實現。通過改變鏡頭（觀察點）的位置，背景相對于玩家的視角進行移動，創建了移動感。

應用舉例：在一款2D橫向滾動游戲中，當玩家控制角色向前進時，背景以一定的速度向相反方向卷動，模擬角色在環境中前進的效果。

Python代碼：

# 第2章示例：背景滾動

# 定義背景位置列表，模擬背景中的各個對象位置
背景位置 = [0, 100, 200, 300, 400]
滾動速度 = -20  # 負數表示向左滾動，正數表示向右滾動

# 定義滾動背景的函數
def 滾動背景(位置列表, 速度):
    # 更新背景中每個對象的位置
    return [位置 + 速度 for 位置 in 位置列表]

# 模擬背景滾動5次
for _ in range(5):
    背景位置 = 滾動背景(背景位置, 滾動速度)

print(背景位置)  # 打印更新后的背景位置

2. 背景卷動與角色運動的聯動

通過將角色的區域坐標（在游戲世界中的位置）映射到畫面坐標（屏幕上的位置），可以實現背景卷動與角色運動的同步。

應用舉例：在角色向右移動時，游戲計算角色相對于世界的新位置，并相應地調整背景位置，確保角色在屏幕上的位置保持不變或按預定規則變化。

3. 地圖卷動

使用整數的減法、移位運算和邏輯運算來實現地圖塊的卷動。地圖可以被視為由多個小塊組成的大圖，通過移動和重新排列這些小塊，創建連續的滾動效果。

應用舉例：在一款策略游戲中，玩家可以滑動地圖查看不同區域。游戲通過計算哪些地圖塊應該顯示在屏幕上，以及它們的正確位置，來實現平滑的卷動效果。

4. 波紋式搖擺卷動

通過應用正弦波的數學模型（包含波長、振幅和周期），可以創建波紋式的動態背景卷動效果，模仿水面波紋或其他自然現象。

應用舉例：在一個海洋探險游戲中，背景的海水使用波紋式卷動來模擬海浪輕輕搖晃的效果，提高游戲的沉浸感。

5. 制作有縱深感的卷動

透視和比例計算被用來創建有縱深感的背景卷動。通過模擬透視效果（如近大遠小），使得背景的不同部分以不同的速度移動，營造出空間深度。

應用舉例：在一個3D跑酷游戲中，遠處的山脈移動速度比近處的建筑慢，給玩家一種快速前進的感覺，同時增加場景的縱深感。

6. 透視理論

透視理論涉及視景體和近似計算，以正確地在二維屏幕上表示三維空間。這通過透視變換，將三維世界坐標映射到二維屏幕坐標來實現。

應用舉例：在一款3D模擬飛行游戲中，透視理論用于計算地平線、山脈、云層等在玩家視野中的正確位置和大小，為玩家提供真實的飛行體驗。

這些數學和物理模型為游戲開發中的背景卷動提供了堅實的理論基礎，使得開發者能夠創造出豐富多樣的視覺效果，增強游戲的吸引力和玩家的沉浸感。

碰撞檢測

1. 長方形物體間的碰撞檢測

使用德摩根定律和坐標軸對齊的矩形來檢測碰撞。

應用實例：在平臺游戲中，使用此模型來檢測玩家角色是否與地面或墻壁發生碰撞，從而判斷是否停止移動或跳躍。

Python代碼：

2. 圓形與圓形、圓形與長方形物體間的磪撞檢測

圓形與圓形的碰撞檢測可通過距離和半徑的比較實現。給定兩個圓心分別為 和 ，半徑分別為 和 ，如果滿足:

則兩圓發生碰撞。

應用實例：在射擊游戲中，檢測子彈 (圓形) 是否擊中目標 (圓形或長方形) 來判定得分。

3. 細長形物體與圓形物體間的碰撞檢測

計算點到線段的最短距離，使用點與線段的內積和微分。如果線段的兩端點為 和 ，圓心為 ，則點 到線段 的最短距離 可通過向量運算和內積求得。

應用實例：在足球游戲中，判斷球 (圓形) 是否越過了邊界線 (細長形物體)。

4. 扇形物體的碰撞檢測

通過條件劃分和向量運算來實現。給定扇形的頂點 ，半徑 ，起始角度 和結束角度 ，以及待檢測點 ，首先檢查 是否在圓的方程式范圍內，然后通過向量 的角度判斷 是否位于扇形內。

應用實例：在塔防游戲中，判斷敵人 (點) 是否進入了塔 (扇形攻擊范圍) 的攻擊范圍內。

5. 3D的碰撞檢測

3D碰撞檢測通過將2D模型擴展到三維空間來實現。例如，3D長方體間的碰撞檢測涉及到三個維度的坐標比較，而球體間的碰撞檢測則需要考慮三維空間中的距離公式:

應用實例：在3D動作游戲中，使用3D碰撞檢測來判斷角色是否與環境或其他對象相撞，影響其健康值或觸發特定的游戲邏輯。

通過這些數學表達和應用實例，可以看出碰撞檢測是游戲開發中的一個重要組成部分，它確保游戲的交互性和現實感，為玩家提供了豐富的游戲體驗。

光線的制作

1. 讓物體向任意方向旋轉(含縮放效果)

物體旋轉可以通過旋轉矩陣來實現。給定一個角度 ，旋轉矩陣 為:

物體的位置向量 旋轉后的位置 可以通過 計算?？s放效果可以通過縮放矩陣實現，向量加法和向量減法用于調整位置。

應用實例：在一個策略游戲中，旋轉矩陣用于旋轉單位圖標，使其面向不同方向，縮放效果則用于在用戶縮放視圖時調整單位圖標的大小。

2. 任意兩點間的光線投射

給定兩點 和 ，向量 的單位向量 可以表示為:

其中， 是向量 的長度。

應用實例：在一個第一人稱射擊游戲中，玩家的視線和槍口之間的光線投射用于確定射擊方向和檢測命中目標。

Python代碼：

# 導入數學庫以使用三角函數和平方根函數
import math

# 第4章示例：光線投射

# 定義光源位置和目標位置
光源位置 = {'x': 0, 'y': 0}
目標位置 = {'x': 10, 'y': 10}

# 定義計算兩點間單位向量的函數
def 計算單位向量(起點, 終點):
    dx = 終點['x'] - 起點['x']
    dy = 終點['y'] - 起點['y']
    距離 = math.sqrt(dx**2 + dy**2)
    return {'x': dx / 距離, 'y': dy / 距離}

# 使用函數計算光線的方向
光線方向 = 計算單位向量(光源位置, 目標位置)

print(f'光線方向: {光線方向}')  # 打印光線方向

3. 光線彎曲處理

光線彎曲（例如，通過圓形物體）可以通過光的折射原理來模擬，根據折射率和入射角來計算折射角。偽影（光線失真效果）可以通過特定的算法生成，模擬現實世界中的視覺效果。

應用實例：在一個解謎游戲中，玩家需要調整鏡子的角度，使得光線彎曲并指向特定位置解鎖機關。

4. 實現帶追蹤效果的激光

帶追蹤效果的激光可以通過計算目標和激光源之間的向量，并根據該向量動態調整激光的方向。外積可用于判斷目標在激光左側還是右側，旋轉速度決定了激光調整方向的快慢。

應用實例：在一個科幻射擊游戲中，敵人的武器發射帶追蹤效果的激光，玩家需要不斷移動以避開追蹤激光。

5. 繪制大幅度彎曲的曲線時的難點

大幅度彎曲的曲線可以通過曲率 k 來描述，曲率與曲線的彎曲程度成正比。曲線的粗細可以通過動態調整線寬來實現，插值曲線用于平滑連接曲線段，反射效果可以通過反射法則計算。

應用實例：在一個賽車游戲中，賽道的邊緣可能需要繪制大幅度彎曲的曲線來指示賽道的邊界，同時根據車輛的速度和方向動態調整曲線的顯示效果，增加游戲的視覺效果和真實感。

這些數學和物理模型不僅提供了制作游戲中光線效果的理論基礎，也為游戲開發者提供了實現這些效果的具體方法，從而在游戲中創造出更加豐富和動態的視覺體驗。

畫面切換效果

1. 水平掃描式畫面切換

通過使用三角多邊形和紋理素材的UV坐標，可以實現水平掃描式的畫面切換效果。畫面被劃分為多個三角形，每個三角形的UV坐標根據掃描進度動態更新，以實現平滑的切換效果。

應用實例：在一個故事驅動的游戲中，場景之間的過渡可以使用水平掃描式效果，逐漸揭示新場景，增加敘事的張力。

Python示例代碼：

2. 斜向掃描式畫面切換

斜向掃描式畫面切換可以通過向量形式的直線方程來定義掃描線， ，其中 是斜率， 是截距。畫面的每個部分根據直線的位置被剪裁，實現斜向過渡。

應用實例：在幻燈片演示軟件中，斜向掃描式切換可以用來引入新的幻燈片，創造動態和引人注目的視覺效果。

3. 使用帶模糊效果的分界線進行畫面切換

利用漸變和Alpha合成實現帶模糊效果的分界線。通過動態調整Alpha值，可以在兩個場景之間創建一個平滑的漸變效果，其中Alpha值決定了像素的不透明度。

應用實例：在視頻編輯軟件中，兩個剪輯片段之間的過渡可以使用帶模糊效果的分界線，使過渡看起來更自然和柔和。

4. 使用圓形進行畫面切換

圓形畫面切換效果可以通過計算與圓心的距離來實現， ，其中 是圓心坐標。根據圓形區域內外的像素 Alpha值進行調整，避免重復渲染。

應用實例：在一個拼圖游戲中，解開一個謎題后，使用圓形效果逐漸顯示謎題的解決方案，增加玩家的成就感。

5. 雨刷式畫面切換

雨刷式畫面切換不直接依賴于復雜的數學模型，而是模仿雨刷運動的邏輯，通過動態調整遮罩圖案的位置來實現畫面的逐步揭示。

應用實例：在新聞播報應用中，雨刷式效果可以用于在不同新聞段落之間轉換，增加視覺動態性。

6. 多種多樣的畫面切換方法

高級畫面切換效果，如使用遮罩圖案和可編程著色器，涉及高斯濾波器等復雜算法， ，用于實現平滑的邊緣和動態效果。

應用實例：在電影制作軟件中，高級的畫面切換效果可以用于創建視覺上引人入勝的電影預告片或場景過渡，提升最終產品的專業度和觀賞性。

游戲開發的數學和物理學基礎理論

1. 比例、一次函數及直線方程

數學表達:

• 比例系數:
• 直線方程: , 其中 是斜率， 是截距。
• 參數方程: ，其中 是參數。

應用實例：在游戲開發中，直線方程可用于計算對象的運動軌跡，參數方程則用于在給定時間內描繪對象的精確位置。

Python示例代碼：

# 導入必要的數學庫
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 第6章示例：使用一次函數及直線方程

# 定義一次函數的參數（比如，直線的斜率和截距）
斜率 = 2
截距 = 1

# 定義x的值
x = np.linspace(-10, 10, 100)

# 計算對應的y值
y = 斜率 * x + 截距

# 繪制直線圖
plt.plot(x, y, '-r', label=f'y={斜率}x+{截距}')
plt.title('一次函數的圖像')
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()

2. 算式展開與因式分解

數學表達:

• 算式展開:
• 因式分解:

應用實例：在物理引擎的開發中，算式展開和因式分解可用于簡化和解析物體受力的計算。

3. 二次函數、二次方程

數學表達:

二次方程: 求根公式: 圓的方程:

應用實例：在模擬拋物線運動（如投朕物體）時，二次方程用于計算軌跡，圓的方程則用于碰撞檢測。

4. 三角函數

數學表達:

• 正弦函數：
• 余弦函數:
• 弧度:一個完整圓的弧度為

應用實例：在創建旋轉效果或計算物體在圓周路徑上的運動時，三角函數是不可或缺的工具。

5. 向量與矩陣

數學表達:

• 向量長度:
• 向量方向：通過角度或另一個向量確定
• 矩陣變換：用于實現旋轉、縮放、平移等幾何變換。

應用實例：在3D圖形渲染中，矩陣變換用于定位、旋轉和縮放對象。

6. 微分

數學表達:

• 微分系數:
• 變化率：通過微分計算瞬時速度或加速度。應用實例：在模擬物體的加速運動時，微分用于計算不同時間點的速度變化。

7. 級數與積分

數學表達:

• 數列的求和 (西格瑪表示) :
• 不定積分:

應用實例：在計算物體在受力作用下移動的總距離時，積分可用于從速度函數得到位移函數。