【原】“破解”希爾伯特第六問題之后，他們說這是“無心之舉”

2025年3月，兩位華人科學(xué)家鄧煜和馬驍聯(lián)合中東數(shù)學(xué)家Zaher Hani在學(xué)術(shù)平臺arXiv發(fā)布預(yù)印本論文，宣布攻克了希爾伯特第六問題的關(guān)鍵部分——從微觀分子運(yùn)動嚴(yán)格推導(dǎo)出宏觀流體方程。消息甫一放出，就登上各大社交平臺熱搜，這為下一屆菲爾茲獎得主花落誰家增添了一筆神秘色彩。

論文發(fā)表頁面 | 圖源：官網(wǎng)

1900年8月6日，國際數(shù)學(xué)家代表大會在巴黎召開。

38歲的德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）走上講臺，第一句話就問到：“揭開隱藏在未來之中的面紗，探索未來世紀(jì)的發(fā)展前景，誰不高興呢？”接著，他向與會者提出了23個數(shù)學(xué)問題，這就是著名的希爾伯特演說。這一演說，成為世界數(shù)學(xué)史上的重要里程碑，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開了光輝的第一頁。

百年來，人們把解決希爾伯特問題，哪怕是其中一部分，都看成至高無上的榮譽(yù)。而今，希爾伯特第六問題在沉寂了125年之后，實現(xiàn)新突破。

希爾伯特第六問題包括兩個具體問題：第一，是概率論的公理化基礎(chǔ)，此問題已在20世紀(jì)上半葉解決；第二，是玻爾茲曼關(guān)于力學(xué)原理的問題，即如何從數(shù)學(xué)上發(fā)展極限，從原子論的視角推導(dǎo)出連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動定律。

這一問題的核心訴求是將物理學(xué)公理化，把物理學(xué)的基本概念、定律和推導(dǎo)過程，變成一套邏輯嚴(yán)密、無可置疑的數(shù)學(xué)體系。在希爾伯特的計劃中，首先涉及的是概率論和玻爾茲曼的氣體動理論。

什么叫物理學(xué)的公理化？簡而言之，就是用數(shù)學(xué)為物理找到解釋的注腳。即物理學(xué)如何利用基本公理系統(tǒng)，從第一性原理出發(fā)來推導(dǎo)其他物理定律。在氣體動力論這一具體問題上，公理化的要求對應(yīng)于，在利用牛頓力學(xué)解釋單個粒子運(yùn)動規(guī)律的基礎(chǔ)上，如何推導(dǎo)出含有大量粒子的氣體系統(tǒng)和流體系統(tǒng)的規(guī)律。

牛頓時代的物理學(xué)主要是研究少量單體，如只研究一個或少量物體如何相互作用、如何運(yùn)動、相互作用后又如何運(yùn)動。隨著時間推移，物理學(xué)百花齊放，發(fā)展出電學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、氣體動力學(xué)、流體力學(xué)，在氣體動力學(xué)中有玻耳茲曼方程，而在流體力學(xué)領(lǐng)域有歐拉方程（可壓縮）和納維-斯托克斯方程（不可壓縮）。

玻耳茲曼方程涉及到的粒子可以看作是大量遵守牛頓力學(xué)的粒子，它們在牛頓力學(xué)公理法則的支配下，與環(huán)境、容器、大量的其它粒子相互作用，進(jìn)而呈現(xiàn)出由歐拉方程和納維-斯托克斯方程描述的宏觀規(guī)律。

作為原子論的堅定支持者，玻爾茲曼發(fā)展了統(tǒng)計力學(xué)方法，基于原子論假設(shè)給出了理想氣體在非平衡狀態(tài)下的運(yùn)動方程，這即是玻爾茲曼方程。希爾伯特提出的研究計劃，從原子尺度上的牛頓運(yùn)動定律出發(fā)，以玻爾茲曼的動力學(xué)理論作為中間步驟，目標(biāo)就是嚴(yán)格推導(dǎo)流體運(yùn)動的定律。

但牛頓運(yùn)動定律是可逆的，玻爾茲曼方程卻是不可逆的。牛頓運(yùn)動定律認(rèn)為，單個粒子的碰撞、運(yùn)動遵循一般動力學(xué)規(guī)律，這一過程是可逆的。而玻爾茲曼在麥克斯韋的分子混沌假設(shè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了熱力學(xué)第二定律，即當(dāng)溫度不同的氣體分子混合在一起，最終溫度會變得均勻，顯而易見，氣體分子的運(yùn)動狀態(tài)是具有時間方向的確定性。

盡管玻爾茲曼的統(tǒng)計力學(xué)開始被人們接受，但如何從時間可逆的機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)演化出時間不可逆的熱力學(xué)系統(tǒng)，仍然困擾著一代又一代數(shù)學(xué)家。包括希爾伯特本人在內(nèi)，科學(xué)家們一直在嘗試通過將玻爾茲曼方程展開等方式來完成這一過程。

1975年，美國數(shù)學(xué)家Oscar Lanford證明了在足夠短的時間內(nèi)玻爾茲曼方程的正確性，這一成果無疑成為解決希爾伯特第六問題的推進(jìn)器，在數(shù)學(xué)界燃起了最終解決這一問題的光亮；此后近50年的時間里，相關(guān)研究陷入了瓶頸，但數(shù)學(xué)家們不斷嘗試新的方法和思路，從不同的角度對問題進(jìn)行剖析。

論文正文 | 圖源：官網(wǎng)

直到去年，鄧煜等三人聯(lián)手，用一篇164頁的論文，從稀薄氣體硬球系統(tǒng)在任意長時間下推導(dǎo)了玻爾茲曼動力學(xué)方程，使得希爾伯特第六問題的解決之路又向前邁進(jìn)了一大步。

今年3月，他們的新論文終于給狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了可壓縮流體的歐拉方程以及不可壓縮條件下的納維-斯托克斯方程。

這次取得重大突破的團(tuán)隊由三位杰出的數(shù)學(xué)家組成，分別是芝加哥大學(xué)副教授鄧煜、密歇根大學(xué)研究助理教授馬驍，以及密歇根大學(xué)教授Zaher Hani。

鄧煜參與在線訪談 | 圖源：會議截圖

鄧煜，1989年出生于中國深圳。2006年，年僅16歲的他在全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營中以滿分成績奪得冠軍，次年入選國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）中國國家隊并斬獲金牌，順利保送北京大學(xué)。在北大數(shù)院學(xué)習(xí)兩年之后，他轉(zhuǎn)學(xué)前往麻省理工學(xué)院深造，并于2015年在普林斯頓大學(xué)獲得博士學(xué)位，此后前往紐約大學(xué)庫朗研究所擔(dān)任博士后。2018年，鄧煜完成博士后研究之后前往美國南加州大學(xué)，2024年加入芝加哥大學(xué)至今。他的研究興趣主要圍繞色散和流體方程，以及概率和調(diào)和分析。

鄧煜早年常駐貼吧、知乎，時常與“道友”分享學(xué)習(xí)生活所思所想，他總以溫文爾雅兼幽默風(fēng)趣示人，常被“道友“稱為“燈神”。在接受《返樸》視頻采訪時，鄧煜流露出一股天然的松弛感，不過他說話語速很快，旁人透過語言表達(dá)，可以輕易看出其思維泉涌。

馬驍參與在線訪談 | 圖源：會議截圖

和鄧煜數(shù)學(xué)競賽出身不同，馬驍屬于半路出家，競賽經(jīng)驗寥寥。馬驍1998年出生于河南新鄉(xiāng)，初中畢業(yè)于鄭州市一中，高中通過數(shù)學(xué)競賽考入鄭州外國語中學(xué)。2014年，高二學(xué)生馬驍通過自主招生，考入中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班學(xué)院。

在中國科大，無論最后個人自主選擇什么專業(yè)，數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科都是每個學(xué)生的必修課。大一伊始，馬驍選擇了“較為實用”的物理學(xué)，到大二時他才扭頭選擇了數(shù)學(xué)，并考入華羅庚英才班。

這里需要插一句題外話，大三時馬驍曾前往號稱“數(shù)學(xué)家搖籃”的巴黎高師學(xué)習(xí)了一段時間，后因法語“不過關(guān)”而另尋出路。馬驍回憶起這段往事，尷尬地笑起來。2023年，他從美國普林斯頓大學(xué)博士畢業(yè)，目前是密歇根大學(xué)的研究助理教授。

相比于鄧煜的侃侃而談，馬驍說話不疾不徐，力求嚴(yán)謹(jǐn)，流露出大男孩靦腆的微笑。在回答《返樸》的提問時，他會自然而然地列出“首先、其次、再次”，并且不時追加“不知道我有沒有表述清楚”。

Zaher Hani丨圖源：密歇根大學(xué)官網(wǎng)

另一位作者Zaher Hani未參與此次訪談，但從鄧、馬兩位的介紹中，可以洞悉其在本項研究中承擔(dān)著重要角色。Zaher是黎巴嫩人，本科畢業(yè)于貝魯特大學(xué)，于加州大學(xué)洛杉磯分校獲得博士學(xué)位，師從著名數(shù)學(xué)大師陶哲軒，目前是密歇根大學(xué)的教授，同時也是馬驍?shù)牟┦亢蠛献骼蠋煛ani最讓馬驍驚奇的是，“他是我見過的第一個會使用微信、支付寶、攜程的外國人！”

對于媒體的熱切報道，馬驍直言，“我們沒有想到這一篇論文相比去年發(fā)布的論文，引起這么大的轟動，這是我們意料之外的。”用鄧煜的話來說，“推導(dǎo)出玻爾茲曼方程是無心之舉”。

溯源鄧煜的文章可以發(fā)現(xiàn)，2024年8月之前沒有任何一篇論文關(guān)于玻爾茲曼方程的證明。

2018年底，鄧煜正在研究色散方程的隨機(jī)初值理論，即隨機(jī)Fourier級數(shù)。Hani在芝加哥大學(xué)的一次會議上向他拋出了一個問題，詢問其對“Wave Kinetic Equation 的推導(dǎo)”有何看法。鄧煜很快發(fā)現(xiàn)之前做隨機(jī)初值問題發(fā)展的一套組合工具，恰好可以用來處理WKE的Feynman（費(fèi)曼）圖，于是大大改進(jìn)了之前的結(jié)果，證明了所有稱之為“次臨界”的情況。

Hani并不滿足于此，拉著鄧煜繼續(xù)深入研究，“要不我們試一試臨界情形吧”。盡管鄧煜內(nèi)心一開始是拒絕的，但是在初試之后立馬就嘗到了甜頭，倆人發(fā)現(xiàn)了一套新的組合結(jié)構(gòu)和工具，這真叫“洞天石扉，訇然中開”！至此，2021年4月，倆人證明了“短時間”的臨界情形。

對于“長時間”臨界情形的證明，鄧煜追憶到某次吃韓式炸雞時的靈光乍現(xiàn)。“如果從短時間 τ 推到 2τ 會發(fā)生什么？我猛然發(fā)現(xiàn)這里存在著神奇的抵消性，再后來我才意識到這其實給出了WKE的時間箭頭。和Hani討論之后，我們發(fā)現(xiàn)這可以用來推導(dǎo)長時間的Wave Kinetic Equation。”

2022年12月，紐約召開Simons collaboration meeting，鄧煜和此前素未謀面的同門師弟馬驍相識——倆人在普林斯頓讀博期間是同一個導(dǎo)師，時空差距在此次會議上得以彌合。更巧的是，馬驍接著又做了Hani的博后，“再也沒有比他更合適的人選了”。

2023年初，在鄧煜著手做波湍流的第四年，他已經(jīng)相當(dāng)有把握，可以證明“長時間”的Wave Kinetic Equation，“以往學(xué)界往往用粒子系統(tǒng)來類比適用于波湍流的wave kinetic equation，我們?yōu)楹尾徽{(diào)換方向，用wave kinetic equation反向類比到粒子系統(tǒng)呢？”

這一想法，正是兩篇證明玻爾茲曼方程論文的起源。其核心思想是傳播一種長時間累積量（cumulant）假設(shè)，該假設(shè)能夠保留相關(guān)粒子完整的碰撞歷史研究的關(guān)鍵，在于證明這些累積量在L1范數(shù)下的微小性，而這一問題可以轉(zhuǎn)化為研究費(fèi)曼圖（Feynman diagrams）對應(yīng)的碰撞歷史（CH）分子的組合性質(zhì)。這就到了鄧煜的研究舒適區(qū)。

團(tuán)隊選取稀薄氣體硬球體系作為研究目標(biāo)，運(yùn)用累積量解析法來追溯粒子碰撞的完整過程。為調(diào)控分子的組合特性，確保復(fù)碰撞數(shù)量處于可控范圍，從而消除引發(fā)發(fā)散的根源，團(tuán)隊精心構(gòu)思了一種繁復(fù)的“切割算法”（cutting algorithm）。這一創(chuàng)新性算法成為整個研究的點睛之筆，經(jīng)由對分子組合的精妙調(diào)控，成功證實了累積量的微小特性，進(jìn)而從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)中，得出了玻爾茲曼方程的長期有效性。

在新近發(fā)表的論文中，團(tuán)隊成功地從微觀牛頓力學(xué)出發(fā)，經(jīng)由玻爾茲曼動力學(xué)理論，推導(dǎo)出了流體力學(xué)的歐拉方程與納維-斯托克斯方程，證明了粒子系統(tǒng)的物理量的極限滿足宏觀流體力學(xué)方程。這一成果實現(xiàn)了從微觀粒子系統(tǒng)的牛頓定律出發(fā)，通過玻爾茲曼動力學(xué)理論嚴(yán)格推導(dǎo)出宏觀流體力學(xué)偏微分方程的目標(biāo)，為狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號。

當(dāng)被問及在“破解”希爾伯特第六問題之后做了什么事情時，鄧煜道，“沒忍住狂喜，發(fā)了條朋友圈。”

馬驍微微一笑，“還在鉆研如何簡化證明流程，評審專家目前覺得我們的證明較為艱澀難懂。”

需要補(bǔ)充說明的是，目前論文正在審稿中，不過學(xué)術(shù)界普遍持樂觀態(tài)度。

玻爾茲曼逝世后，被埋葬在維也納中央公墓，他的墓碑上鐫刻著一個著名公式S=k·logW，其中S描述了一個熱力學(xué)系統(tǒng)的熵，W代表該宏觀狀態(tài)中所包含的微觀狀態(tài)數(shù)量，k則是著名的玻爾茲曼常量。三月春風(fēng)和煦，綠葉沙沙作響，這位統(tǒng)計力學(xué)先驅(qū)至死都在追尋微觀和宏觀的聯(lián)系，而今終于能用數(shù)學(xué)證明：分子碰撞的喧囂，終將匯成物理定律的永恒樂章。

[1] https:///abs/2503.01800

[2] https://mp.weixin.qq.com/s/E-XAupyIm-Z_UlJOjag86g

[3] https://www.zhihu.com/people/ma-xiao-42-34

[4] https://www.zhihu.com/question/14073117334/answer/123281591095