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考研數(shù)學(xué)中求極限的題目是每年必考的，而利用等價無窮小求極限是最重要的方法，熟練使用等價無窮小替換對于快速正確求解極限題目必不可少。 使用等價無窮小首先必須注意所求極限是否為不定型，然后再確定求極限的函數(shù)分子分母是否在同一趨勢下均為無窮小，是否可化為分子分母均為無窮小的形式。例如求當x趨于無窮時函數(shù)sin x/x的極限。sin x當x趨于0時為無窮小，但當x趨于無窮時極限不存在，前者是通常會遇到的情況，而后者較少出現(xiàn)(當然，近來出現(xiàn)頻率漸有增加)。對此題目，若不細心，根據(jù)習(xí)慣使用當x趨于0時sin x的等價無窮小x進行替換求極限便大錯特錯了!此題目中的函數(shù)極限并非不定型，而須根據(jù)無窮小量的性質(zhì)求極限，即無窮小量與有界變量之積為無窮小量。 其次，在計算極限時，若表達式中分子或分母是幾項相乘或相除，其中某項極限存在且不為零，可以先將其計算出來。但加減法不適用。這是便于計算極限時隨時簡化函數(shù)形式，免得在一遍遍謄寫過程中出錯。 再者，計算不定型極限時，若函數(shù)表達式中分子或分母是幾項相乘的形式，可以使用等價無窮小替換。這就需要考生記住一些常用等價無窮小的形式。 一般情況下，加減法不能使用等價替換，但若達到精確度時，也可以使用等價無窮小替換(這一點在2013無師自通《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》中有更清晰地描述)。例如limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2，因為分母是二階無窮小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，從而limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= limx→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。 又如limx→0[x-sinx]/x3，因為分母為三階無窮小，若用sinx～x，則會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果，事實上limx→0[x-sinx]/x3= limx→0[1-cosx]/3x2=1/6。 等價無窮小替換在求函數(shù)極限中有重要作用，在使用任何方法的過程中都可使用等價無窮小替換將形式繁瑣的函數(shù)簡化，再進一步計算。特別是利用洛比達法則求極限時，有的函數(shù)若不進行化簡，求導(dǎo)后形式繁雜，會增加計算難度。 |
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