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棣莫弗 中國科學院自然科學史研究所 張祖貴 棣莫弗，A．(De Moiver，Abraham)1667年5月26日生于法國維特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英國倫敦．數學． 棣莫弗出生于法國的一個鄉村醫生之家，其父一生勤儉，以行醫所得勉強維持家人溫飽．棣莫弗自幼接受父親的教育，稍大后進入當地一所天主教學校念書，這所學校宗教氣氛不濃，學生們得以在一種輕松、自由的環境中學習，這對他的性格產生了重大影響．隨后，他離開農村，進入色拉的一所清教徒學院繼續求學，這里卻戒律森嚴，令人窒息，學校要求學生宣誓效忠教會，棣莫弗拒絕服從，于是受到了嚴厲制裁，被罰背誦各種宗教教義．那時，學校不重視數學教育，但棣莫弗常常偷偷地學習數學．在早期所學的數學著作中，他最感興趣的是C．惠更斯(Huygens)關于賭博的著作，特別是惠更斯于1657年出版的《論賭博中的機會》(Deratiociniis in ludo aleae)一書，啟發了他的靈感． 1684年，棣莫弗來到巴黎，幸運地遇見了法國杰出的數學教育家、熱心傳播數學知識的J．奧扎拉姆(Ozanam)．在奧扎拉姆的鼓勵下，棣莫弗學習了歐幾里得(Enclid)的《幾何原本》(Ele-ments)及其他數學家的一些重要數學著作． 1685年，棣莫弗與許多信仰新教的教友一道，參加了震驚歐洲的宗教騷亂，在這場騷亂中，他與許多人一起被監禁起來．正是在這一年，保護加爾文教徒的南茲敕令被撤銷．隨后，包括棣莫弗在內的許多有才華的學者由法國移住英國．據教會的材料記載，棣莫弗一直被監禁至1688年才獲釋，并于當年移居倫敦．但據20世紀60年代發現的一份當時的材料，1686年時棣莫弗已經到了英國．隨后，棣莫弗一直生活在英國，他對數學的所有貢獻全是在英國做出的． 抵達倫敦后，棣莫弗立刻發現了許多優秀的科學著作，于是如饑似渴地學習．一個偶然的機會，他讀到I．牛頓(Newton)剛剛出版的《自然哲學的數學原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，深深地被這部著作吸引了．后來，他曾回憶起自己是如何學習牛頓的這部巨著的：他靠做家庭教師糊口，必須給許多家庭的孩子上課，因此時間很緊，于是就將這部巨著拆開，當他教完一家的孩子后去另一家的路上，趕緊閱讀幾頁，不久便把這部書學完了．這樣，棣莫弗很快就有了充實的學術基礎，并開始進行學術研究． 1692年，棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E．哈雷(Halley)，哈雷將棣莫弗的第一篇數學論文“論牛頓的流數原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英國皇家學會上宣讀，引起了學術界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗當選為英國皇家學會會員． 棣莫弗的天才及成就逐新受到了人們廣泛的關注和尊重．哈雷將棣莫弗的重要著作《機會的學說》(The doctrine of chances)呈送牛頓，牛頓對棣莫弗十分欣賞．據說，后來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時，他就說：“這樣的問題應該去找棣莫弗，他對這些問題的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派參與英國皇家學會調查牛頓-萊布尼茨關于微積分優先權的委員會，可見他很受學術界的尊重．1735年，棣莫弗被選為柏林科學院院士．1754年，又被法國的巴黎科學院接納為會員． 棣莫弗終生未婚．盡管他在學術研究方面頗有成就，但卻貧困潦倒．自到英國倫敦直至晚年，他一直做數學方面的家庭教師．他不時撰寫文章，還參與研究確定保險年金的實際問題，但獲得的收入卻極其微薄，只能勉強糊口．他經常抱怨說，周而復始從一家到另一家給孩子們講課，單調乏味地奔波于雇主之間，純粹是浪費時間．為此，他曾做了許多努力，試圖改變自己的處境，但無濟于事． 棣莫弗在87歲時患上了嗜眠癥，每天睡覺長達20小時．當時有一 等差級數．當24小時高睡不起時，他便在貧寒中離開了人世． 概率論肇始于17世紀，G．卡爾達諾(Cardano)、P．費馬(Ferman)、B．帕斯卡(Pascal)等人是概率論早期的研究者，他們所研究的主要是關于相互獨立隨機事件的概率——機會方面的問題，討論如賭博、有獎抽彩過程中的“機會”．逐漸地，人們要求解決與大量事件集合有關的概率或期望值問題，如獎券的總數很大，已知每一張獎券中獎的機會都相等，那么抽取1000張、10000張獎券中獎的概率有多大呢？人們希望了解，如果要保證中獎的可能性達到90％，那么至少應該購買多少張獎券． 考慮一系列隨機事件(如隨機地拋擲硬幣)，某一事件出現(如拋擲硬幣時出現正面)之概率為P，n表示所有隨機事件的總數，m是某一事件出現的數目，那么該事件出現的次數(m)與全體事件的次數(n)之比將會呈現什么規律呢？這是17世紀概率論中一個十分重要的問題． 1713年，雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的遺著《猜度術》(Ars conjectandi)出版，書中表明他經過多次反復的試驗，證明在一定范圍內 試驗，則上述概率為0.9999；再增加5708次，即進行36966次試驗，則上述概率為0.99999，等等．因此雅格布·伯努利指出：“無限地連續進行試驗，我們終能正確地計算任何事物的概率，并從偶然現象之中看到事物的秩序。”但是，他并未表述出這種偶然現象中的秩序．這一工作是由棣莫弗完成的． 棣莫弗在雅格布·伯努利的《猜度術》出版之前，就對概率論進行了廣泛而深入的研究．1711年，他在英國皇家學會的《哲學學報》(Philosophical Transactions)上發表了“論抽簽的原理”(De mensure sortis)，該文于1718年用英文出版時翻譯成《機會的學說》(The doctrine of chances)，并擴充成一本書．他在書中并沒討論上述雅格布·伯努利討論的問題，1738年再版《機會的學說》時，棣莫弗才對上述問題給出了重要的解決方法． 棣莫弗在《機會的學說》(1738年版)中稱，在1725年左右，他就考慮過多次反復試驗中的預期概率問題．他曾在注明日期為1733年11月13日的一份拉丁文論文中指出：“坦率地說，這是在關于機會的學問中所能提出的最困難的問題．”他的解答是這樣的：在n次試驗中，獲得m次成功(即某一特定事件出現)的概率，是通過(a＋b)n的表達式中含有m次的那一項(即第m＋1項)表示出來的，也就是說，n次試驗中某一事件出現m次的概率為 其中，a是某一事件出現的概率，而b=1-a． 這樣，棣莫弗就得到二項分布 其中ξ隨機變數，而P(ξ-K)為ξ的分布列． 然后，他又考慮一般的二項式公式(a＋b)n，發現二項式(1＋1)n的中項與各項之和(2n)之間的比例關系為(當n很大時) 弗在1730年的《分析雜論》(Miscellanea analytica)中給出了對很大的n，關于n！的近似公式 這是棣莫弗首先給出的，但在數學史上卻被稱為斯特靈公式或斯特靈逼近．歷史事實是，棣莫弗首先得到 他知道常數C僅僅是一個無窮級數之和的極限，但卻沒有求出C的值．后來，他的朋友J．斯特 靈(Stirling)利用他的發現作了進一步的探討， 莫弗． 式(a＋b)n從任意一項至中心項的總和．于是，他發現了二項分布Cmn·am·(1-a)n-m的極限式將呈現一種新的形式．他提出一個具有啟發性的例子，并認為這是“機會”(概率論)最難解決的問題：事件 于1830次，也不少于1770次，也就是說，已經得到平均誤差為 n次試驗中出現m次事件的概率之期望值滿足的關系式 其中m(n)是n次試驗中出現m次事件的概率．也就是說，棣莫弗首次發現二項分布的極限形式為一正態分布． 后來，P．S．拉普拉斯(Laplace)對棣莫弗的結果進行推廣，得到了今天的棣莫弗-拉普拉斯積分極限定理： 若隨機變數ξn服從二項分布，即P(ξn=m)=Cmnam·(1-a)n-m，其中0＜a＜1，m=0，1，2，…，n，則有 棣莫弗最先引入的正態分布在概率、統計發展中占有重要地位．后來，拉普拉斯、C．F．高斯(Gauss)等進行了推廣．人們陸續發現，許多隨機現象服從正態分布． 設ξn(n=1，2，…)為相互獨立的隨機變數序列，有有限的數學期望E(ξk)=ak和方差D(ξk)=δ2k，(k=1，2，…)，令 一致地有 則稱隨機序列｛ξn｝服從中心極限定理． 不難證明，若設ξn(n=1，2，…)為相互獨立且具有相同兩點分布的隨機變數序列，且P｛ξm=1｝=a，P｛ξm=0｝=1-a，(m=1，2，…)，0＜a＜1，則｛ξn｝服從中心極限定理．這一定理的雛型是棣莫弗最先提出的． 在對概率論的研究中，棣莫弗第一次引入了正態密度函數(正 布的極限式為正態分布的發現，在相當長時間里被人遺忘了．直到1924年K．皮爾遜(Pearson)著“正態曲線史”(Ahistory ofthe normal curve)一文，重新提到棣莫弗的工作，人們才認識到他的貢獻． 利用棣弗莫的上述結論，可以解決在一定范圍內存在的期望的概率 棣莫弗將他的成果大量地應用于諸如此類的問題．上述棣莫弗-拉普拉斯積分極限定理及中心極限定理還可用來解決反過來的統計問題：已知在一定范圍內存在的期望的概率，求某一事件出現的概率，或者求滿足一定概率條件所需要的試驗次數，等等． 棣莫弗的《機會的學說》在概率論發展中起著承前啟后的作用，尤其是二項分布、正態分布函數、中心極限定理等方面的工作，開辟了概率論發展的新方向．對于他來說，重要的是解決了這樣的哲學問題：在人們以為是純粹偶然的事件中，可以尋找出其規律和必然．正如他在該書英文第三版中所指出的那樣，盡管機會具有不規則性，由于機會無限多，隨著時間的推移，不規則性與秩序相比將顯得微不足道．他認為，這種秩序自然是從“固有設計中”產生出來的． 在《機會的學說》中，棣莫弗得到了泊松分布的一種特殊情形，并將母函數用于對正態分布的討論；在研究差分方程時，他將循環級數方法應用于差分方程的求解；此外，他在這部著作中還對賭博中涉及的概率問題進行了深入探討．他的許多方法尤其是母函數方法在概率論發展中占有十分重要的地位． 棣莫弗是18世紀力主將概率論應用于人文、社會科學研究的重要人物之一，他在這方面的工作與哈雷密切相關．哈雷在1693年就制定了確定保險年金的理論，在他的統計數據的基礎上，棣莫弗于1725年出版了《年金論》(Anuities upon lives)一書． 《年金論》不僅改進了以往眾所周知的關于人口統計的方法，而且在假定死亡率所遵循的規律以及銀行利息不變的情況下，推導出了計算年金的公式，從而為保險業提供了合理處理有關問題的依據，這些內容被后人奉為經典．在這部書中，棣莫弗提出了一個死亡假說，即在每86個嬰兒出生后，每年將死掉一個．他的《年金論》在歐洲產生了廣泛影響，先后出版了7次之多，1725年、1743年、1750年、1752年、1756年分別用英文出版，1776年出版了意大利文本，1906年出版了德文譯本． 另外，棣莫弗還得到一些與復數有關的重要結果．他運用復數理論，證明了求解二項方程 xn-1=0 相當于把圓周分成n等分，故二項方程又稱分圓方程． 在復數理論的發展中，現在稱之為棣莫弗定理的 顯得十分重要，它是早期復數理論中最有意義的關鍵公式之一．棣莫弗在1707年的一篇文章中隱約地得到了這一結果，在1722年的一篇筆記中，他利用1707年的結論，推導出代表比為1∶n的角的正矢(vers α=1-cosα)中x與t之間的關系，可以通過參數z表示： 他認為這一表示式在n是正整數時成立．實際上，他只得到了上述表達式．如令x=1-cosθ，t=1-cosnθ，則可得到(cosθ±isinθ)n=cosnθ±isinnθ．他從未寫出過最后明確的結論．完整的棣莫弗公式是歐拉在1748年給出的，歐拉還給出完整的證明．值得提出的是，棣莫弗間接地得到了下述公式： |
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