最值模型：逆等線模型構成、解題思路及應用舉例（含加權逆等線）

一、模型構成及解題思路

1、模型構成：雙動點、等線段（首尾不相連）

如圖，紅色線段AD和BE是逆等線，AD=BE，逆等線上各有一個動點，求藍色動線段AE和CD之和的最小值.

2、解題思路：利用逆等線構造全等三角形，實現動線段的轉移，將兩條動線段的動點結合在一起，轉化為折線段最短問題，然后利用兩點之間線段最短確定動點位置.

二、應用舉例

例1、如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=8，AB=10，點D、E分別是AB、BC邊上的動點，且AD=BE，則AE+CD的最小值為_______.

解答：如圖，作∠DAF=∠ABE，且AF=AB，連接DF

易證△FAD≌△ABE(SAS)?DF=AE

∴AE+CD=DF+CD

由兩點之間線段最短，知

當C、D、F三點共線時，DF+CD有最小值

連接CF，過點C作CG⊥FA，交FA延長線于點G

由勾股定理，可得 CF=2√61

∴AE+CD的最小值為2√61

例2、如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點E、F是線段AB上的兩個動點，且滿足AE=BF，連接CE、CF，則CE+CF的最小值為________

解答：如圖，以BF為邊構造△DBF≌△CAE?DF=CE

CE+CF=DF+CF，最小值為CD=10.

三、拓展-加權逆等線

例3、如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E、F分別是CD、BC上的動點，且DE=2BF，則2DF+AE的最小值為________.

分析與解答：

本例與前兩例有所不同，DE和BF不再相等，而是成倍數關系，這種問題可看作加權逆等線，它的特征是：雙動點，倍線段（首尾不相連）.

解題思路和逆等線類似，只需把構造全等三角形改為構造相似三角形.

如圖，作△GBF∽△ADE，相似比為1：2

∴GF=1/2AE，2DF+AE=2(DF+1/2AE)=2(DF+GF)

當點D、F、G三點共線時，DF+GF最小，最小值為DG

由勾股定理，得 DG=√13

∴2DF+AE的最小值為2√13

四、小結

1、逆等線模型體現了全等三角形的等線段轉化功能，全等除了用于證邊相等、角相等外，還可用于等線段轉化與等角轉化.

2、構造全等三角形的方法并不唯一，只要是含逆等線的全等三角形，定點動點互相對應都可以，比如例1也可以在AB下方構造全等三角形，就轉化為了將軍飲馬模型（C、F是定點，動點D在線段AB上）

例2也可以：

所以說，逆等線模型的關鍵是等線段轉化、動點合并，而實現這一目的所用的手段就是構造全等三角形.

3、加權逆等線就是逆等線的靈活應用，由全等三角形聯想到相似三角形.