一、題目 打開今日頭條查看圖片詳情 二、分析與解答（1）DF=FC，本題很簡單，但方法很多 解法一：直接計(jì)算DF與FC的長，通過計(jì)算證邊相等  打開今日頭條查看圖片詳情 BD=3，AD=AB-BD=2，DF=3/4AD=3/2，AF=5/4AD=5/2，F(xiàn)C=AC-AF=3/2 ∴DF=FC 解法二：證全等，這種方法應(yīng)該是最容易想到，使用最多的方法  打開今日頭條查看圖片詳情 Rt△BDF≌Rt△BCF(HL)?DF=CF 解法三：證等腰，也是證邊相等的常用方法  打開今日頭條查看圖片詳情 BD=BC?∠1=∠2?∠3=∠4?DF=CF （2）正確. 題型和（1）一樣，依然是證邊相等，但（1）圖形是固定的，（2）則是動點(diǎn)，不固定，所以不太容易通過計(jì)算求得EN和AN的長，也就是說，相比（1），解法一行不通，可嘗試解法二和解法三的思路，即通過全等或等腰（含三線合一）來證邊相等. 思路一：構(gòu)造全等證邊相等 解法一：借助（1）的結(jié)論來構(gòu)造8字全等  打開今日頭條查看圖片詳情 過點(diǎn)E作EG//AC，交射線CD于點(diǎn)G 易證△GEN≌△CAN(AAS或ASA)?EN=AN?N是AE中點(diǎn) 解法二：不借助（1）的結(jié)論構(gòu)造8字全等  打開今日頭條查看圖片詳情 解法三：另一種全等構(gòu)造方法  打開今日頭條查看圖片詳情 過點(diǎn)A作AG//DE，交射線CD于點(diǎn)G 易證△AGN≌△EDN(AAS或ASA)?AN=EN?N是AE中點(diǎn) 解法四：間接全等  打開今日頭條查看圖片詳情 在CD上取點(diǎn)G，使AG=AN，連接AG 易證△DEN≌△CAG(AAS或ASA)?EN=AG，又AG=AN?EN=AN?N是AE中點(diǎn) 解法五：二次全等  打開今日頭條查看圖片詳情 △DEG≌△CAH?EG=AH?△ENG≌△ANH?EN=AN?N是AE中點(diǎn) 解法六：證等腰三線合一  打開今日頭條查看圖片詳情 由旋轉(zhuǎn)，知 ∠CBD=∠ABE，BC=BD，BA=BE?∠BCD=∠BAE（頂角相等的等腰三角形底角相等，可證相似也可用頂角表示底角）?A、C、B、N四點(diǎn)共圓?∠ANB=180°-∠ACB=90°，又∵BA=BE?EN=AN?N是AE中點(diǎn) （3）最后一問其實(shí)做起來并不難，關(guān)鍵就在于如何正確地把圖形畫出來 共兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)E在AC上方時  打開今日頭條查看圖片詳情 過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)H ∵∠BGE=∠DAE=90° ∴BG//AD ∴EH/DH=EG/AG=1 ∴EG=DH=2 由勾股定理，得 BH=√13 設(shè)GH=x，由勾股定理，得 EG^2=2^2-x^2=5^2-(x+√13)^2 解得 x=4√13/13，GH=4√13/13 ∴AD=2GH=8√13/13 ②當(dāng)點(diǎn)E在AC下方時 打開今日頭條查看圖片詳情 過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H ∵∠BGE=∠AED=∠BDE=90° ∴四邊形BDEG為矩形 ∴BG=DE=4 ∴AG=√(5^2-4^2)=3 ∵BA=BE，BG⊥AE ∴AE=2AG=6 ∴AD=√(6^2+4^2)=2√13 綜上，AD的長為8√13/13或2√13. 旋轉(zhuǎn)時，可借助紙片或三角板來旋轉(zhuǎn)定位 打開今日頭條查看圖片詳情 三、小結(jié)1、證邊相等，常用全等或等腰（含三線合一），如果含特殊角，也可考慮求出線段長后證相等. 2、全等和等腰具有等線段轉(zhuǎn)化和等角轉(zhuǎn)化功能，尤其間接證時常用到. 3、三角形旋轉(zhuǎn)可借助三角板或草稿紙，也可提前準(zhǔn)備一些特殊三角形的硬紙板，如345型三角形. |
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