一、2023廣東深圳南山區三模15題如圖，AB=4，AC=2，以BC為斜邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使PD=AD，則PB的最大值為_______  打開今日頭條查看圖片詳情 分析與解答：首先來看，題目中有沒有瓜豆？有幾個瓜豆？ 如果把A、B看成定點，則C、D、P都是動點。 BC/BD=√2，∠CBD=45°，符合兩動一定，定角定比，∴CD-B是一個圓弧型瓜豆 AD/AP=1/2，∠DAP=0°，符合兩動一定，定角定比，∴DP-A也是一個圓弧型瓜豆 三個動點的軌跡如下：  打開今日頭條查看圖片詳情 動態演示如下：  打開今日頭條查看圖片詳情 那究竟用哪一組瓜豆來解題呢？兩組都可以。 由瓜豆模型的結論，不難得到動點D和動點P的圓心。  打開今日頭條查看圖片詳情 瓜豆CD-B定比1/√2，定角45°，∴點A繞點B順時針旋轉45°，再以點B為位似中心縮放到原來的1/√2即可得到點E，實際作圖時通過構造以AB為斜邊的等腰直角三角形來實現。 瓜豆DP-A定比2，定角0°，∴點E以點A為位似中心，將AE放大到原來的2倍，即可得到點F。 解法一：利用點E來求最值，需要構造中位線。  打開今日頭條查看圖片詳情 由瓜豆模型結論，知DE=AC/√2=√2（相似比為定比） 在△DEG中，DG≤DE+EG=√2+2 ∴PB≤2DG=2√2+4，∴PB的最大值為4+2√2 解法二：直接利用點F來求最值。  打開今日頭條查看圖片詳情 BF=2EG=4，PF=2DE=2√2（由瓜豆結論和中位線都可得到） 在△PBF中，PB≤BF+PF=4+2√2 ∴PB的最大值為4=2√2 解法三：不利用瓜豆，利用旋轉雙相似（手拉手相似）來解 △ABE∽△CBD?△ABC∽△EBD?DE/AC=BD/BC=1/√2 ∴DE=√2 ∴BF=2EG=4，PF=2DE=2√2 在△PBF中，PB≤BF+PF=4+2√2 ∴PB的最大值為4=2√2 參考答案上給出的就是第三種  打開今日頭條查看圖片詳情 二、2023四川宜賓中考真題17題如圖，M 是正方形 ABCD邊CD的中點，P是正方形內一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為________  打開今日頭條查看圖片詳情 P、Q是動點，B是定點，∠PBQ=90°，BP/BQ=1，符合兩動一定，定角定比，PQ-B是瓜豆模型。 點P軌跡為以M為圓心，半徑為1的半圓，由瓜豆原理，知點Q軌跡也是半徑為1的半圓，點M繞點B逆時針旋轉90°即為圓心，點P半圓軌跡逆時針旋轉90°即為點Q半圓軌跡形狀，所以半圓面是向左。  打開今日頭條查看圖片詳情 搞清楚這些以后，這道題就很簡單了。 由勾股定理，可得 BM=2√5，MO=√2BM=2√10 在△MOQ中，MQ≥MO-OQ=2√10-1 三、小結1、解題難點 深圳模考常規方法解題難點在于構造旋轉雙相似與中位線，瓜豆解法難點在于正確識別瓜豆模型。 宜賓中考難點在于確定點Q的軌跡。 2、圓弧型瓜豆解題特點 直線型瓜豆大多轉化為垂線段最短，圓弧型瓜豆則大多轉化為三角形三邊關系，也有少許題目兩種瓜豆都要轉化為兩點之間線段最短。 3、萬變不離其宗 涉及最值問題，初中階段無非三個考點：①兩點之間線段最短；②垂線段最短；③三角形三邊關系。 所有最值問題，都是借助平移、旋轉、軸對稱、位似這幾種幾何變換最終轉化為以上三個考點，比如將軍飲馬是利用軸對稱轉化為兩點之間線段最短，造橋選址是利用平移轉化為兩點之間線段最短，瓜豆則是利用旋轉和位似轉化為垂線段最短、三角形三邊關系或兩點之間線段最短。 4、各省中考題型都有所不同，但離不開課標，可能會在某方面有所延伸、拓展，但絕不會超綱，這就決定了中考瓜豆難度不會太大，甚至不用瓜豆也可以解決，所以關鍵還是要把握瓜豆的核心（旋轉+位似）和特點（種瓜得瓜種豆得豆）。 5、本講為瓜豆三講中的最后一講，最后再強調一下瓜豆的幾個要點。 本質：旋轉+位似 構成：兩定一動，定角定比 結論：主從軌跡相似，相似比為定比，夾角為定角 |
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