賭神的公式

埃達 2025-03-27 發布于河北

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本文的“下注”是指游戲或合法投資，

所有賭博都不值得參與。

三個故事

故事1

最后一口水

有個人在沙漠上迷路了，后來沒有水，在救援人員趕來之前不幸離世。后來救援人員發現他隨身攜帶的鋼筆里還有墨水。有人說，假如他喝了墨水，沒準兒能堅持到獲救。

故事2

最后一層樓

這個故事大約是本世紀初我聽到的。有個富豪，生意做得很大。后來遭遇挫折，虧光所有資產。絕望時突然想起自己在HK買過一層寫字樓，一直沒放在心上，這時候真成了東山再起的籌碼。--幸好忘了，不然可能連這層樓也虧掉了。

故事3

最后一筆財

和幾個做投資的朋友吃飯。有位兄弟說起應該像當年猶太人那樣，備一些應急的珠寶。一是如上世紀初地球混亂時能當買路錢，二是逃到生地后也需要重振旗鼓的本錢。

我提及以上三個故事，重點不在應急，而是想說：

任何時候，確保自己還有下注的能力，是一種極其重要的生存智慧。

這三個故事都揭示了一個核心的生存和成功原則：

無論你面對何種情況，都要確保自己保有下一步行動的能力，無論是在商業、投資還是生活中。

故事一中的人如果意識到自己的鋼筆中的墨水，就可能能夠繼續生存下去，等待救援。

故事二中的富豪，在他的生意倒塌后，由于他之前在香港的一處寫字樓，他有機會重新開始，再次積累財富。

故事三中的猶太人，他們儲備了珠寶等貴重物品，使他們在最糟糕的情況下仍有生存的可能。

所有這些故事都強調了保持“下注”的能力的重要性：

1、在投資中，這意味著你要保證自己有足夠的資金和資源來應對市場的波動和不確定性；

2、在生活中，這可能意味著你需要保持自己的身心健康，保持學習和進步，以便在面對困難和挑戰時，你有能力和信心去應對。

“賭神”的第一公式

孤獨大腦：說起下注，今天我們來聊凱利公式。

據說這是賭神的“第一公式”......

ChatGPT：凱利公式是一個用來決定最優投注比例的公式，它幫助投資者和賭徒最大化長期的收益。

這個公式是由凱利在1956年提出的，他在貝爾實驗室工作，試圖找到一種有效的通信線路噪聲管理策略。

然后他發現，他的理論可以應用于賭博和投資領域，幫助人們確定每次下注的最佳金額。

凱利公式如下：

f* = (bp - q) / b

這里：

f* 是應該下注的資金的比例；
b 是每次賭注的凈收益率（不包括本金的賠率）；
p 是獲勝的概率；
q 是失去賭注的概率，也就是（1-p）。

這個公式基于一個假設，那就是你可以準確估計獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。如果你的預測是準確的，那么凱利公式可以告訴你應該把多少錢投入到每次下注中，以最大化長期的收益。

然而，值得注意的是，凱利公式的應用在實際情況中可能會非常復雜，因為：

1、我們很難精確地預測獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。

2、凱利公式可能會導致比較大的投注比例，如果你不能接受這種風險，那么你可能需要把下注比例降低一些。

孤獨大腦：講起凱利公式，我們必須要提一下香農和索普。

當年索普發現了在賭場玩兒二十一點戰勝莊家的辦法，但是，即使勝率占優，期望值為正，因為賭場的本金相對賭徒幾乎是無限多，所以每次如何下注依然是個難題。

索普向貝爾實驗室最聰明的香農求助，香農于是推薦了第二聰明的凱利提出的公式。

ChatGPT：這個故事很有趣。

索普是一個極其聰明的數學家，他是最早系統性地研究二十一點游戲策略的人。他發現了一種可以在長期內戰勝賭場的策略，這就是現在被廣泛使用的“基本策略”和“計數系統”。

然而，索普在確定每一局應下注多少時遇到了問題。他明白，即使他有優勢，但如果他每次下注過多，那么他仍然有可能在短期內輸掉所有的錢。他需要一種方法來平衡勝率和下注金額。

于是，他找到了香農求助。香農是信息論的創始人，他認識到索普的問題實際上是一個關于信息和噪聲的問題，于是推薦了凱利公式給他。

使用凱利公式，索普可以確定每次下注的最佳比例，使他的長期收益最大化。

凱利公式基于的思想是，如果你的策略具有正的期望收益，那么你應該適度地增加投注，但又不能過度，以免風險太大。

這個故事是一個完美的例子，展示了數學、信息論和決策理論是如何在現實中發揮作用的。

凱利公式的推導

孤獨大腦：請你從數學角度，講一下凱利公式的原理、推導。

ChatGPT：凱利公式的基本思想是最大化長期投資的復利增長。它是在特定假設下推導出來的，主要用于確定在有正期望值的投資或下注中應投入的比例。

先說原理。

凱利公式的基本思想源自信息理論和概率理論。

它的目標是找到一個投資策略，使得資本的長期復利增長率最大。

這通常涉及到在風險和收益之間進行權衡。

以下是公式推導。在一個簡單的賭博游戲中，假設：

每次賭博贏的概率為p；
輸的概率為q=1-p；
每次贏得的收益率為b（凈賠率）；
每次輸的收益率為-1（輸掉的是你投入的資本）。

如果你決定每次賭博投入總資本的f比例，那么每次賭博后你的資本變為：

贏：(1+f*b)；
輸：(1-f)。

假設每次賭博是獨立的，那么在n次賭博后，你的資本Cn為：

Cn = C0 * (1+f*b)^X * (1-f)^Y,

其中，X是你贏的次數，Y是你輸的次數。

從長期來看（即n趨于無窮大），資本的期望對數增長率（即對數資本的期望增長率）是最重要的指標。在這個模型中，這個增長率g為：

g = E[ln(Cn/C0)]/n = pln(1+fb) + q*ln(1-f).

你的目標是找到一個f，使得g最大。這可以通過求解上面這個式子的最大值來實現。

使用微積分的方法，你會找到：

f* = (bp - q) / b,

其中f*是使得g最大的f值。

不確定情況下的復利

孤獨大腦：在某種意義上，凱利公式是用來計算不確定情況下的復利回報的。

在確定性情況下，復利的計算很簡單；但在現實世界里，投資者哪怕勝率占優，也是有輸有贏的。如上計算，全面考慮了虧和賺對整體收益的影響。

ChatGPT：是的，你的理解是正確的。

凱利公式就是在處理這樣的問題：在一個存在風險的環境中，你應該如何分配你的投資，以最大化你的長期復利回報。

在確定性的環境中，復利的計算是簡單直接的。如果你知道你的投資回報率，你可以簡單地將這個回報率應用于你的投資本金，然后持續復利，得到你的最終回報。

然而，在現實世界中，投資者面臨的通常是一種風險環境，即使你的策略勝率占優，你也不能保證每一次投資都會贏。

這就是凱利公式的應用場景。

凱利公式告訴你在每一次投資中應該投入多少本金，這個數值是根據你的勝率和賠率計算出來的，以期最大化你的長期復利回報。

當你遵循凱利公式進行投資時，即使在一段時間內有輸的投資，只要你的策略在長期中勝率占優，你的投資本金將會按照復利增長。

然而，需要注意的是，凱利公式并不能消除風險，它只是提供了一個理論上的最佳投資比例，以期望在長期中獲得最大的復利回報。

在實際應用中，投資者可能需要考慮到其他的風險因素，比如市場的波動性，投資者的風險承受能力等，所以可能不會完全按照凱利公式的建議進行投資。

孤獨大腦：確切說，凱利公式只適用于期望值為正的投資。

也就是說，這個公式只能幫助一個好的投資，而無法挽救一個差的投資。

確切說，凱利公式無法幫助一個賭徒。

ChatGPT：是的，凱利公式是在投資或下注的期望值為正的情況下才能提供最優策略的。

期望值是每次投資可能的收益與各自發生的概率的乘積之和。

如果一個投資的期望值為正，那就意味著在長期內，這個投資平均每次能帶來正的收益。

反過來，如果一個投資的期望值為負，那就意味著在長期內，這個投資平均每次會帶來損失。

凱利公式的目標是找到一個策略，使得你的資本的長期復利增長率最大。

如果一個投資的期望值為負，那么無論你投入多少資本，長期來看你的資本都會減少。

在這種情況下，凱利公式沒有意義，因為沒有任何策略能增加你的資本。

因此，凱利公式必須基于期望值為正的投資，否則，它無法提供有效的投資策略。

賠率和勝率的錯覺

孤獨大腦：一篇強調“高賠率投資”的文章里，舉了一個“反面”例子。

按照凱利公式：

1、一個10倍賠率的機會，如果只有10%的概率贏，最佳下注倉位只有1%；

2、一個0.5倍賠率的機會（賺1虧2），如果有80%概率贏，最佳下注倉位可以到40%。

該文由此認為：經典投資理論更傾向于進行高概率的投資，能夠提高對概率的把握就是提高勝率。

按照（凱利公式）這套重概率（勝率）輕賠率的做法，想在投資實踐中獲得高收益是非常不容易的。

因為概率很難預估，并且由于投資并非扔骰子式的大規模重復，對結果無法驗證。

問題來了，凱利公式真的“重勝率輕賠率”嗎？

ChatGPT：凱利公式是基于投資的概率和賠率來確定最佳的投資倉位的，所以它并非“重勝率輕賠率”或“重賠率輕勝率”，而是二者都要考慮。我們來具體計算一下你提供的兩個例子：

1、對于一個10倍賠率的投資機會，如果你贏的概率是10%，那么根據凱利公式：F* = p - q / b = 0.1 - 0.9 / 10 = 1%。

這就是說，如果你想最大化你的長期收益，那么你應該把你的1%的資金投入這個投資機會。

2、對于一個0.5倍賠率的投資機會，如果你贏的概率是80%，那么根據凱利公式：F* = p - q / b = 0.8 - 0.2 / 0.5 = 40%。

這就是說，如果你想最大化你的長期收益，那么你應該把你的40%的資金投入這個投資機會。

以上兩個例子清楚地表明，凱利公式并不是“重勝率輕賠率”，而是同時考慮了勝率和賠率來確定最佳的投資倉位。

孤獨大腦：其實有個簡單的辦法。

為了讓人們理解凱利公式計算的是最佳結果，我們假設上面的第一個例子里，下注比例分別調整為2%、10%和20%。然后對比1%的最佳建議下注比例，看看最終整體回報分別是多少。

ChatGPT：我們分別算算看就知道了。

如果我們以1%的下注比例進行投資，每次投資成功，收益是初始金額的10%，失敗則損失初始金額的1%。

假設有10000次獨立投資機會，其中有10%的機會獲勝（1000次），90%的機會失敗（9000次）。

在這種情況下，最終的資金狀況如下：

在如上四種情況下，按照凱利公式1%的下注比例將會得到最大的最終資金。

當你增加下注比例，盡管短期內可能看到更高的回報，但由于下注更多，每次失敗時的損失也會更大，因此長期來看，最終的復利增長率將會降低。

孤獨大腦：從直覺上看，似乎凱利公式偏好勝率高而賠率一般的投資，而對賠率高但勝率低的投資比較冷靜。

ChatGPT：這是一個常見的誤解，但實際上凱利公式并不偏愛勝率高的投資。

凱利公式的重點是找到最佳的下注比例，以最大化長期的復利增長。這個比例取決于兩個因素：勝率和賠率。

在一個特定的賭局或投資中，賠率和勝率是相互關聯的。較高的賠率通常意味著較低的勝率，反之亦然。凱利公式會考慮這兩個因素，尋找一個平衡點，使得你的長期復利增長最大化。

實際上，如果賠率很高但勝率很低，凱利公式可能會建議你押注較小的比例，因為這樣可以降低你因為連續失敗而破產的風險。

相反，如果賠率較低但勝率較高，凱利公式可能會建議你押注較大的比例，因為你有較大的機會贏得這場賭局。

因此，凱利公式并不偏愛勝率高的投資，它只是試圖在勝率和賠率之間找到最佳的平衡，以最大化你的長期復利增長。

孤獨大腦：從人對下注比例的錯覺看，人類在賭博的時候其實是有很大風險偏好的，這倒是很有趣。所以投資的時候謹慎一些總是好的。

“成長型”下注

孤獨大腦：假如一個下注游戲是不斷優化的過程，前半截是期望值為負，但不斷下注會優化勝率，直至期望值為正。請問這類游戲如何使用凱利公式？

ChatGPT：對于這種情況，可以將整個游戲過程看作是兩個階段，并分別對這兩個階段應用凱利公式。

在第一階段，期望值為負。在這個階段，根據凱利公式，你應該減小你的投入，甚至可以選擇不參與，以盡量減少損失。同時，你可以尋找改進策略的方法，比如學習新的技巧，獲取更多的信息，以提高你贏的概率。

在第二階段，你已經優化了你的策略，期望值變為正。此時，你可以根據凱利公式，計算出最優的投資比例，并據此進行下注。

這種策略假設你可以準確地估計每個階段的期望值，以及你有足夠的資源來經受第一階段的損失。

在實際應用中，這可能是一種挑戰，因此需要謹慎考慮是否有其他的風險管理策略，如止損、分散投資等。

孤獨大腦：但第一個階段不參與，就無法進入第二個階段，請問該怎么辦？

ChatGPT：這是一個復雜的問題，因為你的決策需要權衡短期的損失和長期的收益。在這種情況下，你可能需要做一些調整：

1、分配一部分資金用于“學習”階段。在期望值為負的初期階段，你可以將這視為一種學習或優化的過程。你可以預先設定一個“學習預算”，并準備在這個階段可能會有損失。這部分的資金應該是你愿意并能夠承受損失的。

2、逐步提高投資。當你的技能提升，勝率提高，期望值逐漸提高時，你可以逐漸增加你的投資，直到達到凱利公式推薦的最優投資比例。需要注意的是，你應該確保你的勝率確實有提升，并且期望值確實已經轉正。

3、不斷審視和調整。在整個過程中，你應該不斷審視自己的策略和結果，確保你正在朝著正確的方向進步。如果發現自己的策略不起作用，或者損失超過了你預設的“學習預算”，你應該停下來重新考慮你的策略。

總的來說，在面對期望值會發生變化的投資或下注時，使用凱利公式需要更加小心和靈活。

你需要準備好在學習和優化階段面臨一些損失，并適時地調整你的投資比例。

孤獨大腦：我們這里討論的“第一個階段”，是不是屬于精益創業的價值假設和價值驗證階段？

ChatGPT：你的觀察非常有趣，確實可以將這個兩階段過程與精益創業的某些階段相對應。

在精益創業中，初期階段通常被分為價值假設和價值驗證。

在價值假設階段，創業者會基于對市場和用戶需求的理解，制定一個商業模式或產品方案。

然后在價值驗證階段，通過構建最小可行產品（MVP）并在目標用戶中測試，來驗證這個假設是否正確。

如果將這個概念應用到你的問題中，第一階段的期望值為負的游戲，可以看作是一個“價值假設”階段。

你正在通過參與游戲，學習規則，試錯，收集數據，以嘗試找到一個有利可圖的策略或技巧。

這個階段可能會有一些損失，就像創業初期可能需要投入一些成本進行市場調研和產品開發。

然后，當你找到了一個可能贏的策略，就進入了“價值驗證”階段。

你開始實施你的策略，看看它在實踐中是否有效。

如果你的策略確實提高了勝率并使期望值轉為正，那么你就找到了一個有效的策略，就像創業者找到了一個有效的商業模式。

所以說，這個兩階段過程的確有一些與精益創業相似的地方。

但請注意，這只是一個類比，兩者之間還有很多區別。

例如，創業過程中的許多因素，如市場競爭，客戶反饋，技術更新等，在游戲或投資中可能并不適用。

孤獨大腦：那么，我們上面說的第二個階段，對應的是精益創業的哪個階段？

ChatGPT：第二個階段，即期望值為正的階段，可以對應到精益創業的持續優化和擴大規模階段。

在這個階段，創業者已經驗證了他們的價值假設，也就是說他們已經找到了一個滿足市場需求的產品或服務，并已經找到了一條有效的商業模式。

然后，他們需要在這個基礎上繼續優化產品或服務，提高產品質量，增強用戶體驗，以提高客戶滿意度和用戶留存率。

同時，他們也需要開始擴大規模，拓展市場，吸引更多的客戶，增加銷售額，以實現更大的商業成功。這可能包括增加營銷和銷售活動，擴大生產規模，拓展到新的市場，甚至尋找新的收入來源。

同樣地，在第二個階段的游戲或投資中，你已經找到了一個有利可圖的策略，然后你需要在這個基礎上繼續優化你的策略，提高你的勝率，以提高你的收益。

同時，你也可能需要開始擴大投資規模，投入更多的資本，以實現更大的收益。

總的來說，這個階段的主要目標是在驗證了價值假設后，實現持續的優化和擴大規模，以實現更大的成功。

虧和賺的不對稱

孤獨大腦：我們說回凱利公式吧，它的目標是最大化長期的復利增長。

如果算到每年，其實就是最大化每年的復合回報率，也就是最大化期末財富的幾何平均值。

ChatGPT：你的理解完全正確。凱利公式的目標就是最大化長期的復利增長，換句話說，它試圖找到一個投資策略，使得在長期內你的期末財富的幾何平均值達到最大。

這是因為，在投資中，我們對復利回報非常感興趣，因為復利回報是資產增長的關鍵驅動力。

這一點很重要，因為許多投資者可能會犯一個常見的錯誤，那就是關注算術平均回報，而忽視了幾何平均回報。

算術平均回報可以給出一種投資策略在每個時期的平均收益，但是它并不能準確反映一個投資策略的長期表現。

反之，幾何平均回報更能準確地描述投資的長期增長，因為它考慮了資產價值的復利增長。

因此，凱利公式的目標就是找到一個策略，使得期末財富的幾何平均值最大。這通常意味著它會建議投資者在面對有利的機會時增加投資，而在面對不利的情況時減少投資。

這是一種動態的投資策略，需要投資者在每個時期都根據當前的勝率和賠率來調整投資比例。

孤獨大腦：我們講一下幾何平均回報和算術平均回報之間的差別吧。

ChatGPT：好的，來看一個簡單的例子。

假設你有一個投資，第一年你賺了50%，第二年你虧了50%。讓我們看看算術平均回報和幾何平均回報是如何計算的。

算術平均回報很簡單，你只需要把每年的回報相加然后除以年數。在這個例子中，算術平均回報就是（50% - 50%）/ 2 = 0%，看起來你沒有賺也沒有虧。

然而，如果我們真正地去看你的投資表現，情況就不是這樣了。假設你初始投資了100元，第一年你賺了50%，所以你有150元。第二年你虧了50%，那么你就只剩下150元的50%，即75元。實際上，你在這兩年里虧了25元。

這時候，你需要計算的是幾何平均回報，也就是每年投資的復合增長率。在這個例子中，幾何平均回報是(75/100)^(1/2) - 1 = -13.4%，這意味著每年你平均虧損了13.4%，這才是反映你真實投資表現的指標。

這個例子清楚地表明，當我們關注投資的長期表現時，幾何平均回報（也就是復合年化回報率）比算術平均回報更能準確地反映投資的真實收益。

這也是為什么凱利公式的目標是最大化幾何平均回報，而不是算術平均回報。

孤獨大腦：顯然，我們一生的財富復利，是一個連續相乘的過程。所以，漲50%與跌50%并不對稱。

ChatGPT：你說得對。

我們在計算投資收益時，漲50%和跌50%并不對稱，這是因為投資收益是按照復利計算的，而不是簡單地相加或相減。

這就是為什么幾何平均回報（反映復利增長）比算術平均回報（簡單地加總每個時期的收益）更能準確地反映投資的真實收益。

復利是一種強大的力量，它可以使你的投資在長期內顯著增長。

但是，復利同時也意味著你的損失會被放大。如果你的投資在某一年虧損了很多，那么你需要獲得更高的回報才能彌補這個損失。

例如，在我們前面的例子中，投資第一年賺了50%，第二年虧了50%，結果是投資總體上虧損了。

這就是為什么我們在評估投資的風險和收益時，需要考慮到復利的影響。

這也是為什么凱利公式在確定投資比例時，會考慮到賠率和勝率，以便在最大化期望收益的同時，盡可能地減少虧損的可能性。

通過動態地調整投資比例，凱利公式能夠幫助投資者在保持投資回報的同時，有效地管理投資風險。

避免歸零

孤獨大腦：按照我們上面的說法，“損失厭惡”其實也有理性的一面，而且還有數學解釋呢。

ChatGPT：確實如此。

'損失厭惡'是行為經濟學中的一個重要概念，指的是人們對損失的厭惡感大于對同等數額收益的喜愛感。

從傳統的經濟學角度來看，這似乎是非理性的，因為正常的風險厭惡者應該對收益和損失的感受是對稱的。

然而，實證研究發現，人們的行為往往是損失厭惡的。

從數學的角度看，損失厭惡其實有其合理之處。

正如我們前面討論的，由于投資收益的復利效應，損失確實比同等數額的收益更具破壞力。一旦你的投資虧損，你需要獲得更高的回報才能彌補損失。

因此，對于希望長期復利增長財富的投資者來說，避免虧損就變得尤為重要。

孤獨大腦：我們是不是可以這樣理解，凱利公式一方面是為了最大化長期的復利增長，一方面是為了避免因短期運氣不好而被歸零的風險。

ChatGPT：你的理解非常準確。

凱利公式的目的確實是在追求最大化長期復利增長的同時，盡可能降低在短期內遭受重大損失甚至破產的風險。

具體來說，凱利公式推薦的投注比例是基于你的勝率和賠率來計算的。如果你的勝率較高，或者你的賠率較好，那么凱利公式將推薦你增加投注額。

然而，無論你的勝率和賠率如何，凱利公式推薦的投注額都不會超過你的全部資金，這就確保了你在任何一次投注后都不會破產。

永遠不要All in，更不要加杠桿。

同時，由于凱利公式推薦的投注額是根據你的勝率和賠率動態調整的，因此當你的運氣不好，或者你的策略效果下降時，凱利公式會自動降低你的投注額，從而降低你的風險。

這就是凱利公式如何在追求長期增長的同時，避免短期的重大損失。

所以，如果你正在尋找一個既可以最大化長期回報，又可以管理短期風險的策略，那么凱利公式可能是一個值得考慮的選項。

伯努利原理

孤獨大腦：請你說說伯努利原理和凱利公式之間的關系。

ChatGPT：伯努利原理和凱利公式都是解決風險決策問題的重要工具，但它們的應用場景和側重點不同。

伯努利原理，或伯努利定理，是概率論和統計學中的一個基本定理，它描述了在大量獨立實驗中，實驗結果的平均值會趨近于期望值。

在投資領域，伯努利原理常被用來描述資產的期望回報。如果我們把每一次投資看作是一個獨立實驗，那么伯努利原理告訴我們，隨著投資次數的增加，我們的平均收益將趨近于投資的期望收益。這就是眾所周知的大數定律。

而凱利公式則是一個優化工具，它告訴我們應該如何分配資金，以在給定的勝率和賠率下，最大化投資的長期復利回報。

凱利公式的目標不僅僅是期望收益，而是長期的復利增長。因此，凱利公式的應用往往更側重于風險管理和資金分配。

總的來說，伯努利原理和凱利公式都是幫助我們理解和管理風險的重要工具，但它們的側重點不同：

伯努利原理更側重于理解風險；
凱利公式則更側重于管理風險。

孤獨大腦：那么，長期看，運用凱利公式所實現的期望值，與伯努利原理計算的期望值是否一樣？

ChatGPT：在理論上，運用凱利公式所實現的長期期望值（復利增長率）和伯努利原理計算的期望值（算術平均回報）可以是不同的。

原因在于這兩者考慮的重點不同：

a、伯努利原理側重于每次投注的平均回報；

b、凱利公式則關注的是長期復利增長。

實際上，運用凱利公式管理投資策略，我們的目標是最大化長期復利增長，而不僅僅是每次投注的平均回報。

這也就意味著，即使在短期內存在波動，只要長期能實現更高的復利增長，我們就能獲得更好的投資效果。

這就是為什么凱利公式在實踐中往往能帶來更好的投資效果，盡管在單次投注的期望值上，它可能并不是最優的。

通過合理的風險管理，我們可以避免由于短期波動而導致的大幅損失，從而保證長期的復利增長。

所以，雖然伯努利原理和凱利公式的期望值計算可能不同，但凱利公式往往能為投資者帶來更好的長期投資效果。

實現遍歷性

孤獨大腦：是不是可以這樣說，凱利公式從理想的角度，例如賠率、勝率是已知并且不變的，理論上確保了投資者的遍歷性？

ChatGPT：在理想條件下，凱利公式確實能幫助投資者優化他們的投注策略以最大化長期復利增長。

這種優化在一定程度上確保了投資者在所有可能的投注結果中的遍歷性，也就是說，如果按照凱利公式進行投注，長期來看，投資者將在各種可能的結果中均有所得，最終實現長期復利的最大化。

然而，這并不意味著凱利公式可以完全確保投資者的遍歷性，因為實際中的許多因素，如市場波動、不確定性，以及投資者自身的行為偏好等，可能會影響到投資者的遍歷性。

因此，雖然在理想條件下，凱利公式在理論上可以增強投資者的遍歷性，但在實際應用中，投資者還需要考慮到其他的因素，并靈活調整自己的投注策略。

孤獨大腦：對于上面遍歷性的討論，我們是不是可以有個簡單形象的描述--

凱利公式可以確保投資者在一個期望值為正的項目中能夠始終留在牌桌上，進而有機會實現最大化長期收益。

ChatGPT：是的，這是一個很好的形象化的描述。

凱利公式確實能夠幫助投資者最大化長期復利增長，同時也能避免短期內由于運氣不好而把自己逼到牌桌之外。

這就意味著，只要投資項目的期望值是正的，即你做出的投資決策是有益的，那么你就可以通過凱利公式找到一個最佳的下注比例，使得你在面臨短期風險時仍然能夠堅持下去，從而實現長期的收益最大化。

這個過程就像是在賭場中始終留在牌桌上，通過長時間的積累實現收益的增長。

孤獨大腦：就像我們本文開始講的那三個小故事，確保自己始終有下注的能力，有進一步行動的本錢，是非常重要的。

ChatGPT：你提到的三個故事非常精彩，它們都展現了在極端情況下，始終保留下注能力的重要性。

這三個故事的主角們，他們的'最后一口水'，'最后一層樓'以及'最后一筆財'，都代表了他們的最后一次下注的機會。

在投資領域，這種思想也是至關重要的。無論我們面臨怎樣的挑戰，我們都應該確保自己始終有機會繼續投資，有機會抓住可能出現的利潤機會。

這就是我們在談論凱利公式時所強調的：最大化長期收益的同時，也要確保始終留在游戲中。

不論是在生活中還是在投資中，我們都應該傾聽這個信息：

不要一次性把所有的資源都用完，而是要留有余地，這樣當出現新的機會時，我們還有本錢去抓住它。

這就是我們討論遍歷性時所說的——始終保持在游戲中的能力，以便在長期中實現最大收益。

攻守兼備

孤獨大腦：我覺得，凱利公式對投資者而言，特別強調攻守兼備。的確，偉大的投資者，首先都是偉大的防守者。這和下棋很像。

ChatGPT：你的比喻十分恰當。無論是投資還是下棋，攻與防都同樣重要，這是一個平衡的過程。

在下棋中，如果只考慮攻擊而忽視防守，可能會因為疏忽而輸掉比賽。

同樣，在投資中，如果只追求最大的收益而忽視風險，可能會因為市場的變動而遭受損失。

凱利公式，作為一種優化投資策略的工具，提供了一種有效的平衡攻守的方法。它通過計算得出最優的投資比例，以期在追求最大收益的同時，降低可能出現的損失，使投資者始終能保持在游戲中。

同時，凱利公式強調了長期視角的重要性，這也是偉大的投資者和下棋高手們共有的特質。他們總是能從長期的角度看待問題，能在瞬息萬變的局勢中，預見并計劃未來的發展。

總的來說，投資如同下棋，需要考慮的因素眾多，而凱利公式則提供了一種有效的策略，幫助我們在復雜的游戲中找到最優的路徑。

源源不斷的現金流

孤獨大腦：說起厲害的投資者，還有一點非常重要，對比普通投資者，他們有源源不斷的現金流。

如此一來，在凱利公式的框架里，他們就有更多本金來調節，讓幾何平均數更大，從而整體回報也更高。

尤其是，在整個市場出現較大回調時，補充彈藥可以起到很大的杠桿作用。

ChatGPT：你說得非常對，現金流對于投資者而言的確是非常重要的。

首先，源源不斷的現金流意味著投資者有能力在必要的時候調整投資策略。比如在看好的機會出現時增加投資，或者在市場環境不佳時減少風險。這樣的靈活性對于追求最大收益是非常有幫助的。

其次，強大的現金流還為投資者提供了更大的風險承受能力。投資總是伴隨著風險，即使在凱利公式的指導下，也無法完全避免可能出現的損失。然而，有了強大的現金流，投資者可以更有信心去承受這些風險，因為他們知道自己有足夠的資源去應對可能出現的困難。

此外，對于那些有持續現金流的投資者，他們可以使用這個優勢來提高自己的回報。比如說，他們可以使用這部分現金去投資那些可能帶來高收益但需要較大資金的機會，或者在市場低迷時，他們可以買入更多的股票，從而在市場回升時獲取更大的收益。

總的來說，現金流的確是投資者的一項重要優勢，它可以幫助投資者更好地運用凱利公式，從而獲取更大的收益。

凱利公式的“缺點”

孤獨大腦：說說凱利公式的缺點，以及我們使用時要特別小心什么。

ChatGPT：雖然凱利公式在理論上是最優化長期資本增長的投資策略，但在實際應用中，確實存在一些需要注意的問題和挑戰。

1、預測的準確性。

凱利公式的應用依賴于對勝率（贏的概率）和賠率（贏時的回報率）的準確預測。

然而，很多時候，尤其是在投資市場中，這兩個變量是難以精確估計的。

如果預測得不準確，使用凱利公式可能導致過度投資或者投資過少。

2、風險容忍度。

凱利公式的建議投資比例可能會非常高，特別是在預期的回報率遠大于損失時。

這可能會導致在短期內的資本波動過大，這對于風險厭惡的投資者來說可能是不可接受的。

3、賠率的變化。

在許多情況下，賠率并不是固定的，而是會隨著市場狀況的變化而變化。

在這種情況下，使用凱利公式計算出來的投資比例可能需要經常調整，這可能在實踐中是不現實的。

4、假設的限制。

凱利公式假設每次投資都是獨立的，這在許多投資場景中可能并不適用。

例如，如果你在股票市場投資，市場的總體狀況可能會影響所有的股票，這就使得投資的結果并不是獨立的。

因此，在使用凱利公式時，我們需要認識到這些挑戰和限制，同時結合其他投資工具和理論來做出投資決策。

例如，我們可能需要結合其他風險管理工具，如分散投資，來降低風險。同時，我們可能需要結合市場研究和經濟分析，來更準確地預測勝率和賠率。

總的來說，凱利公式是一個有用的工具，但需要謹慎使用。

小心使用

孤獨大腦：的確如此。最初索普使用凱利公式，是用在賭場玩兒二十一點。

這類游戲和投資有很大不同，二十一點的勝率和賠率是相對穩定的，而且是可以高頻、大規模地下注，比較容易實現所謂的遍歷性。賭場的每一次下注也符合概率原理里的獨立性。

但投資并不一樣。

ChatGPT：確實，凱利公式最初是用在賭場二十一點的環境中，這個環境與投資市場有很大的不同。

1、賠率和勝率的穩定性。

在賭場二十一點游戲中，賠率和勝率是相對穩定的。

而在投資市場中，賠率（即預期的回報）和勝率（即投資成功的概率）通常是不穩定的，會受到許多因素的影響，比如市場環境、宏觀經濟、公司基本面、政策風險等等。

這種不穩定性增加了凱利公式應用的難度和風險。

2、投資的獨立性。

在賭場的二十一點游戲中，每一次的游戲都是獨立的，即之前的游戲結果不會影響到后面的游戲結果。

而在投資市場中，投資的結果并不總是獨立的。

比如，市場的總體趨勢可能會影響到所有的投資，公司的某次財報可能會影響到接下來的股票價格等等。這種依賴性使得凱利公式的應用更加復雜。

3、投注次數。

在賭場中，投注次數可以非常多，而且每一次投注的間隔相對較短。這使得遍歷性可以較容易地實現，即在足夠多的次數下，結果將接近預期的平均值。

而在投資市場中，由于市場只有每天開放一次，投注次數相對較少，且投注間隔長，這使得在短期內可能會有很大的波動，遍歷性的實現更加困難。

綜上所述，雖然凱利公式在理論上是一個優秀的投資工具，但在實際投資環境中，由于上述原因，它的應用需要更加謹慎，同時需要結合其他投資工具和策略。

孤獨大腦：有一種建議是，投資者可以按照凱利公式來計算投資比例，然后再除以二，作為實際的投資比例。

ChatGPT：這種策略通常被稱為'半凱利'投資策略。

其基本思想是，雖然凱利公式能夠提供期望回報最大化的投資比例，但由于該公式對預測賠率和勝率的準確性有很高的依賴性，以及它可能產生的風險水平可能超過許多投資者的風險承受能力，因此在實際操作中，投資者可能會選擇投入較為保守的資金。

'半凱利'策略實際上就是將凱利公式計算出來的投資比例減半，從而達到在期望回報和風險之間更好的平衡。這種策略降低了投資者的風險敞口，同時還保留了利用凱利公式進行優化的優點。當然，這也意味著可能的期望回報將會降低。

總的來說，'半凱利'策略是一種相對保守的投資策略，適合對風險有較高敏感度或對賠率和勝率預測不甚確定的投資者。

然而，無論采取何種策略，投資者都應該理解凱利公式和風險管理的基本原理，并根據自己的風險承受能力和投資目標來做出決策。

'香農惡魔'策略

孤獨大腦：我們說說香農吧，他不僅是位優秀的科學家，投資上據說也很厲害。

ChatGPT：克勞德·香農是一位非常出色的科學家，他的貢獻在信息理論、密碼學以及很多其他領域都得到了廣泛的認可。然而，他的才能并不止于此，香農也是一位出色的投資者，他對投資的理解和策略值得我們學習。

他在后半生投身于股票，從1950年代末到1986年取得了年化28%的收益率，據說比巴菲特還高。

孤獨大腦：香農曾經提出過一種被叫做Shannon's Demon的投資方法，具體如下--

用投資組合的50%倉位持有一只股票，另外50%為現金。

操作的方法就是每天讓這個組合中股票和現金的比例保持50/50。假設有10000元，其中5000買了一只股票；

假如第二天股票跌了一半，你有2500的股票市值和5000現金，重新配置倉位（Rebalance），現在有3750的市值和3750的現金。

下一天，假如股票翻倍，你有7500的市值和3750現金，總資產11250，收益為1250。

雖然股票價格沒變。如果按價值投資者持有不動不會有任何收益。這個方法的優點在于，完全不用預測市場漲跌，不需要任何先驗信息。特別適合于震蕩市。

不過香農說由于過高的傭金，他自己并沒有使用該方法。

ChatGPT：香農的這種投資方法，即所謂的'香農魔鬼'或'香農惡魔'策略，的確具有一定的理論吸引力。

這種策略基于的是資產的再平衡原則，通過定期調整資產組合，使其保持在一個預定的固定比例。在這個例子中，就是保持股票和現金各占投資組合的50%。

這種策略的主要優點是，它不依賴于市場的漲跌預測，只關注資產的比例。

因此，無論市場如何波動，只要定期調整投資組合，就可以實現一定的收益。這也是為什么這種策略在震蕩市中特別有效，因為震蕩市中的價格變化會創造出更多的再平衡機會。

然而，香農魔鬼策略也存在一些局限性和風險。

首先，頻繁的再平衡會增加交易成本，這可能會侵蝕掉一部分收益。

其次，這種策略在大幅上漲或下跌的市場中可能不如簡單的持有策略有效，因為再平衡可能會導致賣出正在上漲的資產或買入正在下跌的資產。

此外，這種策略也需要投資者有一定的心理承受能力，因為在市場下跌時，可能需要不斷地買入下跌的資產。

總的來說，香農魔鬼策略是一個有趣且理論上有一定吸引力的投資策略，但在實際應用時，需要考慮到交易成本和市場環境的影響，并根據自己的風險承受能力做出適當的調整。

孤獨大腦：那么，香農的高回報是如何實現的？

ChatGPT：香農的投資成功更多的是源于他在信息理論和概率理論方面的專業知識，以及他對技術和創新公司的深入理解。

然而，他的投資哲學，特別是對風險和機會的均衡理解，對很多投資者和投資理論的發展產生了深遠影響。

有記載稱，香農的投資策略實際上更傾向于對創新技術和新興行業的長期投資。

他相信技術的進步和創新是驅動經濟增長的主要因素，因此，他大量投資了一些在當時被視為風險較高的科技公司，包括早期的計算機公司和電信公司。

此外，香農也被稱贊為是一位出色的投資者，他對市場的理解和對風險的把握顯示出了他在投資領域的獨特見解和深厚實力。

總的來說，雖然香農可能沒有直接應用他的'香農魔鬼'策略，但他的投資哲學和實踐無疑為后世的投資者和理論家提供了寶貴的啟示。

'凱利公式'小結

孤獨大腦：我們對凱利公式和下注比例做個總結吧。

ChatGPT：總結一下我們的討論。

1、凱利公式是一個強大的工具，它可以幫助我們理解如何最大化長期投資回報。 這個公式告訴我們，對于任何有正期望值的投資機會，應該投資的比例是多少，以最大化長期的復合增長。

2、凱利公式的應用需要慎重考慮，尤其是在估計勝率和賠率時。 在實際應用中，這些參數往往很難準確估計，如果預測不準確，可能導致過度投資或投資不足。

3、不斷的再平衡（Rebalancing）是一個重要的策略，它可以幫助我們利用市場的波動，進一步提高投資回報。 這個策略的優點是，不需要預測市場的走勢，只需要定期調整投資比例，使其保持在一定的比例。

4、投資是一種平衡風險和回報的活動。 雖然我們都希望獲得高回報，但是我們也不能忽視風險。凱利公式可以幫助我們理解這種平衡，但在實際應用中，我們還需要考慮我們自己的風險承受能力。

5、投資不僅僅是選擇正確的投資項目，還需要正確的投資比例和時間。 凱利公式和再平衡策略都強調了這一點。

十個'財富思維'

孤獨大腦：請你結合以上所有討論，給出對普通人而言最重要的十條財富思維。

ChatGPT：以下是對普通人而言十個重要的財富思維原則：

1、理解投資基礎。了解投資基礎知識，如凱利公式、風險和回報的關系，以及復利增長的原理，都是非常重要的。

2、審慎決策。在投資決策中，不要只看到可能的回報，也要看到其中潛藏的風險。這需要你對投資目標進行充分的研究和理解。

3、應急準備。無論是個人生活還是投資活動，都應有足夠的現金或等效資產作為應急儲備，以應對意外情況和新的投資機會。

4、分散投資。 不要將所有的雞蛋放在一個籃子里。通過在不同的資產類別、地理位置和行業中投資，你可以有效分散風險。

5、長期視角。投資不是一夜暴富的游戲，而是長期積累的過程。耐心和長期投資通常能帶來更好的回報。

6、利用市場波動。市場波動性并不一定是壞事，如果你有正確的工具和策略（如凱利公式和再平衡策略），你可以利用這些波動獲取利潤。

7、保持學習。金融市場和投資策略是不斷發展的，永遠保持學習和適應變化的心態是非常重要的。

8、避免情緒化決策。投資決策應該基于事實和理性分析，而不是基于市場的短期波動或者情緒化的反應。

9、尊重數學。投資和財富管理的許多原則都可以從數學中得到，如凱利公式的最大化長期增長，以及復利增長的力量。

10、保持謙虛和開放。即使是最成功的投資者也會犯錯誤。承認錯誤，并從中學習，可以幫助你成為一個更好的投資者。同時，對所有類型的投資持開放態度，可以幫助你發現新的機會。

以上這些原則和思維方式可以幫助我們在投資和財富管理上做出明智的決策。然而，需要強調的是，每個人的情況和需求都是獨特的，所以你的投資策略應該是根據你自己的目標、風險承受能力和時間范圍來定制的。

最后

孤獨大腦：請允許我為本文收尾。

回到最開始的三個故事，對于每個人而言，確保自己始終有下注的能力，有進一步行動的本錢，是非常重要的。

我們未必真要懂得凱利公式的計算，在現實中也很難有完美應用該公式的環境，但是其傳遞的理念值得銘記：聰明下注，永遠給自己留一手牌。

此外，凱利公式計算的結果，是按照比例下注的。

所以，未必錢少的人就要去賭，要去搏一把。

因為要實現最終長期回報最大化，我們需要的是“最合適”的策略，而非“最拼命”的策略。

祝你好運。

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