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本文回顧2001年版全日制義務教育數學課程標注的初中部分，并進行評論。 https://www./download_center/quanrizhi.html 數學課程標準下載鏈接如下。 https://www./Uploads/File/2022/04/28/全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）.20220428171836.pdf 數學課程標準封面如下。 改革開放后的首個義務教育課程標準，其結構和內容相比之前的教學大綱，就出現了重大的非連續的變化。傳統的初中數學教學大綱主要將內容劃分為代數和幾何兩個模塊。課程標準將數學內容劃分成四個領域：數與代數，空間與圖形，統計與概率，實踐與綜合應用。“數與代數”幾乎可以和“代數”對應。“空間與圖形”比“幾何”多強調了空間，而且“圖形”的提法也與“幾何”有差別，這種差別是直觀感受上的。我不是專門研究數學和教育的，我無法準確地指出差別。“統計與概率”單獨出現，從原來的“代數”中獨立出來，還增加了概率。“實踐與綜合應用”強調數學知識的應用。內容結構表中，第三學段（即初中，七年級到九年級）的“空間與圖形”的內容最引起我的注意。傳統的幾何主要強調平面圖形的定義、判定和性質，強調推理與證明，而課程標準幾乎是換了一種全新的對待幾何的方法——認識與證明并列，并增加了變換與坐標，課程標準弱化了證明的地位。也是從課程標準開始，義務教育的年級從小學開始到初中順次編號為一年級到九年級，初中不再稱呼為初一、初二和初三。接下來我們仔細閱讀七年級到九年級的內容。重點關注的內容加紅框并且編號。下頁加紅框的第1點，出現了課程標準中第一個顯著的刪減內容——分母有理化。有一個觀點我在之前的文章中反復提到過，教材不講，不代表以后的學習不需要。高中的數學和物理不會因為初中不講分母有理化而徹底刪除相關的內容。上頁加紅框的第2點，整式的乘法運算要求很低，而且刪除了整式的除法。上頁中的乘法公式只有平方差公式和完全平方公式，完全平方公式只給出了加號形式，沒有減號形式。2000年版初中數學教學大綱已經刪除了立方和公式和立方差公式。上頁加紅框的第3點，因式分解方法刪除了分組分解法和十字相乘法。留意下頁的方程與不等式，刪除了以往教學大綱中的三元一次方程組、一元二次方程根與系數關系、二元二次方程組等內容。上頁標紅框的第4點，90年代刪除的函數三種表示法被加回。上頁標紅框的第5點，要求與2000年版教學大綱類似，但是這句話很奇怪，一方面說會根據公式確定頂點、開口方向和對稱軸，另一方面又說公式不要求記憶和推導，那考試會把公式給出來？上頁標紅框的第6點，在之前的教學大綱中都不是考試范圍。下頁標紅框的第7點，在空間和圖形部分，非常強調平移、旋轉和對稱這些圖形變換，還強調坐標系的應用，這與之前的初中數學幾何內容的要求有較大的差別。上頁標紅框的第9點，通過注解解釋正文的內容，這樣的情況下面多次出現。下頁標紅框的第11點，是2000年版教學大綱增加的，在課程標準中延續。留意上頁和下頁的圓的要求，以往教學大綱中的圓內接四邊形，切線長定理，圓與圓的位置關系，和圓有關的比例線段（圓冪定理）被刪除。下頁標紅框的第12點，視圖與投影在80年代的初中數學是選學內容，在92年版和2000年版教學大綱是四年制初中的選學內容，到了課程標準作為正式內容出現。下頁標紅框的第13點，三視圖，在同時期的高中數學課程標準再次出現。上頁標紅框的第14點，前面已經提過了，課程標準將圖形與變換提到了一個很高的地位。以往課程標準中，軸對稱伴隨等腰三角形出現，中心對稱伴隨平行四邊形出現，課程標準將從屬地位的對稱提升到主干地位。上頁標紅框的第15點，圖形的相似從屬于“圖形與變換”。下頁標紅框的第16點，課程標準將以往教材中不重視的位似提升為必學內容。下頁標紅框的第17點，銳角三角函數從屬于“圖形的相似”。下頁標紅框的第18點，圖形與坐標是新增內容。以往的教學大綱沒有明確提這部分內容，練習和考試可能會涉及這些內容。上頁標紅框的第19點，圖形與證明，單獨成為一個部分。值得注意的是，課程標準中前面提到的有關三角形、四邊形、圓、相似形的內容，全部都沒有提到證明。上頁標紅的第20點，“基本事實”替代了原來公理的概念。下頁標紅框的第21點，列出了要求證明的命題。注意，相似不要求證明，圓的各種性質不要求證明。數學的嚴謹性在這版課程標準中被嚴重削弱。下頁一系列標紅框的第22點指出了新增或修改的統計知識。扇形統計圖、加權平均數和極差是新增內容。明確提出了數據的“集中程度”和“離散程度”兩個概念。眾數、中位數被刪除。頻率分布直方圖被頻數分布直方圖和頻數折線圖替代。上頁給出的概率的內容不算多，都是非常基礎的內容。概率不在以往教學大綱中，僅在四年制初中數學教材中以補充內容的形式出現。第一，傳統的代數知識做了刪減和弱化：刪除了如三元一次方程組、整式的除法、因式分解的分組分解法和十字相乘法、二次根式的分母有理化，等。第二，大量刪減了傳統幾何知識：主要是圓的內容，如圓內接四邊形、圓與圓的位置關系、和圓有關的比例線段；淡化了公理這一名詞，用基本事實取代；降低了幾何證明的要求：沒有要求對相似形和與圓有關的判定和性質進行證明；提升了圖形變換的地位。第四，強調聯系實際：數學知識在實際問題中的應用貫穿課標的所有內容，還增加了課題學習。第五，一些傳統大綱和教材中不重視的內容，或者作為補充的內容，在課程標準中搖身一變成為必學內容，如投影與視圖、位似變換，概率。第六，一些課程標準中被刪除的內容，如與圓有關的內容，在以往的教學大綱中都是以打星號的選學內容的形式出現的，課程標準做了一刀切，都不學也不考了。本文第五部分展示2000年版初中數學教學大綱。可與2001年版課程標準進行對比。2001年版課程標準對傳統幾何知識痛下殺手，不僅降低了幾何證明的要求，還刪減了大量幾何證明的內容。刪減最嚴重的是與圓有關的內容。圓是平面幾何知識的集大成者。圓是軸對稱圖形，圓的不少性質，如垂徑定理、切線長定理，可以用全等三角形知識進行證明。與圓有關的一些角具有相等關系，從而構造出相似三角形，進而推導出一系列比例等式和乘積等式。這些內容在這版課程標準中都被刪除了。這版課程標準刪去了“公理”的提法，用“基本事實”替代，這應該已經引起很多人的注意。我回想起《新中國中小學教材建設史（1949-2000）研究叢書 · 數學卷》（下文簡稱《數學教材建設史》）提到的我國幾何教材采用的是“擴大幾何公理體系”的教學方法，將一些顯而易見并且不容易證明的內容當成公理來使用，以這些擴大的幾何公理作為基礎，構建這個幾何知識體系。也許是傳統幾何教材中的“公理”存在瑕疵，所以課程標準不再采用“公理”這個提法，轉而使用“基本事實”。具體原因，可能只有課程標準的制定者才清楚。本文第五部分回顧“擴大幾何公理體系”。由于2001年版初中數學課程標準刪掉了太多的幾何證明內容，2003年版高中數學課程標準增加選修內容：幾何證明選講，將刪掉的內容補回來。采用2003年版課程標準數學教材時期的高考曾有幾何證明選講的選考題，據說是選做的人太少，后期這道題也消失了。2017高中課程標準刪去了幾何證明選講，這些在初中數學存在了二十多年的與圓有關的證明就在中學數學教材中消失，只存在于競賽中了。從2001年版義務教育課程標準開始，義務教育階段的教材全面進入“一綱多本”時代。理論上說教材要嚴格按照課程標準編寫，但是各出版社又有編寫內容的自由度。以前的教學大綱按代數和幾何劃分內容，并且代數和幾何下面又列出了大的知識模塊，課本基本上是按照一個知識模塊對應一章內容進行編寫的。課程標準沒有這樣明確的劃分，各出版社可以自由安排每個年級要學習的內容，自由劃分章節。事實上，人教社的初中數學教材在課程標準的基礎上增加了不少內容，有的內容甚至是出現在正文中，而不是閱讀材料中進行補充。有的出版社對課程標準的執行比較嚴格，沒有在正文增加太多的補充內容。《數學教材建設史》曾經提到，希望從初一第一學期開始安排幾何知識。這版課程標準的所有版本的教材都做到了。我不知道這是巧合，還是課程標準編寫組和教材審核組額外提出的要求。2001年版義務教育課程標準在2000年版義務教育初中教學大綱頒布一年后就頒布了。類似地，2003年版普通高中課程標準在2002年版普通高中教學大綱頒布后一年就頒布了。我不是很清楚為什么要急著頒布課程標準。我總感覺課程標準和教學大綱是兩批人編制的。同一批人不太可能在相近的時間內同時做兩件事情。課程標準和教學大綱內容的風格差異非常大，同一批人不太可能同時兼顧做兩件差異大的事情。當然，這僅僅是我的猜測。課程標準這個詞語并不是首次使用，根據《數學教材建設史》的介紹，北洋時期教育主管部門頒布的教學內容指導性文件就叫課程標準。由于課程標準時代教材版本過多，我沒有足夠的精力和興趣去閱讀和評論所有版本的教材，所以后面的教材介紹和評論主要以人教版為主，介紹和評論也不會像新課程版高中數學教材那樣詳細。如果地方出版社的教材非常典型，非常有特點，我也會寫文章進行介紹和評論。六 《數學教材建設史》中對“擴大幾何公理體系”的回顧
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