導數思想在高考試題中的體現

　　導數的思想方法和基本理論有著廣泛的應用，除對中學數學有重要的指導作用外，也能在中學數學的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。本文對2007年數學高考試題中有關運用導數解決問題的試題進行分析，看如何運用導數解決中學數學中相關問題：如函數單調性、最值等函數問題；在掌握導數的相關概念的基礎上應用導數作出特殊函數的圖象；應用導數解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數列的有關問題，再根據導數所具有的幾何意義對切線相關問題及平行問題等幾何問題進行了一些探討，并最終運用導數解決實際問題中的最值。

　　在我國現在中學數學新教材中，導數處于一種特殊的地位，是高中數學知識的一個重要交匯點，是聯系多個章節內容以及解決相關問題的重要工具。在2007年各省高考試題中，我們不難發現導數的應用在中學數學中是非常廣泛的，涉及到了中學數學的各個方面，具體如下：

　　（一）在函數方面的應用

　　1．1 函數單調性的討論

　　函數的單調性是函數最基本的性質之一，是研究函數所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當函數表達式較復雜時判斷正負有困難時選用導數就會很方便。運用導數知識來討論函數單調性時，只需求出，再考慮的正負即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。

　　江西卷12．設在內單調遞增，，則是的（　B　）

　　Ａ．充分不必要條件  Ｂ．必要不充分條件    Ｃ．充分必要條件      Ｄ．既不充分也不必要條件

　　安徽卷18．設，．令，討論在內的單調性。

　　解：根據求導法則有，故，

　　于是，    當時，，當時，

　　故知在內是減函數，在內是增函數。．

　　陜西卷20．設函數，其中為實數．（II）當的定義域為時，求的單調減區間．

　　解：，令，得．由，得或，

　　又， 時， 由得；        當時，；

　　 當時，由得，

　　即當時，的單調減區間為； 當時，的單調減區間為．

　　浙江卷22設，對任意實數，記．（I）求函數的單調區間；

　　解：．由，得．

　　因為當時，，當時，，當時，，

　　故所求函數的單調遞增區間是，，單調遞減區間是．

　　分析：這類求函數單調區間的問題要比給出某個區間判斷函數的單調性復雜一些.在這類題型中，首先對求導；再令或，通過解關于的不等式，即可得到的單調遞增（減）區間.

　　1．2 函數的最值（極值）的求法

最值（極值）問題是高中數學的一個重點，也是一個難點.它涉及到了中學數學知識的各個方面，用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。

　　一般地，函數閉區間[a，b]上可導，則在[a，b]上的最值求法：

　　①求函數在（a，b）上的駐點；

　　②計算在駐點和端點的函數值，比較而知，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

　　江蘇卷13．已知函數在區間上的最大值與最小值分別為，，則_32__．

　　遼寧卷12．已知與是定義在上的連續函數，如果與僅當時的函數值為0，且，那么下列情形不可能出現的是（ C  ）

　　A．0是的極大值，也是的極大值     B．0是的極小值，也是的極小值

　　C．0是的極大值，但不是的極值     D．0是的極小值，但不是的極值

　　天津卷20．已知函數，其中．當時，求函數的單調區間與極值．

　　解：．由于，以下分兩種情況討論．

　　（1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表：

　　所以在區間，內為減函數，在區間內為增函數．

　　函數在處取得極小值，且，

　　函數在處取得極大值，且．

（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：

　　所以在區間，內為增函數，在區間內為減函數．

　　函數在處取得極大值，且．

　　函數在處取得極小值，且．

　　分析：本小題考查兩個函數的和、差、積、商的導數，利用導數研究函數的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。

　　湖北卷20．已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

　　（I）用表示，并求的最大值；

　　解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．

　　，，由題意，．

　　即由得：，或（舍去）．

　　即有．令，則．

　　于是當，即時，；當，即時，．

　　故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為．

　　分析：這類題目解決的關鍵在于深刻理解并靈活運用導數的知識，實質是確定新構造函數的最大值。

　　（二）在不等式證明方面的應用

　　利用導數證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，將不等式的部分或者全部投射到函數上。直接或等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數。通過導數運算判斷出函數的單調性或利用導數運算來求出函數的最值，將不等式的證明轉化為函數問題，即轉化為比較函數值的大小，或者函數值在給定的區間上恒成立等。

　　江蘇卷9．已知二次函數的導數為，，對于任意實數，有，

　　則的最小值為（ C　）       Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

　　安徽卷18．設，．（Ⅱ）求證：當時，恒有．

　　證明：由知，的極小值．

　　于是由（Ⅰ）知，對一切，恒有．

　　從而當時，恒有，故在內單調遞增．

　　所以當時，，即．

　　故當時，恒有．

　　湖北卷20．已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（II）求證：（）．

　　證明：設，

　　則．故在為減函數，在為增函數，

　　于是函數在上的最小值是．

　　故當時，有，即當時，

　　全國卷20.設函數．

　　（Ⅰ）證明：的導數； （Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍．

　　解：（Ⅰ）的導數．

　　由于，故．（當且僅當時，等號成立）．

　　（Ⅱ）令，則，

　　（ⅰ）若，當時，，故在上為增函數，

　　所以，時，，即．

　　（ⅱ）若，方程的正根為，

　　此時，若，則，故在該區間為減函數．

　　所以，時，，即，與題設相矛盾．

　　綜上，滿足條件的的取值范圍是．

　　浙江卷22.設，對任意實數，記．

　　（II）求證：（ⅰ）當時，對任意正實數成立；

　　證明：（i）方法一：令，則，

　　當時，由，得，當時，，

　　所以在內的最小值是．故當時，對任意正實數成立．

　　方法二：對任意固定的，令，則，

　　由，得．當時，．當時，，

　　所以當時，取得最大值．

　　因此當時，對任意正實數成立．

　　分析：這類題型主要考查函數的基本性質、導數在不等式的證明中的應用、以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。當不等式直接證明比較困難時可對不等式一邊作一變形，再構造函數利用求導分析。

　　（三）在數列方面的應用

　　數列是高中數學中一個重要的部分，也是個難點。事實上數列可看作是自變量為正整數的特殊的函數，所以可以利用數列和函數的關系，運用導數來解決數列的有關問題。

　　廣東卷21.已知函數，是方程的兩個根（），是的導數，設，．（1）求的值；  （2）證明：對任意的正整數，都有；

　　解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；

　　 （2），

　　=，∵，∴有基本不等式可知（當且僅當時取等號），∴同，樣，……，（n=1,2,……），

　　（四）在解析幾何方面的應用

　　導數在解析幾何中應用主要體現在求曲線的切線上。

　　江西卷11．設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（ B　）

　　Ａ．        Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

　　分析：這道題可以根據導數的幾何意義來求，導數的幾何意義是函數在點的導數是曲線在點處的切線斜率.

全國卷二22．已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；

　　（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．

　　解：（1）求函數的導數；．

　　    曲線在點處的切線方程為：，  即．

　　（2）如果有一條切線過點，則存在，使 ．

　　于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根．

　　記  ，  則．

當變化時，變化情況如下表：

　　由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

　　當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；

　　當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根．

　　綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則

　　即  ．

　　（五）在實際問題中的應用

　　北京卷19．如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

　　（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；

　　（II）求面積的最大值．

　　I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為．點的縱坐標滿足方程，

　　解得

　　則，其定義域為．

　　（II）記，則．令，得．

　　因為當時，；當時，，所以是的最大值．

　　因此，當時，也取得最大值，最大值為．即梯形面積的最大值為．

　　福建卷19．某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件．

　　（Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產品的售價的函數關系式；

　　（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值．

　　解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數關系式為：

　　    ．

　　（Ⅱ）．

　　    令得或（不合題意，舍去）．

　　    ，．

　　    在兩側的值由正變負．

　　    所以（1）當即時，   ．

　　（2）當即時，

　　，

　　所以

　　答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．

　　分析：在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先求出自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域。如果定義域是一個開區間，函數在定義域內可導（一般初等函數在自己的定義域內必可導），且此函數在這一開區間內有最大（小）值，那么只要對函數求導，當發現定義域內只有一個極值點時，立即可以斷定在這個極值點處的函數值就是最大（小）值。如果定義域是閉區間，則必須對該點處的函數值與端點處的函數值進行比較才能確定。

　　從2007年高考試題中我們看到導數在中學數學中的重要作用和地位。不僅如此從近幾年新課程高考試題中也反映出導數及其應用已成為高考的新熱點，特別是利用導數求函數的單調區間、求函數的極大（小）值、求函數在連續區間上的最大值和最小值、利用求導解決一些實際應用問題等考查點。

　　總之，在高三新課程復習中，我們應關注高考的動向，從實際出發，既重視基礎，又注重對學生數學能力與綜合素質的提高。而將新課程內容與傳統的內容結合是近幾年高考試題的一個重要特點，也可以說是以后新課程試題的明顯標志，應引起教學中的關注。通過對導數這一塊內容的復習歸納能夠提高學生的悟性，啟發引導學生自己去感悟、去應用知識，從而爭取最好的教學效果。