我想請你暫時忘掉自己對數(shù)字的一切既有認識，因為在這篇短文中，我們將從零開始，只遵循幾條基本規(guī)則。我們會發(fā)現(xiàn)一種非常自然的方式來定義數(shù)字——這種方式與當今的做法完全不同。不僅如此，我們將在這里共同發(fā)現(xiàn)的數(shù)字，不僅僅是實數(shù)，而是一個更龐大、更豐富的結(jié)構(gòu)。  在某種意義上，最自然的可進行合理算術(shù)運算的數(shù)字體系，就是所謂的超現(xiàn)實數(shù)（surreal numbers）——這是一個廣袤無比的數(shù)字系統(tǒng)，包含了所有實數(shù)、你聽說過的一切無窮大、以及比任何正實數(shù)都小的所有無窮小——然而它依然是嚴謹有序、邏輯自洽，并且?guī)缀鯊摹盁o”中構(gòu)造出來的。這并不是科幻或數(shù)學幻想，而是真實存在的數(shù)學宇宙，誕生自一種極為樸素的思想。 你不需要預先懂得任何復雜知識，我會帶你一路走向無窮，甚至超越無窮。 人們往往認為實數(shù)是“完備的”，當然，在通常意義上，這沒錯——它們的數(shù)軸上沒有任何“空洞”。然而，我要說的是，我們可以找到一個比實數(shù)軸更大的數(shù)字集合，它包含實數(shù)作為一個真子集。 我想拋出的、或許稍顯挑釁的問題是：
引言首先，我們需要理解數(shù)學家所謂的“數(shù)軸”（嚴格來說叫域 field）通常是如何構(gòu)造的。我們習慣了實數(shù)——即包含所有你能想到的小數(shù)（包括無限不循環(huán)小數(shù)）的集合——以至于很少會去想這種構(gòu)造方式是否自然。 標準的實數(shù)構(gòu)造方法，是先假定有理數(shù)（整數(shù)的分數(shù)形式）已經(jīng)存在，或者至少可以通過整數(shù)相除輕松得到；然后用一種稱為戴德金分割（Dedekind cut）的方法（強烈建議自己去查找了解），將它們的“空隙”補上，這個過程依賴于標準的距離度量（絕對值）。  有趣的是，如果你改變距離的度量方式，但仍然保持數(shù)學家所要求的“度量”性質(zhì)，然后再去填補有理數(shù)的空隙，就能得到其他的數(shù)字系統(tǒng)（其他的域）——我們稱它們?yōu)?/span>p-進制數(shù)（p-adic numbers）。實際上，對于每一個素數(shù) p，我們都能得到一個獨特的數(shù)字系統(tǒng)。這些數(shù)字系統(tǒng)與實數(shù)一樣合理（甚至可以說更合理）。 但是，這些系統(tǒng)都要求有理數(shù)已經(jīng)存在。例如，那個看似簡單的有理數(shù) 1/3，在十進制中需要用無限位小數(shù)才能精確表達——這意味著需要無限的信息量。當然，你可以說這只是十進制的“怪癖”，但不論采用什么進制，總會有某些有理數(shù)需要無限小數(shù)才能精確表示。 而我們將要看到，超現(xiàn)實數(shù)體系有一種優(yōu)雅的方式，可以從“簡單”數(shù)字逐步構(gòu)造起來，而不必先假設包含無限信息量的有理數(shù)早已存在。你真的希望在“創(chuàng)造” e 或 π 之前，就假設有理數(shù)早已在那里嗎？戴德金分割構(gòu)造實數(shù)的方法和 p-進制數(shù)的構(gòu)造都假設有理數(shù)是基礎(chǔ)，但能不能從“無”開始，一步步爬上復雜度階梯，最終得到實數(shù)呢？答案是肯定的，而且過程極為優(yōu)美。更讓人驚訝的是，這樣我們得到的遠不止實數(shù)！ 為了以這種自然的方式構(gòu)造數(shù)字，我們將按順序創(chuàng)造它們，并遵循一個小小的“原則”——有些數(shù)字比其他數(shù)字更簡單，因此應當更早被創(chuàng)造出來。 我們將把每個數(shù)字定義為一個由兩個集合（數(shù)學上的“容器”）構(gòu)成的對象：一個左集合 L，一個右集合 R。這個數(shù)字本身記作有序?qū)Γɑ蚍Q“形式”）{ L | R }。乍一看，這種表示法似乎非常陌生，但一旦習慣，你會發(fā)現(xiàn)它其實非常自然。 這個構(gòu)造只有兩條規(guī)則： 規(guī)則一 每個數(shù)字都對應著兩個集合（左集合 L 和右集合 R），它們由之前已經(jīng)創(chuàng)造出的數(shù)字組成，并且要求：左集合中的任何元素都不能大于或等于右集合中的任何元素。 為了理解這條規(guī)則，我們需要另一條： 規(guī)則二 第一個數(shù)字的左集合中沒有元素大于或等于第二個數(shù)字，并且第二個數(shù)字的右集合中沒有元素小于或等于第一個數(shù)字，那么這個第一個數(shù)字就小于或等于第二個數(shù)字。 注意，這些定義是遞歸的——這是整個理論的一個反復出現(xiàn)的主題。僅憑這兩條公理，就能構(gòu)造出整個超現(xiàn)實數(shù)軸；不過，目前我們還不會對它們進行加減乘除，這些運算要后面才出現(xiàn)。 一開始，什么都沒有……本節(jié)標題必須按字面意思來理解——第一個數(shù)字必須從空集合中創(chuàng)造出來。因此，在這個數(shù)學宇宙的第零天（day zero），第一個數(shù)字是 { | }（我們用豎線分隔左右集合，空集合用省略 ? 或空括號表示）。我們稱它為 0： { | } = 0 當然，目前 0 只是一個隨意的名字或標簽，但之后我們會證明這是正確的名字，因為它最終會成為加法的“零元”。 在第一天（day 1），新的數(shù)字必須由之前的數(shù)字依照第一條規(guī)則創(chuàng)造出來，于是出現(xiàn)了 { | 0 } 和 { 0 | }。結(jié)果是： { | 0 } = -1 我們引入一個有用的定義：
你可能會好奇，第二天創(chuàng)造出來的新數(shù)字的標簽（或數(shù)值）是怎么推出來的。根據(jù)第二條公理可以看出，當一個數(shù)字 x = { L | R } 的左集合 L 和右集合 R 都是有限集合時，x 的位置完全由 L 中最大的數(shù)字以及 R 中最小的數(shù)字決定。也就是說，往 L 中添加更小的數(shù)字，或往 R 中添加更大的數(shù)字，都不會改變 x 相對于其他數(shù)字的位置（即排序）。 這也意味著，超現(xiàn)實數(shù)往往有多種不同的表示形式。這不該讓人驚訝——畢竟，我們早就習慣了有理數(shù)的等式，比如 1/4 = 2/8 = 3/12 等等。 事實上，可以證明：若 x = { L | R }，那么 x 正好是所有大于 L 中一切數(shù)字且小于 R 中一切數(shù)字的數(shù)字中，最簡單的那個。如果在當前的構(gòu)造中還沒有這樣的數(shù)字，那么 x 就是 L 中最大值與 R 中最小值的“中點”。如果 L 是空集合，那么 x 就是最簡單的、小于 R 中最小值的數(shù)字；反之，如果 R 是空集合，x 就是最簡單的、大于 L 中最大值的數(shù)字。  于是，我們終于可以進入第二天（day 2）。這是最后一個簡單的例子，然后我們將進入更有趣的部分——“大爆炸”。 在第二天，會創(chuàng)造出以下數(shù)字： 因此，在第二天，我們已經(jīng)得到了 -2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 2。一般來說，在第 n 天創(chuàng)造出來的所有數(shù)字都可以寫成 a/2^b 的形式。這些數(shù)字被稱為二進有理數(shù)（dyadic rationals），它們有一個顯著性質(zhì)：它們可以逼近任何實數(shù)，也就是說，二進有理數(shù)在實數(shù)集合中是稠密的。 如果讓我稍微拉遠視角來看，這個構(gòu)造的理念是：每個數(shù)字都有一個“生日”——它第一次被創(chuàng)造出來的那一天。出于多種原因，可以理解為二進有理數(shù)比像 1/3 這樣的數(shù)字更“簡單”，而兩條規(guī)則給出的構(gòu)造恰好保證了這一點。 事實上，二進有理數(shù)正好是那些可以用有限二進制表示的數(shù)字——換句話說，它們可以寫成有限長度的 0 和 1 構(gòu)成的二進制串。所以，在任意有限天數(shù)的創(chuàng)造過程中，產(chǎn)生的數(shù)字全都是有限二進制表示的數(shù)，即二進有理數(shù)。 大爆炸：實數(shù)的誕生因為我們是用集合來構(gòu)造和定義數(shù)字的，所以在構(gòu)造中使用無限集合也完全沒有問題。而且，這種“第一次”使用無限集合的日子確實存在——那就是實數(shù)的誕生日！我們稱它為 “第 ω 天”（day ω）（符號 ω 是希臘字母 omega）。 二進有理數(shù)在實數(shù)中稠密的事實意味著：對于任何非二進的實數(shù) x，都存在一個由二進有理數(shù)組成的無限數(shù)列收斂到 x。 于是，在第 ω 天，我們可以寫出：  同樣的構(gòu)造方式適用于 1/3 和 π，所以在這個宇宙里，π 和 1/3 擁有相同的生日。實際上，在第 ω 天，無可數(shù)多個數(shù)字會在一瞬間被創(chuàng)造出來——一次大爆炸，完成了實數(shù)的構(gòu)造！ 但是，在這次大爆炸中，誕生的不只是實數(shù)。例如，我們還得到了數(shù)字： ω = { 1, 2, 3, … | }，其中左集合是所有自然數(shù)的集合 ?。這個數(shù)字是大于所有自然數(shù)的最小數(shù)字。 更令人驚嘆的是，我們還得到了數(shù)字： 1/ω = { 0 | …, 1/8, 1/4, 1/2 }，它大于 0，卻小于任何實數(shù)。事實上，對于每個二進有理數(shù)，我們都會得到形如 x ± 1/ω 的數(shù)字，因此可以說，在每個二進有理數(shù)的周圍都存在一個“無窮小半徑”的鄰域。 但這僅僅是開始，因為在 第 ω+1 天，我們會得到新的無窮數(shù) ω+1 和 ω-1，以及對于每個實數(shù) x，都得到新的數(shù)字 x + 1/ω。此外，數(shù)字 2/ω 和 1/(2ω) 也會誕生（它們正好位于 0 和 1/ω 之間）。  在每一個新的一天，都會有新的超現(xiàn)實數(shù)出現(xiàn)：新的無窮數(shù)、新的無窮小，以及出現(xiàn)在所有之前生成數(shù)字之間的新數(shù)字。超現(xiàn)實數(shù)的數(shù)量會變得極其龐大——龐大到什么程度呢？事實上，它們多到無法被定義為一個集合，而是構(gòu)成了一種叫作“真類”（proper class）的怪物。 最終，我們會得到 ω 的所有冪次和所有根，包括像 ω^ω 這樣的龐然大物（是的，我們甚至可以對“無窮”開平方）。在某個階段，我們會迎來第二次大爆炸。要精確描述它需要比這篇文章假設的更多數(shù)學背景。我能說的是，我們還會得到不可數(shù)的序數(shù)（uncountable ordinals）！它們是荒謬龐大的無窮大，甚至想到最小的一個都會讓我頭痛。 如果我們在實數(shù)構(gòu)造之前就發(fā)現(xiàn)了超現(xiàn)實數(shù)的構(gòu)造方法，那么我們很可能會把它們視為更自然的數(shù)字，而把實數(shù)看作“真正的數(shù)字”——超現(xiàn)實數(shù)——的一個微不足道的子集。 |
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