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界面上的世界之毛巾永動機
云無心 發表于 2008-05-18 10:50 當我們把一條干毛巾的一端浸在水里，水會沿著毛巾往上走。那么，可不可以利用這個現象把水從低處吸到高處，然后收集起來呢？如果可以的話，就可以讓高處的水流下來發電，然后再沿著毛巾爬上去。如此往復，不用外加能源，可以源源不斷地發電了。實際上這是歷史上一個永動機的設想，當然是不能成功。我們自然會問：水的確是爬到了高處，為什么就不能被收集起來呢？ 讓我們先來看一個熟悉的實驗：把一根細玻璃管插到水里，水會沿著玻璃管上升，管子越細，水爬得越高。我們知道當管子中的水不流動的時候，各處的壓強是平衡的。所以，圖I中B點的壓強應該和A點的相同，否則水就會從壓強高的點流到壓強低的點。而A點是與空氣相接觸的水面，壓強應該和空氣壓強相同。D點是和大氣相連通的空氣，壓強也應該和A點相同。而挨著D點的水里的C點，其壓強加上上升的那段水產生的壓強，才應該等于B點壓強。繞了這么一圈，一個有趣的結論產生了：D 點的壓強比C點的要高！  同是與空氣挨著的水中的點，為什么C點的壓強比空氣中的高，而A點的和空氣中一樣呢？如果我們仔細看A點和C點的液面，會發現A點的液面是平的，而C點的液面是凹的。在前面有一篇里講到過，在固體、液體和氣體共同存在的地方，液體和氣體會去競爭占領固體表面，最后妥協的結果就是形成一個接觸角。對于干凈的玻璃管來說，接觸角幾乎為零，水在競爭中占據絕對優勢，所以會往上爬。但是水自身的重力又拖住它往下跑。所以，靠近管壁的水分子，在表面張力的作用下往上爬；而遠離管壁的分子，被重力拖著往下走，重力和表面張力妥協平衡的結果，就在管內形成了一個凹的液面。 除此以外，我們找不到這兩個點的液面在其它方面的差異，于是我們可以猜想：當液面往下凹的時候，空氣一方的壓強是不是會比液體一邊要大呢？ 最初是一個叫托馬斯.楊的聰明人很完善地解釋了這個現象，上面的猜想確實是對的。于是，新的問題就產生了：C點和D點的壓強相差多少？由什么決定呢？托馬斯.楊不喜歡數學，沒有從數學上解決這個問題。多年以后，一個叫拉普拉斯的家伙運用他深厚的數學功力從數學上推出了上面的結論，并且給出了一個公式來計算凹面兩邊的壓強差。那是一個非常賞心悅目的推導，所用的物理基礎只是表面張力的定義和功與能之間可以轉換，差不多是初中物理的內容了，而數學知識也不超過我們今天的高中水平。那個證明只有一幅示意圖，加半頁紙。結論看起來很簡單，對于一個各個方向一樣的曲面來說，內外壓強差等于表面張力的2倍除以曲面的半徑；如果曲面不規則的話，形式稍微復雜一點。這個公式差不多是界面科學上最重要的公式了。本來托馬斯.楊完全有機會獨占這個成果，可惜由于數學知識上的缺陷而把機會讓給了拉普拉斯。如果托馬斯.楊知道后人把這個公式叫做楊-拉普拉斯公式，甚至直接叫做拉普拉斯公式的話，會不會感到“人生最大的遺憾莫過于此”，“如果上天給我再來一次的機會，我一定會說：要學好數學！” 好了，前人栽好了樹，我們就來乘涼了，我們來看看那個公式能告訴我們什么： 首先，我們來計算水能夠爬多高。因為曲面產生的壓強完全用來把水吸到高處，所以那個壓強就等于上升的水柱產生的壓強。水柱的壓強在初中物理里有，等于水的密度乘以重力加速度乘以高度，而曲面產生的壓強由拉普拉斯公式得出（表面張力的2倍除以曲面半徑，當玻璃管洗得很干凈的時候，曲面半徑接近于玻璃管的半徑）。除了水柱高度不知道以外，上面提到的數都是已知的。讓兩個壓強相等很容易算出水柱高度。比如說，對于一根直徑為1毫米的管子，水可以爬到29毫米左右；如果管子直徑只有0.1毫米的話，水就可以爬到290毫米左右的高度。 然后，我們從公式中可以看到，曲面半徑越大，曲面壓強就越小，當曲面越來越平，最后變成平面的時候，曲面壓強就為零了。再進一步，如果平面變成了凸面，是不是水那側的壓強就會大于空氣那一側呢？答案是肯定的。在生活中不容易直接觀察到，但是用儀器可以很容易地測量出來，而且壓強的數值跟拉普拉斯公式算出來的一樣。這個現象可以用水銀觀察到，如果我們把玻璃管插到水銀中，水銀在管中的液面是凸的，相應的水銀不但不能往上爬，反而會往下鉆。 現在，讓我們來總結一下上面所說的：當水和空氣的界面是凹的時候，水一側的壓強比空氣的小；當界面是凸的時候，水一側的壓強比空氣中的大；曲面產生的壓強可以由拉普拉斯公式算出來。 有了上面的知識，我們可以來分析毛巾吸水的問題了。從微觀結構來說，毛巾是許許多多的毛細管組成的。這些毛細管粗細不一，互相連接。盡管如此，在吸水的時候遵循的還是毛細管的自然規律。為了簡化分析，我們用一根毛細管來代表毛巾，下面是吸水的幾種情況： 一、 毛細管很長，水上升不到毛細管口，上升高估由拉普拉斯公式決定，如圖I。這種情況下自然能吸水，但是流不出來。 二、 毛細管比拉普拉斯公式算出來的水柱要短，這種情況下水爬到管口時葉面會變得“平坦”，實際的曲面半徑要大于毛細管半徑，拉普拉斯公式中的半徑要用實際半徑，所以水爬到管口實現壓強平衡，也不會流出來。如圖II。 三、 毛細管彎過來，管口高于水平面。這種情況下管口仍然是凹向水面，實際曲面半徑比毛細管半徑大，壓強平衡的情況跟圖II相同，水也不會流出來。如圖III。 四、 毛細管彎過來，管口低于水平面一些。這時液面是凸的，只要液面差產生的壓強不超過拉普拉西公式算出來的壓強，液面就會呈現比毛細管半徑大的曲面而實現壓強平衡。這種情況下，水也不會流出，如圖IV。 五、 毛細管彎過來，管口大大低于水平面，拉普拉斯公式算出來的壓強小于液面差產生的壓強，管口的液面無論如何無法實現壓強平衡，水只能往下掉，如圖V。 在以前談到太空里的一團水呈現什么形狀的時候，是從分子運動的角度來解釋的。應用拉普拉斯公式，和水會從壓強高的位置流到壓強低的位置的原理（注意太空里沒有重力），可以從宏觀上來分析水的流動，也能得出不管水起始于什么狀態，最后都會成為球形的結論。 http:///archives/133.html |
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