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從古希臘時代起，數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)即形成柏拉圖主義（唯實論）和唯名論，及先驗論和經(jīng)驗論等對立的觀點。直到十九世紀(jì)中期開始，數(shù)學(xué)則進入以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究為中心的不同時期，為的是建立一個可靠的基礎(chǔ)，從而借由可靠的方法去開展（重建）數(shù)學(xué)。 然而透過對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的反思，我們發(fā)現(xiàn)雖然數(shù)學(xué)歷經(jīng)三次重大的危機，但每一次所引發(fā)的悖論卻是促進數(shù)學(xué)的發(fā)展與精淬，擴大了數(shù)學(xué)的包容性，因此數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)危機是不存在的。  柏拉圖 透過科學(xué)典范轉(zhuǎn)移的觀點來審視數(shù)學(xué)的哲學(xué)，認為在二十世紀(jì)六、七○年代興起一股哥白尼式的革命，將原本視為絕對客觀無誤與靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，推向可誤的與動態(tài)變化的層面。 數(shù)學(xué)不應(yīng)簡單的等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，而應(yīng)視為人類的一種創(chuàng)造性活動，而在內(nèi)容及方法上也由一般科學(xué)哲學(xué)中吸取了不少的問題與思想。以下就根據(jù)絕對論與可誤論的哲學(xué)觀點加以闡釋。 一、絕對論（absolutism）長久以來，人們認為數(shù)學(xué)命題是無可懷疑的絕對真理，各種學(xué)派不論其在哲學(xué)立場上的不同，在數(shù)學(xué)上的論述都隱含著先驗論的思想，認為世界先已存在，經(jīng)由數(shù)學(xué)被理解，所以數(shù)學(xué)是客觀的知識，是真理。 尤其是笛卡兒（Descartes, R.）倡言的理性思考，更影響了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密。然而在十九世紀(jì)中期開始的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究，為了解決數(shù)學(xué)本身所存在的矛盾與悖論，進行數(shù)學(xué)哲學(xué)的辯證，企圖建立一個公理化、永恒、絕對可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其主要有三大學(xué)派，分述如下：  笛卡爾 （一）邏輯主義（Logicism）主要代表人物為羅素（Russell, B.）、弗雷格（Frege, G.）與懷海德（Whitehead, A. N.），其主張有二：一是所有的數(shù)學(xué)概念最終都能化約成邏輯概念；二是所有的數(shù)學(xué)真理皆可透過邏輯推論的規(guī)則與公理獲得證明。 羅素與弗雷格都是柏拉圖主義的支持者，認為自然數(shù)是客觀存在，人要認識這種存在，不需引進特別的假定，也不需康德（Kant, I.）的先天直覺，只要從一般的邏輯出發(fā)即可。邏輯可建立數(shù)學(xué)，這就表示數(shù)學(xué)對象是客觀存在的。懷海德這位過程哲學(xué)的首議哲學(xué)家更是直指邏輯思想是數(shù)學(xué)的核心概念，可做為哲學(xué)思維的基礎(chǔ)。 （二）直覺主義（intuitionism）此學(xué)派的代表人物是布勞維爾（Brouwer, L. E. J.）。布氏認為基本的直覺是按時間順出現(xiàn)的感覺，生命的各種要素分解成本質(zhì)上不同的部分，只有當(dāng)這些部分被時間所分隔時才能重新聯(lián)系起來，而過程中情感的內(nèi)容抽象出來，進入數(shù)學(xué)思維的根本，即純粹的二分性，也就是數(shù)學(xué)的原始直覺。 所以，本派的數(shù)學(xué)是建立在有限的直覺所引發(fā)的步驟之上，這對數(shù)學(xué)本身而言是一種回溯到原點的作法，而最終的目的在于重新建立一種新的數(shù)學(xué)體系。換句話說，直覺主義直接否定了柏拉圖主義的觀點，重新建構(gòu)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，所以也被稱為構(gòu)造主義。  （三）形式主義（Formalism）1900年，希爾伯特在法國巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上發(fā)表了著名的23個數(shù)學(xué)問題，昭示著希氏將所有的數(shù)學(xué)符號語言予以統(tǒng)一的企圖心，其目的在于將概念變成符號，命題變成公式，推理形成形式規(guī)則，把所有的數(shù)學(xué)抽象成形式化的公理系統(tǒng)，再針對公理系統(tǒng)進行研究，統(tǒng)整出構(gòu)成公理系統(tǒng)根本的元數(shù)學(xué)（meta-mathematics），以便厘清數(shù)學(xué)的各個分支的矛盾，使數(shù)學(xué)整合成一嚴(yán)謹(jǐn)而精確的學(xué)科。 由此不難看出，形式主義將數(shù)學(xué)變?yōu)槌橄笸评砼c符號運作，不再將符號穿鑿附會為實體之理想化。  希爾伯特 綜上所述，三派各有其立論的基礎(chǔ)，并有著極度的相異之處，但進入二十世紀(jì)中葉以來，三派之間的爭論漸漸平息了。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)不論哪一派的主張，都不可能一勞永逸的解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題。 豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容無法簡單的歸結(jié)為邏輯，也不能僅視為人直覺的創(chuàng)造物，它的正確性更不可能用符號的推演來最終證明。而重要的是這三派在于各自的數(shù)學(xué)公理化爭論點上是可以互補不足之處的，恰如哥德爾從事數(shù)學(xué)研究時，他的數(shù)學(xué)哲學(xué)是直觀主義，邏輯方法是形式主義，而知識工具則是邏輯主義。 況且將爭論點置于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，完全變?yōu)椴豁毧紤]人及社會層面的因素，數(shù)學(xué)的對象就獨立于現(xiàn)實世界之外的數(shù)學(xué)世界之中。 |
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