【原】乘法口訣表為什么要背？怎么背？（二）——何為理解式背誦

乘法口訣表為什么要背？怎么背？（一）——自頂向下解構小學算術

今天我們來看看乘法口訣表怎么背以及背后的學習方法。

單純的乘法口訣背誦本質上可以和背一篇不理解意思的課文或唱一首聽不懂歌詞的歌類似，可以是純口訣或音律式的背誦。但這種存儲方式如果是在計算機里是十分可靠，而在人類大腦里實在是強人所難。首先它容易遺忘，這種習慣式的記憶鏈條如果不經常連通激活，是會自然丟失的。而怎么不遺漏和盡量不重復地高效激活則是個難題，總之其保持能力比硅做的硬盤差遠了。其次容易出錯，任何讀音、近形的背誦內容都會因為其物理上記憶出來的相似性而自然混淆，這和寫錯別字的原理如出一轍。一不小心就多寫了一橫，少些了一點，像唱歌跑調串臺一樣也在所難免。

但是，那種要求在極端情況下能保證一定背下來，還真的需要靠這種不動腦子，機械式記憶來作底子。比如萬人的演唱會，一生一次的高考中，是要求你哪怕只剩一口氣，腦子空白，也要能背下來唱出來、寫完的。

可這些還不夠，這么背課文除了那默寫的6分以外（有時候這點都拿不到），沒有理解的基礎，其他的題完全做不出；當腦子里口訣表的音律意外卡殼或突然混淆時，也沒有其他的路徑來想起或驗證。而這些背誦的內容，包括后續那些豎式算法等，也完全沒有數學的影子，頂多是算法的執行規則的記憶，和背誦的口訣也區別不大。

那怎么才能把口訣穩定地背好，同時不浪費這其中蘊含的數學探索訓練呢？

沒錯，就是小標題提到的，理解式背誦。

這有兩個好處。1是理解的過程本身，是對背誦過程背后真正的知識結構的進一步鞏固和理解。因為這些內容足夠基礎，所以其能蘊含的底層知識的重要性是很高的，比刷上百道題的寬泛內容而言要重要得多。所以我們不要浪費了這個在完成背誦過程中，順便鞏固這個知識本身的性質、使用場景等所有能關聯上的內容的學習機會。2是理解的推導過程能提供對背誦結果的多重校驗以保證正確性。人腦比機器的劣勢在于穩定性差，容易短路，遺忘，但強在能構建多重校驗，底層深度理解，以在發生一些意外或者單純就是不確定的遺忘中能夠有別的更穩定的校驗機制來保證想起來或進一步確認。所以這也成了人腦背誦穩定性達成的重要基礎。

放大來看，任何知識的學習都是建立在理解+背誦的模式上，才能中庸地達成最好的效果。如果只有背誦，那人腦天然不適合完成這項工作，于資源適配角度講顯然應該外包給計算機，而只有背誦內容的考試自然也是于學生能力考查而言不合格的。只是背的話也會像計算機一樣，沒了人的操作也根本完不成有人類意義的事情。如果只有理解呢？理論上確實可行，把背誦的任務都教給查表或者計算機。但問題是，這樣的查找既容易出錯，而且還慢，使得理解在人腦的運行變得不可靠和效率低下，甚至腦子自己都不放心。而且，人腦的抽象理解認知本就是建立在大量熟悉的實例上的，接著才是抽象出來的規則和所謂理解。沒了底層的這個樣本堆積，純填鴨進去的理解也和死記硬背一樣容易忘記。并且，腦子天然也抗拒這種外界強行灌輸的內容，因為它們并非來自自己的總結，就像不是親兒子一樣。那些所謂抽象能力強的數學天才，應該也只是早就快速地積累夠了低層的樣本積累，你看到的抽象它認為司空見慣了而已，也并不是直接跳過的。

因此，均衡，或者說中庸之道依舊適用于大部分內容的學習。既不能死記硬背，毫無理解基礎上的泛化能力，又不能只有抽象理解，以至于效率低下，不切實際，缺乏實際案例支撐而穩定。二者結合，互為印證，方為學習這條路最高效的方向。

那乘法口訣表到底怎么背？怎么理解式地背呢？

這些東西，老師和我，都只能給與一些參考和引導的幫助，這些大量的理解過程，方式方法，得由你自己去抱著一顆積極思考的心去做。因為如果直接抄了我的答案或者哪本書的結論，這又成了沒有留下邏輯痕跡的背誦內容，遲早又會因為缺乏基礎支持而混亂和以往。

所以我鼓勵你自己嘗試去理解和記憶，看看能把怎樣的數學知識揉進乘法口訣表的背誦中。

當然你的想好以后，我也愿意把我得分享給你，作為參考。

這里有部分是回憶的我當年的真實思路和老師教的一些內容，有的擇時根據我現在的知識結構和視角重構的，部分思路過于抽象不適合直接教給孩子，不過可以作為底層原理參考著滲透給他。

你可以看看自己的理解過程還有我的，看看有沒有達成在背誦過程中鞏固了四則運算的知識理解和多重校驗保證結果正確性的理解式記憶的好處。

首先，0和任何數相乘都為0，這個蘊含著從“沒有”開始的自然數的含義以及乘法簡便運算的意義，先剔除這10 * 2 - 1 = 19組（容斥原理）有明確法則的內容，實際乘法口訣表也不包含這些條；

0. 乘法交換律：9 * 9的上三角部分不用背了，瞬間81組只剩下45組，取其按大小排列的二元組為代表即可，或對稱的行列任取一個或取一個對角線一側折線；

1. 1是幺元：結果和另一個乘數相同，不用背；

2. 2乘以0-10的結果是0-20之間的偶數，其中0剔除后1-4取2468為10以內的偶數表（奇偶性），5得10為進制數位，后續的6-9同1-4，剔除5后多一個十位的1即為所求（分配律）；

3. 3的結果在30以內，每段內各3個數，10以內的369背熟，后面的每+10都要減1（恒等式，10進制數性質），得1+258,2+147，還可以看各位和為3的倍數校驗，不過到后期，這些數基本熟練到死記都記下來了；

4. 4是兩個2的結果，超過5的部分多加20即為所求，剩余按2 * 2拆解即可（恒等式、結合律）；

5. 5是進制位值10的一半，看除以2的結果即為所求（恒等式，10進制數特性），如果是奇數，尾數添加5（奇偶性）；

6. 6是兩個3的結果，超過5多30，同4轉為2理；

7. 7已經很大了，根據0，需要背的只有77,78,79了，77是平方數，可聯合一起記憶，其余還有8和9兜底；

8. 8是兩個4的結果，可以5的40為分界，同4轉為2理，但有點繁瑣了，也可以記住2的對應次冪數，8,16,32,64,3是16+8,5和7是32和64+/-8,6是32+16,9是64+8（二進制編碼）；

9. 9除了1以外，后續每多1，十位+1，個位-1，直到81，兩位數和都是9（十進制數），這些根據交換律都有結果，校驗即可；

10. 平方數單獨死記硬背，作為校驗節點輔助校驗；

順便再補充一下10以內的加法表的背誦思路。

1. 死記0-9這10個數的前后關系，包括正數和倒數。（這本質上也是印度人發明的規律，歷史文化而已，給學習是造成了困難的，但得接受）；

2. 接著所有數字x的分解都從0+x開始，兩個數逐步各自+-1，獲得下一組，直到兩個數相等了或者差距為1停止；（偶數會到達相等，奇數會差1）

3. 剩下的還有一半不到的分解用交換率得到；（分解時兩個數都得在腦海里才能夠查得到）

4. 有了+-1的感覺后，逐步記憶+-2，+-3的結果，最后多重校驗，完成10以內所有數的拆分交叉校驗的記憶，比如和+-1的結果要在某個加數上+-1，+-2了則可以各自+-1或者某個數+-2來推導等；（腦海里可以恢復其數量較少時的量，也可以用+-y的邏輯拆分，到后期則直接閃現記憶結果。）

當然，這些零散的過程誰也沒法保證一直記得，我也沒法恢復我記憶的每一個細節。但是因為足夠多的練習和經驗的積累，就會積累出所謂的數感。即對于計算結果的邏輯和經驗雙重的驗證，以能快速地發現問題和計算結果，并因為多重校驗的存在，在計算量大和有陷阱的情況下，仍然保證超高的準確率。

以上就是我從乘法口訣表為什么要背，以及怎么背的問題出發，擴展到關于理解式背誦的學習方法以及小學算術的理解的全部內容，下期見！