試題內容解法分析(1)矩形ABCD的周長為10. 解法分析(2)尺規作圖
在作出垂線(直角)的基礎上，通過構造等腰直角三角形，得到45°角. 作法：
1.以點E為圓心，EO長為半徑畫圓，交BE于點M.
2.作直線MO交AD于點N. 直線MN即為所求作.
(作法不唯一，但原理相同.) 
作圖原理的說明
由作圖過程得：∠OEM=90°，EM=EO，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴∠NMC=45°，
∴直線MN與BC所夾的銳角是45°.
根據ASA/AAS證明△AON?△COM，
∴AN=CM，
∴DN=BM，
∴AB+BM+AN=CD+DN+CM，
∴直線MN將矩形ABCD分成了周長相等的兩部分. 解法分析(3)作圖原理的說明
需要注意的是：既要說明直線MN將矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，還要說明直線MN與BC所夾的銳角是45°.
由作圖步驟①得：BG=AB=1，
∴△ABG是等腰直角三角形，CG=3，
∴∠AGB=45°.
由作圖步驟②得：GM=CG=1.5.
由作圖步驟③得：AN=GM=1.5，
∴AB+BG+GM+AN=5=C矩形，
∴直線MN將矩形ABCD分成了周長相等的兩部分.
∵AN=GM，AN∥GM，
∴四邊形ANMG是平行四邊形，
∴MN∥AG，
∴∠NMB=∠AGB=45°，
∴直線MN與BC所夾的銳角是45°.
∴直線MN符合要求. 解法分析(4)銳角三角函數
1.將∠BCH置于直角三角形中，根據正切函數的定義求解即可.
2.在構造直角三角形時，應充分考慮到已知條件(等腰直角三角形BHQ)的使用.
3.直線PQ的隱藏性質：過矩形的對稱中心.
連接BD交PQ于點O，作OM⊥BC于點M，作HN⊥BC于點N.
∵直線MN將矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，
∴AB+AP+BQ=5，即AP+BQ=4，
∵AP+DP=4，
∴BQ=DP.
根據ASA/AAS證明△BOQ?△DOP，
∴BO=DO.
根據A型相似求得：
OM=CD=，BM=BC=2.
∵∠BQH=∠PQC=45°，∠BHQ=∠OMQ=90°，
∴△BHQ和△OMQ都是等腰直角三角形，
∴QM=OM=，HN=BN=NQ=BQ=(BM-QM)=，
∴tan∠BCH===. 隱圓與最值
在沒有計算機輔助的情況下，我們主要有以下處理方法：
1.繪制點H的初始位置(點Q與點B重合)和終止位置(點Q與點C重合)， 獲取準確的運動路徑.
2.將運動軌跡看作整圓，只要能夠畫出符合題意的圖形(點Q在BC上)，亦可解決問題. 
∵∠BHO=90°，
∴點H在以BO為直徑的圓上運動(記圓心為K).
當CH與圓K相切時(切點在AD上方)，∠BCH最大.
作KL⊥BC于點L，
根據A型相似求得：KL=CD=，BL=BC=1，CL=3.
由勾股定理求得：HK=BK=，CK=，
∴CH==2.
|
