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>>卷積： 沖擊響應就是線性系統(tǒng)對沖擊信號產(chǎn)生的響應。 信號可以分解為沖擊信號的平移和幅度上的縮放。 根據(jù)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，任何一點（輸入信號只有一點）對線性系統(tǒng)的響應都可以表示為沖擊響應的縮放和平移。 所以任何一個信號對線性系統(tǒng)的響應可以表示為每一點的所產(chǎn)生的經(jīng)平移和縮放的沖擊響應的累加，這個可以從卷積的表達式看出。 所以知道了沖擊響應，就知道線性系統(tǒng)對任何輸入信號的響應，描述這種輸入輸出關(guān)系的就是卷積。 以上是從輸入信號的角度看卷積，每個輸入信號上的點都產(chǎn)生一個縮放和平移之后的沖擊信號，然后對這些沖擊信號進行累加。也可以從輸出信號的角度去看，即每一個輸出信號上的點都是由一系列輸入信號和沖擊信號相互作用產(chǎn)生的。 一個N點的信號和一個M點的信號相卷積，其輸出有N+M-1個點。 相關(guān)是利用卷積來運算的，它能在一個信號中找到目標信號的位置（根據(jù)相關(guān)值來判斷）。 ------------------------------------------- >>DFT，以下都是實數(shù)DFT： DFT原理 一個域離散則另一個域周期。 DFT時域即離散又周期，所以其頻域即周期又離散。 實數(shù)DFT，時域有N點（其實是周期延拓，一個周期N點），可以由N/2+1個正弦信號和N/2+1個余弦信號表示，每個正余弦信號也是N點（也是周期延拓，一個周期N點）。 上面就是DFT的物理意義，N點的實數(shù)經(jīng)DFT之后是N/2+1個點的復數(shù)，復數(shù)的實部是正弦信號的幅度，虛部是余弦信號的幅度。復數(shù)只是一種數(shù)學上的表示方法。將正余弦幅度畫出來表示頻譜，稱作直角坐標表示法。 每個正余弦信號的幅度可以通過相關(guān)的方法求出。 也可以將上述N/2+1個復數(shù)表示成模（幅度）和相位，這樣畫出來的頻譜稱作極坐標表示法。 頻譜的橫坐標有用點數(shù)來表示的，范圍是0到N/2（N/2+1個數(shù)）；分數(shù)表示法，范圍是0到0.5；還有自然頻率表示法，范圍是0到π。 對DFT時域離散頻域周期的解釋：因為離散信號是不連續(xù)的點，即采樣點，這些采樣點可能是一個頻率的連續(xù)信號上的某些點，但也可能是比這個頻率高的連續(xù)信號上的某些點，還可能是比這個頻率低的信號上的某些點，這個就呈現(xiàn)出了周期性。 DFT性質(zhì) 如果時域信號是左右對稱的，則其DFT變換的相位是線性的，稱作線性相位。特別的，如果時域信號關(guān)于原點左右對稱，則其頻域相位為0，稱作0相位。 DFT時域取的點越多（采樣頻率不變），其頻譜分辨率越高。這是因為N增加，則N/2+1越大，而頻譜的最高頻率不超過1/2的采樣頻率，所以頻譜上的間隔減小，即分辨率提高。 DFT的時域是周期性的，N個點為周期；頻域上通常是看0到N/2-1個點，但它是關(guān)于原點對稱的，實部和幅度偶對稱，虛部和相位寄對稱，它的周期也是N個點。 時域上的平移會造成相位的斜率發(fā)生改變。 時域卷積等于頻域相乘。 一個N點的信號和一個M點的信號（N>M）卷積得到N+M-1個點。 從頻域上看N點信號的頻譜N/2+1個點，M點信號的頻譜做N點DFT之后也是N/2+1個點，兩者相乘在IDFT之后得到輸出信號時N個點，這樣就比普通卷積少了M-1個點，不要忘記DFT是周期性信號，少了M-1點可能會造成前后輸出信號的疊加，但也可能不會只要N比有效的信號范圍來的大就行了，這種用DFT求的卷積叫圓周卷積。 ------------------------------------------- >>FIR/IIR： FIR：有限脈沖響應，通過卷積來求輸出，隨著脈沖點數(shù)的增多，其頻譜特性可以做的很好，并且可以做到使線性相位的，但是速度慢，借助FFT卷積可以提高速度。 常用的有平滑濾波器、sinc窗函數(shù)。平滑濾波器主要用于時域平滑，可以用遞歸來實現(xiàn)；sinc窗函數(shù)主要用于頻域濾波。 IIR：無限脈沖響應，通過遞歸方程來求輸出，不同的遞歸系數(shù)就決定了濾波器的特性，濾波特性沒有FIR好，但是速度快。由于是根據(jù)遞歸系數(shù)來確定，而不像FIR那樣是根據(jù)頻域來確定，所以設計時很難確定頻域形狀，所以很難確保是線性相位。 常用的有單極點濾波器、切比雪夫濾波器。前者用于時域平滑，后者用于頻域濾波，切比雪夫的滾降較快，但是有ripple。 關(guān)于IIR極點一般的理解是：極點越多濾波器的性能越好。 通過IIR的遞歸方程進行Z變換，可以求出其頻域特性。  當M>0時，M就是IIR濾波器的階數(shù)，表示系統(tǒng)中反饋環(huán)的個數(shù)。由于反饋的存在，IIR濾波器的脈沖響應為無限長，因此得名。若M=0，則系統(tǒng)的脈沖響應的長度為N+1，故而被稱作FIR濾波器。 可以直接利用模擬濾波器設計IIR濾波器，因為模擬濾波器本身就是無限長沖激響應的。通常IIR濾波器設計的過程如下：首先根據(jù)濾波器參數(shù)要求設計對應的模擬濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等等），然后通過映射（如脈沖響應不變法、雙線性映射等等）將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器，從而決定IIR濾波器的參數(shù)。IIR濾波器的重大缺點在于，由于存在反饋其穩(wěn)定性不能得到保證，而FIR濾波器由于不存在系統(tǒng)極點，F(xiàn)IR 濾波器是絕對穩(wěn)定的系統(tǒng)。 ------------------------------------------->>圖像傅立葉變換： 圖像的DFT變化也是把圖像看成是周期延拓的信號，就像磚瓦一樣一塊塊鋪起來，其DFT變換之后的信號也是周期信號，也想磚瓦一樣一塊塊鋪起來。假設圖像為N*N點陣，其DFT變換也是N*N點陣，取行編號為0、列編號為0的點為中心，這就是說圖像的DFT變換的編號有負有正。 在1維信號中，DFT變換把信號分解成多個正弦信號，表示信號包含有多個頻率。對圖像來說，其像素的灰度變化也是一種頻率的反映，一般來說邊沿的時候灰度的變化較為明顯，或者說灰度變化頻率較快；而一幅圖像的灰度如果比較平均，則表示灰度無明顯變換，其變化頻率較慢。 或者說圖像頻譜的低頻部分決定了大體上的灰度變化（比較模糊），而圖像頻譜的高頻部分決定了細節(jié)變化（邊沿）。 將圖像DFT之后，變化頻率較慢的成分就越靠近中心，而頻率變化較快的成分就越遠離中心。 圖像的頻譜也具有對稱性，實部和幅度以中心鏡像對稱；虛部和相位以中心反鏡像對稱。 圖像頻譜的相位決定了圖像的樣子，如果將另一幅圖像的幅度和本幅圖像的相位結(jié)合，還是能看出本幅的圖像，只不過灰度變化不正常。這是因為相位決定了幅度變化的方向。那1維信號來說，如果有一個上升沿，那么在這個上升沿發(fā)生的時候，很多正弦信號的相位都是一樣的，這樣就能堆起一個上升沿，應用在圖像里面，也是同樣的道理。所以相位是決定信號的樣子的。 如果圖像中有一根很細的長條橫臥，則其頻譜的垂直方向上有更多的分量，而頻譜的水平方向上的分量較少。這是因為頻譜上的點具有方向性，圖像上水平的直線需要更多垂直的分量來組成，而圖像垂直方向上相對不變，所以也不需要很多水平的分量。 圖像的卷積一般用的PSF較小，比方3*3點陣的算子，常用的算子有平滑濾波和邊沿增強算子。圖像的卷積和1維信號一樣也可以從輸入信號看和輸出信號看。如果卷積比較復雜，可以用FFT卷積來做。 ------------------------------------------- >>FFT： FFT是基于復數(shù)DFT變換的，當然也有專門針對實數(shù)DFT的FFT，屬于改進算法。 復數(shù)DFT：那1維信號來說N點的時域信號產(chǎn)生N個點的頻域信號，都含有實部和虛部。 實數(shù)DFT：那1維信號來說N點的時域信號產(chǎn)生N/2+1個點的頻域信號，每個頻域信號含有實部和虛部。 FFT只所以快是因為：第一步，它將1個N點的信號先分解成N個1點的信號；第二步，計算這N個1點信號的頻譜，這很好計算，因為復數(shù)就是它自己，但現(xiàn)在這N個信號是頻譜信號了；第三步，再將這N個頻譜信號按一定的規(guī)律加起來就得到了所需要的頻譜。第三步是最復雜的，是按第一步分解的反過程，那些很復雜的蝶形運算就是用于這個反過程的，它們改變信號的位置，再通過相加將2個N/2點的信號變成1個N點的信號。 ------------------------------------------- 我發(fā)覺一個道理：書不在于看多少，而在于能想明白多少，或者說自己有什么想法。以后多想想少看看，看多了容易忘記，而且在需要時候還想不起來，在需要時候想不起來那看了還有什么用~ |
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