高二新定義壓軸是新教材中的圓

1222期高二新定義壓軸是新教材中的圓

該篇素材選自高二月考卷，來自湖南名校長郡中學25屆高二10月聯考第19題。該題是以阿波羅尼斯圓為背景的解析幾何題，其實就是一道圓和直線問題，非常簡單。之所以講此題，是因為阿波羅尼斯圓在新教材中也有（如下文），因此同學們需要熟悉掌握！

• 一、這道以阿波羅尼斯圓為背景的壓軸題
• 二、新教材中到兩定點距離之商為定值的曲線
• 1、表示圓
• 2、表示直線
• 三、阿波羅尼斯圓定義與7性質
• 1、阿波羅尼斯圓的定義
• 2、阿波羅尼斯圓的證明
• 3、阿波羅尼斯圓的相關性質
• 四、阿波羅尼斯圓模考題
• 五、隱藏的阿波羅尼斯圓

一、這道以阿波羅尼斯圓為背景的壓軸題

【長郡中學25屆高二10月聯考T19】 古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點的距離之比值為常數 （ ） 的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓. 已知點 到 的距離是點 到 的距離的 倍.（關注微信公眾號：Hi數學派）
（1） 求點 的軌跡 的方程；
（2） 過點 作直線 ，交軌跡 于 兩點， 不在 軸上.
（i） 過點 作與直線 垂直的直線 ，交軌跡 于 兩點，記四邊形 的面積為 ，求 的最大值；
（ii） 設軌跡 與 軸正半軸的交點為 ，直線 ， 相交于點 ，試證明點 在定直線上，求出該直線方程.

解析：

（1） 設點 ，由題意可得 ，即

化簡可得

所以點 的軌跡 的方程為

（2）

由題易知直線 的斜率 存在，設直線 的方程為 ,即

則圓心 到直線 的距離

所以

（i） 若 ，則直線 的斜率不存在

易得 ， ，則

若 ，則直線 的方程為 ，即

則圓心 到直線 的距離

所以（關注微信公眾號：Hi數學派）

則

當且僅當 ，即 時，取等號

因為 ，所以 的最大值為

（ii） 易知 ，設 ，

聯立

消 得

由韋達定理得

所以

所以直線 的方程為

直線 的方程為

聯立（關注微信公眾號：Hi數學派）

解得

則

所以

所以點 在定直線 上.

二、新教材中到兩定點距離之商為定值的曲線

1、表示圓

在人教 A 版新教材選擇性必修第一冊第97頁中給出了到兩定點距離之商的曲線——

平面內到定點 、 的距離 之商 為常數（大于 且不等于   ）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓

注1： 距離不存在負數，所以該常數不可能小于 ；另外，當到定點 、 的距離 之商 等于 時，只能表示 一點。

2、表示直線

注2： 當到定點 、 的距離 之商 等于 時，表示線段 的中垂線（關注微信公眾號：Hi數學派）

三、阿波羅尼斯圓定義與7性質

阿波羅尼斯（Apollonius約公元前262~192），古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠．阿波羅尼斯年青時到亞歷山大城跟隨歐幾里得的后繼者學習，和當時的大數學家合作研究．他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一．

1、阿波羅尼斯圓的定義

【定義】 在平面上給定兩點 ，設點 在同一平面上且滿足 ，當 且 時， 點的軌跡是個圓，稱之為 阿波羅尼斯圓 （ 時 點的軌跡是線段 的中垂線）．（關注微信公眾號：Hi數學派）

2、阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】 設 ，，．若 （ 且 ），則點 的軌跡方程是（關注微信公眾號：Hi數學派）

其軌跡是以 為圓心，半徑為 的圓 ．

證明： 由 及兩點間距離公式，可得

化簡可得

（1） 當 時，得 ，此時動點的軌跡是線段 的垂直平分線；

（2） 當 時，方程 兩邊都除以 得

化為標準形式即為：（關注微信公眾號：Hi數學派）

∴點 的軌跡方程是以 為圓心，半徑為 的圓 ．

阿波羅尼斯圓的另一種形式：

【定理2】 為兩已知點， 分別為線段 的定比為 （） 的內外分點，則以 為直徑的圓 上任意點 到 兩點的距離之比為 ，如下圖 5 .

證明： 如圖 6，以 為例，

設   ， ，

則 ， ，

因為（關注微信公眾號：Hi數學派）

過 作 的垂線交圓 于 兩點，

由相交弦定理及勾股定理得

于是 ，

所以

因為 同時在到 兩點距離之比等于 的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，

所以圓 上任意一點 到 兩點的距離之比恒為 ．同理可證 的情形．

3、阿波羅尼斯圓的相關性質

由上面 【定理2】 的證明可得如下的性質：

性質1： 當 時，點 在圓 內，點 在圓 外；當 時，點 在圓 內，點 在圓 外．

性質2： 因 ，故 是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點 ，可以作出與之對應的點 ，反之亦然．

性質3： 所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為 ，面積為 ．

性質4： 三角形 的面積存在最大值，即當 時，三角形  取得最大值（關注微信公眾號：Hi數學派）

性質5： 過點 作圓 的切線 （ 為切點），則 ， 分別為 的內、外角平分線．

性質6： 阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分 和外分 所得的兩個分點，如圖4所示， 是 的內分點， 是 的外分點，此時必有 平分 ， 平分 的外角．

證明： 如圖 5，由已知可得 （ 且 ），

，

又 ，

，即

所以 平分

由等角的余角相等可得 ，所以 平分 的外角．

性質7： 過點 作圓 不與 重合的弦 ，則 平分 ．

證明： 如圖 7，連結 ， ，

由已知 （ 且 ），

（關注微信公眾號：Hi數學派）

又 ，

，

所以 平分 ．

四、阿波羅尼斯圓?？碱}

【山東青島25屆高三期初調研T14】 正方體 的棱長為 ， 是側面 （包括邊界）上一動點， 是棱 上一點，若 ，且 的面積是 面積的 倍，則三棱錐 體積的最大值是______.

解析：

是正方體

平面 ， 平面