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數學之所以難學，很大程度上是因為數學是符號體系，而錯誤地理解這些符號會導致失敗。而不恰當地翻譯和簡化是導致失敗的主要原因。
數學術語表
函數 (Function) 是一種特殊的映射，要求定義域中的每一個元素都對應值域中的唯一一個元素。在現代數學中，函數和映射常常被視為同義詞，可以互換使用。 泛函 (Functional) 是一種特殊的函數，其定義域是一個函數空間（即元素是函數），值域是數域（實數或復數）。 算子 (Operator) 是一種特殊的函數或映射，其定義域和值域通常都是函數空間。 變換 (Transformation) 這個詞的含義非常廣泛，通常指同一個空間內的映射，或者指一種具體的映射過程或操作。 它常常可以與映射和算子互換使用，但更強調“改變”或“轉換”的動作本身。 以上都容易理解，除了泛函，因為中文語境里是這么解釋泛函的：
這樣理解不能說是錯誤，只能說是極易引起誤解。很簡單，考慮映射 那么對于方程 其中 時它表示一個簡單的實函數，類似 那么，如果泛函是“函數的函數，其結果是一個數”，我就可以構造新的映射 其中 是個函數，滿足 接下來怎么做？對每個可能的 指定一個數 嗎？類似這樣 然后這個體系就蠢得崩潰了，想象一下 顯然，這根本就什么都解決不了。因為泛函根本就不是這么個東西。 泛函應該怎么理解首先，函數 是映射，它對任何滿足一定條件的 都有 此時 稱為 argument of a function，即函數的自變量。
而泛函是對函數 的映射，定義為 此時 稱為 parameter，即參數。那么泛函指的是在特定觀測參數下，對待測函數 進行探測得到的值。
注意，這里的特定觀測參數并非只能是一個數，它也可能是一種度量方法，比如衡量函數在特定區間內的“能量大小” 或者與目標函數的差異大小 注意到這里的度量是在有限范圍內的度量，比如我不需要知道某個函數在其他范圍的表現，只需要讓這個函數在已知范圍內表現最優。這里的范圍就是另一個著名的概念：測度（這里先忽略它）。下面舉個例子說明泛函怎么使用。 一個簡單的泛函考慮一個簡單的初中物理問題，一個真空中的質點小球，初始位置為 ，初速度為 ，沿光滑曲面下滑，滑到位置 。問光滑曲面如何設計使小球下滑時間最短。 問題抽象：求解初始位置 終止位置 時的最速降線方程 。 求解思路：開始整理已經條件，只得到一個有效信息，即曲線高度對應點的速度大小 還得到一個假設信息那就是弧長的微分為 則每段弧的耗時為 那么讓下滑時間最短的問題就轉化為 那么，等式右側就是泛函的積分，這個泛函定義為 接下來的問題是如何求解它的極值。 求泛函的極值先不加證明地寫出歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）簡稱E-L方程 該方程被滿足時，泛函取極值。 首先注意到令 不影響積分值的趨勢，因此重寫泛函 求一階導數得 進一步求對 的導數得 右側為 化簡為 代入E-L方程并化簡得 由于 因此 式推出 由于在一定測度上分母不恒為零，因此恒分子為零，即得到微分方程 將結果寫為參數方程的形式得 其中 為任意實數。簡單驗證如下 則有 驗證完畢。 最后將 的變換回溯得 邊界條件起點 終點 接下來只要按照上述方法寫出合適的程序求解 值（程序中使用  并且在圖中做了一個小實驗，即將終點隨機選擇為曲線上任意一點，再估計參數。實驗結果表明新的曲線與原曲線重合。這表明從指定起點開始的一條擺線曲線，它達到曲線上任意點所需的時間都是最短的。這間接證明了本文推導的正確性。 Mathematics: https://en./wiki/Mathematics [2]Dependent and independent variables: https://en./wiki/Dependent_and_independent_variables [3]System: https://en./wiki/System |
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來自： taotao_2016 > 《幾何》
