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★加星zzllrr小樂公眾號數學科普不迷路！ 幾十年來，數學家們一直在努力理解那些既能反映有序性又能反映隨機性的矩陣，比如那些對半導體建模的矩陣。一種新的方法或許能改變這一現狀。  數學家們長期以來一直著迷于隨機性如何阻止電流流動，將粒子困在原地。 視頻源：Wei-An Jin / Quanta Magazine
初始謎團是這樣的：1950年代，貝爾實驗室的物理學家喬治·費赫爾（George Feher）將少量其他元素（例如磷或砷）注入硅中。當他注入少量元素時，電子可以在生成的材料中自由移動。但隨著他注入更多元素，材料的內部結構變得更加隨機，阻礙了電子的運動。這種阻礙并非像人們預期的那樣逐漸發生，而是在濃度超過特定點時突然發生，將電子困在里面。然后，電子的運動就完全停止了。 “它之前導電，導電，導電，然后就不再導電了，”倫敦國王學院的物理學家 揚·費奧多羅夫（Yan Fyodorov）說。耐人尋味的是，這種行為的急劇變化讓人聯想到相變，比如零攝氏度時水突然結冰。“物理學家喜歡相變，”費奧多羅夫說。 很快，貝爾實驗室的另一位物理學家菲利普·W·安德森（Philip W. Anderson）建立了一個模型來描述這種令人費解的行為。他希望嚴格證明他的模型與費赫爾的實驗結果一致。也就是說，他想證明，一旦一種材料的結構足夠隨機，它的電子就會從自由移動（即“離域”delocalized）的狀態轉變為完全停滯（即“定域”localized）。 安德森后來獲得了諾貝爾獎，部分原因就是這項工作，正如他在諾貝爾演講中所述 https://www./uploads/2018/06/anderson-lecture-1.pdf ，他為尋找這一證明所做的努力使他“成了所有人的麻煩”。 但他最終還是無法給出嚴格的證明。 幾十年來，其他研究人員也一直未能解決這個問題，但在過去的一年里，研究人員發表了一系列成果 https:///abs/2501.01718 ，標志著自1980年代以來該問題取得的最重大進展 https:///abs/2503.07606 。  菲利普·W·安德森建立了一個描述半導體材料中電子行為的模型。從那時起，數學家們就一直希望證明它能夠準確地反映實驗中觀察到的某些特性。 圖源：Wikimedia Commons 他們的技術不僅有望用于分析像安德森這樣的電子行為模型，這項工作還觸及了長期以來對非完全隨機或非完全有序系統的探索。 “我真的很興奮，”哈佛大學的姚鴻澤說道，他職業生涯的大部分時間都在研究這個問題。談到這些具有挑戰性的模型，“我覺得這是我們第一次擁有一種能夠產生巨大影響的方法。” 厚薄之間 安德森將材料視為一個由電子可以隨機跳躍的點組成的網格。如果電子跳躍頻繁，材料就會導電。如果電子無法跳躍，材料就會絕緣。 為了理解電子的整體行為，你可以使用一個稱為矩陣的數字數組來計算值列表。這些值列表被稱為特征函數（eigenfunction）。 在相對純凈的物質中，幾乎所有特征函數的平均值都非常小。這說明電子跳躍到網格上不同位置的概率相對均等。它被離域化了（delocalized）。 安德森表示，對于描述具有足夠隨機性的材料的矩陣，每個特征函數應該會發現它的一些值突然變得非常大，而其他值則降至零。這意味著電子現在被困在網格的特定區域中。它被定域化了（localized）。 問題在于，對于安德森使用的矩陣類型，計算特征函數非常困難。它們顯然超出了標準方法的范疇。 這就是帶狀矩陣發揮作用的地方。 “帶”（band）指的是矩陣對角線上散布的數字——這是安德森矩陣的標志。如果矩陣中僅有的非零數字位于從左上角到右下角的線上，則該矩陣的帶寬為1。對角線上的其他非零數字會使帶寬增大。安德森模型中的矩陣總是具有非常薄的帶。這種薄矩陣的特征函數很難計算。 帶寬就像電子移動距離的反映：帶寬越大，電子就能傳送到網格上更遠的點。（這雖然不是一個非常現實的模型，但仍然很有用。）  姚鴻澤花了數十年時間研究矩陣中隨機性和有序性的相互作用。 圖源：姚鴻澤 在安德森矩陣中，有些元素是隨機的，有些則不是。但在1990年，物理學家注意到，所有元素均為隨機的帶狀矩陣也表現出定域化轉變：寬帶表示離域電子，窄帶表示定域電子。與安德森模型不同，這種轉變是緩慢的，而不是突然的。但研究人員仍然可以檢測到一個閾值——一個將離域態與定域態區分開來的帶寬。因此，與安德森模型一樣，數學家們想要精確地確定這個閾值。也就是說，他們想要找到一個盡可能窄的帶狀矩陣，使特征函數的值保持較小。 這仍然很難做到，因為帶越薄，分析矩陣的特征函數就越困難。但這可能比計算安德森薄帶矩陣的特征函數要容易。如果數學家們能夠證明這個新的閾值，或許能幫助他們理解那些更難的矩陣。 失控 發現帶狀矩陣轉變的物理學家們從一個更簡單的模型入手。他們設想了一種類似無限細的金屬絲的材料——這個問題的一維版本。然后，他們利用數值實驗精確地確定了定域化和離域化之間的閾值。 但這些實驗與數學證明不同。“它們基于完全不受控制的近似，雖然看似合理，但通常很難做到嚴格，”日內瓦大學的安蒂·諾爾斯（Antti Knowles）說道。因此，數學家們一直將帶狀矩陣列在他們的待辦事項清單上，希望將這些理論轉化為定理。姚鴻澤和他當時的博士后尹俊（Jun Yin）就是其中之一。 尹俊教授于2008年在普林斯頓大學物理系獲得博士學位后加入姚鴻澤團隊。兩人最初從一維情況入手。到2013年，他們與諾爾斯和拉茲洛·埃爾德什（László Erd?s）合作，證明了 https://link./article/10.1007/s00220-013-1773-3 一旦帶非常寬，大多數特征函數就會發生離域化。但這個寬度仍然遠遠高于物理學家預測的閾值。 多年來，他們探索了各種各樣的方法，試圖證明特征函數在較小的帶寬下仍然保持較小。他們甚至嘗試了七維版本的問題 https:///abs/2104.12048 ，雖然這個設置與物理學關系不大，但他們希望從中得到一些數學上的啟發。  尹俊，前物理學家，最初希望專注于氣體的量子行為研究。但他很快被一個涉及隨機矩陣和半導體模型的新問題所吸引。 但經過十年的努力，他們只距離目標近了一點點。 他們似乎什么方法都試過了。然后，在2024年春天，他們意識到之前被否定的一種方法或許真的有用。 噩夢縈繞 姚鴻澤和尹俊最初否定的方法是隨機矩陣理論中一種古老而老套的方法：仔細調整一個難以求解的矩陣，得到一個更容易處理的新矩陣。這將一個難題——研究帶狀矩陣的特征函數——變成了兩個更容易處理的問題。首先，數學家需要證明他們調整矩陣的方法不會對其特征函數產生太大的影響。然后，他們必須證明新矩陣的特征函數很小——電子是離域的。 然而，當姚鴻澤和尹俊將這項技術應用于帶狀矩陣時，他們仍然難以理解新矩陣的特征函數。他們已經把分析推到最后一步：他們必須證明某個特定方程的解很小。 但在嘗試解這個方程時，兩人最終陷入了噩夢般的循環。他們非但沒有得到一個簡潔的答案，反而得到了一個新的、甚至更混亂的方程式。而當他們試圖解這個方程時，得到的只是更難解的東西。 “計算越來越復雜了，你說，真的嗎？這就是你的方案？你從哪兒能解決？”尹俊說。 他花了幾個月的時間琢磨這些方程式，畫了200多頁圖，試圖理解它們。“想法是一點一點產生的，”他說，“要花很長時間才能弄清楚。” 經過數月的艱苦探索，他和姚鴻澤找到了簡化方程的方法。這使得他們得以完成證明：他們證明， https:///abs/2501.01718 一旦帶寬略大于預測的閾值，特征函數的值就必須很小。電子必然處于離域狀態。 這是自安德森提出他的模型以來，對離域現象的最大證明。 十六個冬天 姚鴻澤和尹俊的證明處理的是一維模型。有了新的成果，他們立即著手解決高維帶狀矩陣的閾值問題。他們聘請了姚鴻澤的研究生索菲婭·杜波娃（Sofiia Dubova）和他的博士后凱文·楊（Kevin Yang）來協助。幾個月后，團隊就能夠將姚鴻澤和尹俊的技術應用于電子在二維網格中跳躍的情況。上個月，姚鴻澤、尹俊、杜波娃和楊帆在三維情形下取得了重大進展，https:///abs/2507.20274 而三維情形最能模擬我們的物理三維現實。 數學家們長期以來一直在努力理解那些帶有少量隨機性的矩陣。最近這一系列的研究為如何理解這些矩陣提供了新的見解。研究人員現在希望將姚鴻澤、尹俊和他們的同事開發的方法應用到各種其他場景中。“基本上，人們可以定義并嘗試應用這些技術的不同變體有無數種，”諾爾斯說。   索菲亞·杜波娃（上）和凱文·楊（下）利用概率論來了解電子如何在材料中卡住或脫離。 圖片由 Sofiia Dubova（左） 和 Serena Blacklow 提供 盡管如此，對于該領域的數學家來說，利用帶狀矩陣理解安德森模型的前景遠勝于任何其他目標。“每個人都知道這些問題，而且它們無法通過傳統技術來解決，”哥倫比亞大學的阿莫爾·阿加瓦爾（Amol Aggarwal）說道。“現在它們能夠被理解，這讓人們對帶狀矩陣產生了極大的興趣。” 為此，尹俊和楊帆將他們的方法應用于另一類與安德森模型更為相似的矩陣 https:///abs/2501.08608 。今年6月，拉茲洛·埃爾德什和沃洛迪米爾·里亞博夫發表了一篇論文，https:///abs/2506.06441 將姚鴻澤和尹俊的一維結果應用于更廣泛的帶狀矩陣。他們的證明或許對更現實的電子行為模型有所裨益。 半個世紀以來，數學家們第一次對解決安德森最初問題的前景感到充滿希望。回想起來，尹俊記得2008年他問過拉茲洛·埃爾德什，他們的團隊能否在冬天結束前完成關于帶狀矩陣的論文。“他開玩笑說，哪個冬天？”尹俊說。“我沒想到竟然花了16個冬天才最終完成。”
https://www./new-physics-inspired-proof-probes-the-borders-of-disorder-20250815/ https://www./uploads/2018/06/anderson-lecture-1.pdf https:///abs/2501.01718 https:///abs/2503.07606 https://link./article/10.1007/s00220-013-1773-3 https:///abs/2104.12048 https:///abs/2507.20274 https:///abs/2501.08608 https:///abs/2506.06441
2026年3月14日國際數學日主題新鮮出爐：數學與希望——IDM314.org 為何合作是通往數學人生的關鍵——譯自Quanta Magazine量子雜志 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（八）【19.數學教育 20.數學史】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（七）【16.控制論和最優化 17.統計和機器學習 18.隨機和微分建模】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（六）【13.組合學 14.計算機科學數學 15.數值分析與科學計算】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（五）【10.偏微分方程 11.數學物理 12.概率論】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（四）【7.李理論 8.分析 9.動力系統】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（三）【4.代數幾何和復幾何 5.幾何 6.拓撲】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（二）【1.邏輯 2.代數 3.數論】 ICM2026國際數學家大會受邀報告人名單及詳細介紹（一）——阿貝爾講座、艾米·諾特講座、全體大會1小時報告嘉賓 新的球體堆積記錄來自意外的來源——譯自量子雜志Quanta Magazine SAMP《科學美國人》數學謎題集錦[20240713 - 20250705每周一題共52題]
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