|
極限計算方法總結 《高等數學》是理工科院校最重要的基礎課之一，極限是《高等數學》的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學員的學習帶來較大困難，而極限學的好壞直接關系到《高等數學》后面內容的學習。下面先對極限概念和一些結果進行總結，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學員更好地掌握這部分知識。 一、極限定義、運算法則和一些結果 1(定義:(各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述)。 說明:(1)一些最簡單的數列或函數的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的極限嚴格定義證 ,0，當|q|1時,bn,limqlim(3x,1),5lim,0(a,b為常數且a,0);;;等等 明，例如:,,,nx,2n,,不存在，當|q|,1時an, (2)在后面求極限時，(1)中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格 定義證明。 2(極限運算法則 定理1 已知 ，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x) lim[f(x),g(x)],A,B (2) limf(x),g(x),A,B f(x)A(3) lim,,(此時需B,0成立)g(x)B 說明:極限號下面的極限過程是一致的;同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。 3(兩個重要極限 xsinlim,1(1) x,0x 11xxlim(1，),elim(1，x),e(2) ; x,,,0xx 說明:不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式， 作者簡介:靳一東，男，(1964—)，副教授。 1xxsin333,2xlim(1，),elim(1,2x),elim,1例如:，，;等等。 x,,x,0xx,0x3 4(等價無窮小 定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小(即極限是0)。 定理3 當時，下列函數都是無窮小(即極限是0)，且相互等價，即有: x,0 xxtanxarctanxln(1，x)sinxarcsinxe,1,,,,,, 。 g(x)g(x),0說明:當上面每個函數中的自變量x換成時()，仍有上面的等價 23x2,xe,13xln(1,x)關系成立，例如:當時， , ; , 。 x,0 1 1/5頁 x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理4 如果函數都是時的無窮小，且,，,，則當f(x)g(x)f(x)g(x)01111 f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim存在時，也存在且等于，即=。 f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115(洛比達法則 定理5 假設當自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時，函數和滿足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x) 極限都是0或都是無窮大; (2)和都可導，且的導數不為0; f(x)g(x)g(x) ,f(x)lim (3)存在(或是無窮大); ,g(x) ,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 則極限也一定存在，且等于，即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)說明:定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達 0,法則就不能應用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型;0, 條件(2)一般都滿足，而條件(3)則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以 連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。 6(連續性 x 定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果是函數的定義去間內的一點，則有f(x)0 limf(x),f(x) 。 0x,x0 7(極限存在準則 定理7(準則1) 單調有界數列必有極限。 {x},{y},{z}為三個數列，且滿足: 定理8(準則2) 已知nnn y,x,z,(n,1,2,3,？)(1) nnn limy,alimz,a (2) ， nnn,,n,, limxlimx,a 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。 nnn,,n,, 二、求極限方法舉例 1( 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限 3x，1,2lim例1 x,1x,1 22xx(31)2333，,,limlim,,解:原式= 。 x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312),，，,，， 注:本題也可以用洛比達法則。 limn(n，2,n,1)例2 n,, 分子分母同除以nnnn[(，2),(,1)]33lim,lim,解:原式= 。 n,,n,,2nn，2，,1211，，1,nn nn(,1)，3lim例3 nn,,n2，3 2 2/5頁 1n(,)，1n上下同除以33,lim,1解:原式 。 n,,2n()，13 2( 利用函數的連續性(定理6)求極限 1 2xlimxe例4 ,x2 1 2xf(x),xex,2解:因為是函數的一個連續點， 0 1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用兩個重要極限求極限 1cosx,lim 例5 2x,03x xx222sin2sin122limlim,,解:原式= 。 200x,x,x63x212(), 2 注:本題也可以用洛比達法則。 2 xlim(1,3sinx)例6 ,x0 1,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim[(1,3sinx)],e 。 解:原式=,0,0xx n,2nlim()例7 ,,nn，1 ,3n，1,3，1nnn,,3,3n，1,3，1n,3,3lim(1，),lim[(1，)],e解:原式= 。 ,,,,nnn，1n，14( 利用定理2求極限 12xlimsin例8 x,0x 解:原式=0 (定理2的結果)。 5( 利用等價無窮小代換(定理4)求極限 xln(13x)，lim 例9 2x,0arctan(x) 22arctan(x)？x,0時，ln(1，3x) 解:,，,， x3x xx,3？ 原式= 。 lim,32x,0x xsinxe,elim例10 ,x0x,sinx ,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1解:原式= 。 ,,x0x0xxxx,sin,sin注:下面的解法是錯誤的: 3 3/5頁 xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0xxxx,sin,sin 正如下面例題解法錯誤一樣: xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx 12tan(xsin) xlim例11 x,0sinx 111222解:， ？當x,0時，xsin是無窮小，？tan(xsin)與xsin等價xxx 12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式= 。(最后一步用到定理2) x,0x,0xx 6( 利用洛比達法則求極限 說明:當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時， 洛比達法則還可以連續使用。 1cosx,lim例12 (例4) 2x,03x sinx1lim,解:原式= 。(最后一步用到了重要極限) x,06x6 ,xcos 2lim例13 x,1x,1 ,,x,sin,22,,lim解:原式= 。 x,112 x,sinxlim例14 3x,0x 1cosxsinx1,limlim,解:原式== 。(連續用洛比達法則，最后用重要極限) 2x,x,006x63x sinxxcosx,lim例15 2x,0xsinx 解: sinxxcosxcosx(cosxxsinx),,,limlim,,原式22x,x,00xx3x, xsinx1lim,,2x,033x 11,lim[]例18 x,0x，xln(1) 11lim[,],0解:錯誤解法:原式= 。 x,0xx 正確解法: 4 4/5頁 ln(1，x),xln(1，x),x原式,lim,limx,0xln(1，x)x,xx,0 1 ,1x11，x,lim,lim,。x,0x,02x2x(1，x)2 應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。 x,2sinxlim例19 x,,3x，cosx 1,2cosx0lim解:易見:該極限是“”型，但用洛比達法則后得到:，此極限 x,,3,sinx0 不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下: x2sin1,xlim原式= (分子、分母同時除以x) x,,xcos3，x 1 = (利用定理1和定理2) 3 7( 利用極限存在準則求極限 limxx,2,x,2，x,(n,1,2,？)例20 已知，求 n1n，1n,,n xlimxlimx,a{x}解:易證:數列單調遞增，且有界(0)，由準則1極限存在，設 。對已nnnn,,,,nn x,2，x知的遞推公式 兩邊求極限，得: n，1n a,2，aa,2a,,1 ，解得:或(不合題意，舍去) limx,2所以 。 nn,, 111lim(？)，，，例21 222n,,n，1n，2n，n n111n,，，？，,解: 易見: 22222n，nn，1n，2n，nn，1 nnlim,1lim,1因為 ， 22n,,n,,，1nn，n 111lim(，，？，),1所以由準則2得: 。 222n,,n，1n，2n，n 上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。 5 5/5頁全文完 |
|
|
