【本講教育信息】
一. 教學(xué)內(nèi)容：
雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
［知識(shí)點(diǎn)］
（一）雙曲線的定義
1. （1）圖示：取一拉鏈，在拉開兩邊上各選一點(diǎn)，分別固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的圖形，我們稱為雙曲線一支（加絕對值兩支）
3. 定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)c小于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。
（1）焦點(diǎn)：F1、F2，焦距：|F1F2|
（2）定義重點(diǎn)：
①絕對值
②小于|F1F2|
若去掉①則為一支；去掉②，2a＝2c射線，2a＞2c無曲線，2a＝0是F1F2的中垂線。
（二）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）推導(dǎo)：①建系；②寫出集合；③坐標(biāo)化；④化簡
圖象特征：
［注意］
1. 位于標(biāo)準(zhǔn)位置，才能有標(biāo)準(zhǔn)方程；
3. 判斷雙曲線焦點(diǎn)的位置由函數(shù)的正負(fù)決定（不比大小），若x2的函數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上，反之則在y軸上。
4. 記住a、b、c的關(guān)系：
一般地：第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)
線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，這個(gè)常數(shù)e叫做離心率。
理解：
①第二定義的隱含條件：定點(diǎn)在直線外，否則軌跡是除去交點(diǎn)的兩條相交直線。
③雙曲線的離心率的定義是：雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。（幾何意義）
2. 焦半徑及焦半徑公式
定義：雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線上這點(diǎn)的焦半徑。
（4）等軸雙曲線：
曲線。
漸近線：（定義：若曲線上的點(diǎn)到某一直線的距離為d，當(dāng)點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，d能趨近于0，則這條直線稱為該曲線的漸近線）
【典型例題】
例1. 一炮彈在某處爆炸，在F1（－5000，0）處聽到爆炸聲的時(shí)間比在F2（5000，0）
么樣的曲線上，并求爆炸點(diǎn)所在的曲線方程。
解：
6000（米），因此爆炸點(diǎn)在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上。
因?yàn)楸c(diǎn)離F1處比F2處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近F2處的一支上。
設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
小結(jié)：
遠(yuǎn)6000米，這是解應(yīng)用題的第一關(guān)——審題關(guān)；根據(jù)審題結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)知爆炸點(diǎn)所在的曲線是雙曲線，這是解應(yīng)用題的第二關(guān)——文化關(guān)（用數(shù)學(xué)文化反映實(shí)際問題）；借助雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出爆炸點(diǎn)的軌跡方程是解決應(yīng)用題的第三關(guān)——數(shù)學(xué)關(guān)（用數(shù)學(xué)知識(shí)解決第二關(guān)提出的問題）。
例2. 求一條漸近線方程是3x＋4y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)是（4，0）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求雙曲線的離心率。
解：
小結(jié)：
例3. 等軸雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：
（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；
（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N。
證明：
如圖所示，易求得：
又∠NA1x，∠NA2x均為銳角，
∴MA1⊥A2N。同理可證MA2⊥A1N。
小結(jié)：利用對稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化意識(shí)。
例4.
證明：
程分別是
∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率，
小結(jié)：|PF1|、|PF2|都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，通常稱作焦半徑。
例5.
AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程。
解法一：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），
①－②，得
∵P是線段AB的中點(diǎn)，
∴直線AB的斜率為2。
解法二：
∵A、B為雙曲線上的點(diǎn)，
小結(jié)：此題也可設(shè)直線的斜率為k，然后待定k的值。
例6. 設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍
解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意得
∴點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)不共線
∴點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為2|m|的雙曲線上。
小結(jié)：
例7.
曲線離心率e的取值范圍。
解：
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱。
高。
小結(jié)：
例8.
標(biāo)為4，求雙曲線的方程。
解法1
解法2
解法3
例9. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的一頂點(diǎn)為B（0，－1），右焦點(diǎn)到直線m：
（1）求C的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直線l與C交于兩點(diǎn)M、N，使|BM|＝|BN|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。
解：
小結(jié)：
義相同。
【模擬試題】
1. 過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離。
2. 已知雙曲線的離心率為2，求它的兩條漸近線的夾角。
3. 在面積為1的△PMN中，，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程。
4. 已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求的值。
5. 已知橢圓及點(diǎn)B（0，－2），過左焦點(diǎn)F1與點(diǎn)B的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為F2，求△CDF2的面積。
6. P為橢圓上任意一點(diǎn)，F1為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求證以焦半徑F1P為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相切。
7. 已知兩定點(diǎn)A（－1，0），B（1，0）及兩動(dòng)點(diǎn)M（0，y1），N（0，y2），其中，設(shè)直線AM與BN的交點(diǎn)為P。
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若直線與曲線C位于y軸左邊的部分交于相異兩點(diǎn)E、F，求k的取值范圍。
8. 直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程。
【試題答案】
1. 解：∵雙曲線方程為，
∴＝13，于是焦點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)過點(diǎn)F1垂直于x軸的直線l交雙曲線于
，
∴
故垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為。
2. 解：設(shè)實(shí)軸與漸近線的夾角為，則
∴
∴兩條漸近線的夾角為
［點(diǎn)評］
（1）離心率e與。
（2）要注意兩直線夾角的范圍，否則將有可能誤答為。
3. 解：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，（如圖所示）
則
解得
設(shè)雙曲線方程為，
將點(diǎn)
∴所求雙曲線方程為
點(diǎn)評：選擇坐標(biāo)系應(yīng)使雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后采用待定系數(shù)法求出方程。
4. 解：∵P在橢圓上，，
又∵點(diǎn)P在雙曲線上，，
①、②兩式分別平方得
兩式相減得，
∴
5. 解：∵，
由
∵與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為：
∴
又點(diǎn)F2到直線BF1的距離
說明：本題也可用來解。
6. 略解1 設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，則
又兩圓半徑分別為，
，故此兩圓內(nèi)切。
略解2 如圖，
∴此兩圓內(nèi)切
7. 解：（1）由題意得AM的方程為，BN的方程為：。
兩式相乘，得
（2）由
8. 解：由
（1）
∴此時(shí)直線l：x＝3與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（3，0）；
（2）當(dāng)b≠0時(shí)，直線l方程為
。
①當(dāng)
②當(dāng)
恒成立，
∴此時(shí)直線l與雙曲線必相交于兩點(diǎn)。
綜上所述，滿足條件的直線l共有三條：
小結(jié)：含參數(shù)的直線方程，若化簡為
，則可知l必過定點(diǎn)（3，0），因（3，0）正好為雙曲線實(shí)軸頂點(diǎn)。所以過此點(diǎn)的切線x＝3及過此點(diǎn)與漸近線平行的直線
均與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)。由此可見，重視幾何圖形特征分析會(huì)簡化計(jì)算。
