【原】電流密度矢量

靜止的帶電體能夠激發靜電場，而運動的帶電體則激發隨時間變化的電場。不僅如此，運動的帶電體還能夠以電流的方式按照畢奧—薩伐爾定律激發磁場。

為了以一種一般的方式寫出運動電荷激發的磁場，引入電流密度矢量的概念描寫電荷的分布和運動：它的物理意義是：在與電荷運動方向垂直的面上，單位時間內通過單位面積截面的電量。而電流強度則被定義為：在與電流流動(電荷運動)方向垂直的面上，單位時間內通過的電量：        在電流區內任取一個封閉曲面，由于電荷必須守恒，因此，某一段時間間隔中流入該封閉曲面的電量應該等于這段時間間隔中曲面內電量的增量：這是電荷守恒方程的積分形式。由于約定封閉曲面朝外為正向，因此，等號左邊的負號表示流入該封閉曲面的電量；等號的右邊顯示，封閉曲面內電荷密度的改變導致面內電量的改變。

利用矢量場論中的奧—高公式可以得到電荷守恒方程的微分形式：由于封閉曲面的任意性，等式中的兩個體積分內的被積函數必須相等：這正是電荷守恒方程的微分形式。電荷守恒方程也被稱為電流連續性方程。如果電荷密度與電流密度均不隨時間改變，則電流是穩定的。于是，穩定電流的條件是：        由于電流密度矢量反映了電荷的分布和運動，因而也就反映了空間中電流的分布狀況。有了電流的分布狀況，它激發的磁場的空間分布就可以確定下來。

在普通物理學的電磁學課程中，電流是沿著導線分布的。假定流過一根導線的電流強度為  ，則導線上任一小段長度為  的線元就構成一個電流元  ，其中  的方向指向電流流動的方向。有了一段電流元的表達式，根據畢奧—薩伐爾定律就可以求出這段電流元激發的磁感應強度。

不過，為了對問題做一般性的理論探討，需要對電流元的概念加以推廣，以適應分布于空間中的電流系統。

對由載流導線構成的電流系統而言，導線的橫截面的線度遠小于導線本身的長度，通過導線上某處橫截面上的電流密度矢量可以近似地被看作常矢量。如果用  表示導線的橫截面積，根據前面有關電流強度和電流密度矢量之間的關系，通過導線的電流強度其中橫截面面元矢量  的方向指向電流的流動方向。于是，任意一小段長度為  的載流導線構成的電流元矢量就可以寫成另一方面，對于一段載流線元而言，上式中的三個矢量同向，由此立刻可以得到其中  是這一段線元的體積。

可以把載流線元的這個表達式推廣到分布于空間中的電流系統，在這個電流系統中，任意一小塊有電流流過的空間體元  ，與該體元處的電流密度矢量的乘積  ，構成一個電流元。