兩角和與差的三角函數，二倍角的正弦，余弦和正切

兩角和與差的三角函數，二倍角的正弦，余弦和正切

二. 重點、難點：

1. 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；能正確運用上述公式，進行簡單三角函數的化簡、求值和恒等式的證明。

2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正確運用上述公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式的證明。

【典型例題】

[例1]（1）已知，，其中，，求的值；（2）已知都是銳角，且，，求。

解：（1）∵     

∴

∴

∴

（2）∵     ∴

又 ∵    

∴

又 ∵ 在之間，余弦值為的角只有，∴

[例2] 已知銳角中，。

（1）求證：；

（2）設，求AB邊上的高。

解：（1）證明：∵

∴

∴

（2）∵     

∴ 即

將代入上式并整理得

解得，舍去負值，得

∴

設AB邊上的高為CD

則

由AB=3，得  

∴ AB邊上的高等于

[例3] 已知，求的值。

解：∵     ∴

又 ∵      ∴

∴

∵

∴ 原式

[例4] 已知三點A（）、B（）、C（）。若向量

（為常數且），求的最大值、最小值及相應的值。 

解：由已知

移項得

兩式平方，整理有

∴

    ∵    

∴ 當時，有最大值

又 ∵ ，故有最小值為，此時

解得或

綜上所述，當時，有最大值，當或時，有最小值。

[例5] 已知，。

（1）求及；

（2）若的最小值是，求的值。

解：（1）

（∵ ）

（2）

∵      ∴

① 當時，，矛盾

② 當時，，由，得

③ 當，時，，由，得，矛盾。

綜上，為所求

[例6] 設，，，與的夾角為，與的夾角為₂，，求的值。

解：根據題意，

而    ∴

同理，

，而，

∴

將代入，得

∴

[例7] 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中。

（1）將十字形的面積表示為函數；

（2）為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？

解：（1）設S為十字形的面積，

則

（2）方法一：

其中

當，即時，S最大

所以當時，S最大，S的最大值為

方法二：因為

所以

令，即

可解得

所以當時，S最大，S的最大值為

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 已知，則的取值范圍是（    ）

A.         B.     C.            D.

2. 的值是（    ）

    A.     B.     C.     D. 1

3. 要使有意義，則應有（    ）

A.                        B.     

C. 或       D.

4. 等于（    ）

    A.     B.     C. 1    D.

5. 已知，則等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 在中，若，則是（    ）

A. 直角三角形                   B. 等邊三角形

C. 鈍角三角形                   D. 等腰直角三角形

7. 已知，當時，可化簡為（    ）

A.                 B.         C.               D.

8. 若，則的值是（    ）

A.     B.     C.     D. 1

二. 解析題：

1. 已知，。

（1）求的值；

（2）求滿足的銳角

2. 如圖所示，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內接矩形ABCD辟為綠地，使其一邊AD落在圓的直徑上，另兩點B、C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為，如何選擇關于點O對稱的點A、D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？

3. 已知為銳角，且，，試求的值。

【試題答案】

一.

1. D

解析：設，兩式相加得

由，得，兩式相減，得，由，得    ∴

2. B

解析：原式

3. D

解析：

由

4. B

    解析：

5. B

解析：   

∴

∵ 在第一或第三象限，則在第一或第二象限

又 ∵      

∴ 在第二象限，故

6. B

解析：由，得   

又     ∴

∴    ∴

，A=B，同理B=C    ∴ 是等邊三角形

7. D

解：

∵     

∴

∴ ，

∴ 原式

8. B

    解析：

二.

1. 解析：（1）因為，所以

所以  

由

所以

（2）因為

所以    所以

因為為銳角，所以

2. 解析：如圖所示，令，則，則矩形ABCD的面積為

其中“”中等號成立的充要條件是，即

于是時，S為最大

不難得到，這時A、D兩點與O的距離都是

3. 解析：由題意知

∵     ∴     ∴ ，

（1）÷（2），，即

又 ∵     ∴

∴    ∴     ∴

∴