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泰勒 北京大學(xué) 朱學(xué)賢 泰勒，B．(Taylor，Brook)1685年8月18日生于英格蘭米德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市；1731年12月29日卒于倫敦．?dāng)?shù)學(xué)． 泰勒出生于英格蘭一個(gè)富有的且有點(diǎn)貴族血緣的家庭．父親約翰(John)來自肯特郡(Kent)的比夫隆(Bifron)家族，母親奧莉維婭(Olivia)是巴特郡(Bart)的N．坦佩斯特(Tem-pest)爵士的女兒，祖父納撒尼爾(Nathaniel)曾支持過克倫威爾(Cromwell)．泰勒是長(zhǎng)子． 進(jìn)大學(xué)之前，泰勒一直在家里讀書．泰勒全家，尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術(shù)，經(jīng)常在家里招待藝術(shù)家．這對(duì)泰勒一生的工作造成了極大的影響，這從他的兩個(gè)主要科學(xué)研究課題：弦振動(dòng)問題及透視畫法，就可以看出來． 1701年，泰勒進(jìn)劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)，主要的數(shù)學(xué)教授是J．梅欽(Machin)和J．基爾(Keill)．1709年，他獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位．1714年獲法學(xué)博士學(xué)位．1712年，他被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，同年進(jìn)入仲裁I．牛頓(Newton)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭(zhēng)論的委員會(huì)．從1714年起他繼E．哈雷(Halley)之后擔(dān)任皇家學(xué)會(huì)第一秘書，1718年以健康理由辭去這一職務(wù)，但看來更實(shí)際的原因是對(duì)這一比較受約束的工作不感興趣． 泰勒后期的家庭生活是不幸的．1721年，因和一個(gè)據(jù)說是出身名門但沒有財(cái)產(chǎn)的女人結(jié)婚，遭到父親的嚴(yán)厲反對(duì)，只好離開家庭．兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里．1725年，在征得父親同意后，他第二次結(jié)婚，并于1729年繼承了父親在肯特郡的財(cái)產(chǎn)．1730年，第二個(gè)妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個(gè)女兒伊麗莎白(Elizabeth)．妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去世了，安葬在倫敦圣·安教堂墓地． 由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國(guó)，并和法國(guó)數(shù)學(xué)家P．R．de．蒙莫爾(Montmort)多次通信討論級(jí)數(shù)問題和概率論問題．據(jù)W．鮑爾(Ball)說，著名的“騎士游歷問題”，即國(guó)際象棋中的馬連續(xù)地跳遍棋盤上的64個(gè)格，且每個(gè)格只允許跳進(jìn)1次，就是由他提出來，由蒙莫爾和A．棣莫弗(De Moivre)解出來的．后來，L．歐拉(Euler)科學(xué)地處理了這一問題． 1708年，23歲的泰勒得到了“振動(dòng)中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個(gè)工作中他用了牛頓的瞬的記號(hào)．他在給基爾教授的信中報(bào)告了這一工作，但直到1714年5月才發(fā)表在《皇家學(xué)會(huì)哲學(xué)會(huì)報(bào)》(Philosophical Transaction of the Royal Society)上． 從1714到1719年，是泰勒在數(shù)學(xué)上多產(chǎn)的時(shí)期．他的兩本著作：《正和反的增量法》(Methodus incrementorum directa etinversa)及《直線透視》(Linear perspective)都出版于1715年，它們的第2版分別出于1717和1719年．從1712到1724年，他在《哲學(xué)會(huì)報(bào)》上共發(fā)表了13篇文章，其中有些是通信和評(píng)論．文章中還包含有毛細(xì)管現(xiàn)象、磁學(xué)及溫度計(jì)的實(shí)驗(yàn)記錄． 在生命的后期，泰勒轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作，他的第三本著作《哲學(xué)的沉思》(Contemplatio philosophica)在他死后由外孫W．楊(Young)于1793年出版(私人出資印刷和發(fā)行)． 泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世．這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級(jí)數(shù)表示出來，即(用現(xiàn)在的記號(hào)) 這一定理及其中的無窮級(jí)數(shù)都以泰勒命名．這條定理的重要性現(xiàn)在是眾所周知的，在幾乎任何一本微積分教科書上都能找到，并在許多數(shù)學(xué)分支里有著廣泛的應(yīng)用． 泰勒定理的首次正式出現(xiàn)是在1715年版的《正和反的增量法》的第23頁上，作為命題7的第2個(gè)推論．但在1712年7月26日給梅欽的信中他已敘述了這一結(jié)果，不過當(dāng)時(shí)未給出證明．后來，H．貝特曼(Bateman)重印了這封信．泰勒在信上說道，這一工作，是因?yàn)樵诓闋柼乜Х瑞^(Child’s Coffeehouse)里聽到梅欽關(guān)于用“牛頓級(jí)數(shù)”解開普勒(Kepler)問題的一席談話以及看到發(fā)表于1694年《哲學(xué)會(huì)報(bào)》上的“哈雷博士求根法”(Dr．Halley’s method of extracting roots)，受到啟發(fā)才做出來的．他在書中也稱贊了牛頓． 這里有兩點(diǎn)需要指出．一方面，在17世紀(jì)后期和18世紀(jì)，隨著航海、天文學(xué)和地理學(xué)的進(jìn)展，迫切要求三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表和航海表等的插值有較高的精確度，因此許多插值方法應(yīng)運(yùn)而生．其中牛頓插值公式(或稱格里戈里(Gregory)-牛頓內(nèi)插公式)用了有限差方法，這一公式由泰勒發(fā)展成把函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的最有力的方法．但另一方面，除了牛頓以外，萊布尼茨在有限差分方面也做過許多工作，伯努利(Bernoulli)兄弟等在把函數(shù)展開成級(jí)數(shù)方面有許多重要的貢獻(xiàn)，而且實(shí)際上，J．伯努利(JohannBernoulli)曾于1694年在《教師學(xué)報(bào)》(Acta Eruditorum)上發(fā)表過與泰勒定理相同的結(jié)果，泰勒是知道這一切的，但在書中沒有提，這里包含有某些其他的原因，我們?cè)诤竺孢€會(huì)提到． 提一下泰勒在書中給出的定理的證明是很有意思的，從中一方面可以看到當(dāng)時(shí)微積分基礎(chǔ)的混亂，另一方面又可以看到許多有識(shí)之士為此作出的努力．泰勒認(rèn)為，可以用有限差分和極限既解釋牛頓的流數(shù)法又解釋萊布尼茨的微分法，流數(shù)法的原理“全部能從增量法的原理直接推導(dǎo)出來”(雖然萊布尼茨在那時(shí)曾說過，這是“把車子放在馬的前面”)．但如何從有限差分過渡到流數(shù)，他(和萊布尼茨一樣)并不清楚，認(rèn)為只要把“初始的增量”寫成零就行了．因此，他先從有限差分出發(fā)，得到格里戈里-牛頓內(nèi)插公式，然后令其中的初始增量為零，項(xiàng)數(shù)為無窮，既沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性也沒有給出余項(xiàng)的表達(dá)式．F．克萊因(Klein)曾評(píng)注道，這是一種“無先例的大膽地通過極限”，“泰勒實(shí)際上是用無窮小(微分)進(jìn)行運(yùn)算，同萊布尼茨一樣認(rèn)為其中沒有什么問題．有意思的是，一個(gè)20多歲的年輕人，在牛頓的眼皮底下，卻離開了他的極限方法”． 在書中及在以后的一些文章中，泰勒用他的定理把函數(shù)展開成級(jí)數(shù)，得到如正弦函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)等的標(biāo)準(zhǔn)展式，并用這一方法求微分方程的通解．他還用級(jí)數(shù)去解數(shù)字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程． 然而，在半個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們并沒有認(rèn)識(shí)到泰勒定理的重大價(jià)值．這一重大價(jià)值是后來由J．L．拉格朗日(Lagrange)發(fā)現(xiàn)的．他把這一定理刻畫為微積分的基本定理，并將其作為自己工作的出發(fā)點(diǎn)．18世紀(jì)末，拉格朗日給出了泰勒公式的余項(xiàng)表達(dá)式(通常稱為拉格朗日余項(xiàng))，并指出，不考慮余項(xiàng)就不能用泰勒級(jí)數(shù)．泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生的一個(gè)世紀(jì)之后由A．L．柯西(Cauchy)給出的． “泰勒級(jí)數(shù)”這一名詞大概是由S．A．呂利埃(L’Huillier)在1786年首先使用的．在此之前，M．J．A．N．C．M．de孔多塞(Condorcet)在1784年對(duì)此級(jí)數(shù)既用了泰勒的名字又用了J．L．R．達(dá)朗貝爾(d’Alembert)的名字． C．麥克勞林(Maclaurin)注意到了泰勒定理的特殊情形，即函數(shù)在零點(diǎn)的展開．泰勒在1717年版的《增量法》第27頁上討論了這一情形，麥克勞林本人也指出，這只是泰勒工作的一個(gè)特例．但歷史在這里開了個(gè)玩笑，人們將它作為一條獨(dú)立的定理而歸于麥克勞林． 關(guān)于泰勒定理，還有一點(diǎn)要提及，J．伯努利曾和泰勒爭(zhēng)論這一定理的優(yōu)先權(quán)．主要依據(jù)是前面提到的J．伯努利1694年發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》上的文章．G．皮亞諾(Peano)也認(rèn)為定理應(yīng)歸于伯努利．A．普林斯海姆(Pringsheim)曾證明從伯努利的積分公式通過變量替換可以得到泰勒定理．但歷史的研究表明，并沒有充分的證據(jù)表明伯努利(還有萊布尼茨等人)已意識(shí)到了泰勒定理的最終形式．泰勒獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一定理，并將它敘述成最一般的形式． 發(fā)生在泰勒和J．伯努利之間的爭(zhēng)論實(shí)際上是當(dāng)時(shí)發(fā)生的另一場(chǎng)著名大爭(zhēng)論的延伸，即爭(zhēng)論究竟是牛頓還是萊布尼茨首先發(fā)明了微積分．英國(guó)數(shù)學(xué)家支持牛頓，歐洲大陸的數(shù)學(xué)家支持萊尼布茨．為了證明自己一方擁有微積分的真經(jīng)，雙方分別在《哲學(xué)會(huì)報(bào)》和《教師學(xué)報(bào)》上提出一系列挑戰(zhàn)問題，讓對(duì)方解答．這種挑戰(zhàn)曾達(dá)到賭50個(gè)畿尼(舊英國(guó)金幣的名稱)的激烈程度．泰勒是少數(shù)幾個(gè)能在這場(chǎng)挑戰(zhàn)中挺得住的英國(guó)數(shù)學(xué)家之一，但他也并不是總能獲勝．有一次，他提出一個(gè)形式很復(fù)雜的流數(shù)積分問題，向所有“非英國(guó)”數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)．這一問題在英國(guó)只有極少幾個(gè)幾何學(xué)家通曉，從而認(rèn)為是自己一派的優(yōu)勢(shì)．但結(jié)果卻不然，J．伯努利熟知這一積分并指出這一問題早已由萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上解決了．從而這次挑戰(zhàn)泰勒大敗而歸．這場(chǎng)爭(zhēng)論后來演變成尖銳的對(duì)立，因而往往缺乏理性和公允，雙方都受到了損害．泰勒雖然很熟悉萊布尼茨和伯努利的許多工作，但在自己的書中只字不提．反過來，他本人的許多工作(甚至包括1714年的工作)的首創(chuàng)權(quán)都遭到了非議． 《增量法》一書不僅是微積分發(fā)展史上的一部重要著作，而且還為數(shù)學(xué)增添了一門新的分支，現(xiàn)在稱為“有限差分”．雖然有限差分法在17世紀(jì)時(shí)已廣泛用于插值問題，但正是泰勒的工作才使之成為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，泰勒是奠基人．在書中，他還成功地將這一方法應(yīng)用于振動(dòng)弦頻率及其振動(dòng)形式的研究以及級(jí)數(shù)求和． 《增量法》還包括了泰勒的一些創(chuàng)造性工作，它們的重要性到后來才被人們認(rèn)識(shí)到．其中包括微分方程奇解的認(rèn)識(shí)和確定，涉及變量替換及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式，確定振動(dòng)中心，曲率及振動(dòng)弦問題等．與后3個(gè)問題有關(guān)的工作早些時(shí)候曾在《哲學(xué)會(huì)報(bào)》上發(fā)表過，其中包含有計(jì)算對(duì)數(shù)的連分式．泰勒將曲率半徑看作是通過曲線上三點(diǎn)的極限圓的半徑，并將曲率與相切角問題聯(lián)系起來，后一問題可追溯到歐幾里得(Euclid)．他用曲率及曲率半徑第一個(gè)求得撥動(dòng)弦的最簡(jiǎn)單情形——正規(guī)振動(dòng)的解．在命題22和23中，他證明在某些條件下，每一點(diǎn)的振動(dòng)取單擺的形式．他用弦的長(zhǎng)度、重量及擺重來確定單擺的周期．泰勒關(guān)于這一問題的見解影響了后人，例如J．伯努利在和兒子D．伯努利(DanielBernoulli)通信討論這一課題時(shí)引用了泰勒的工作． 泰勒在其他學(xué)科里也有一些工作值得一提．例如，他正確地推導(dǎo)出大氣壓的變化率是高度的對(duì)數(shù)函數(shù)．關(guān)于光的折射本質(zhì)的第一個(gè)正確解釋也屬于他(見[1])． 泰勒的另一本著作《直線透視》是18世紀(jì)有關(guān)透視理論的著作中影響最大的一本．據(jù)P．S．瓊斯(Jones)統(tǒng)計(jì)，這本書在英國(guó)出了4版(還不算一個(gè)修訂本)，并被譯成法文和意大利文共出了3版．從1715到1888年有9人寫了12本書共22版，追隨泰勒的工作． 相傳古希臘人在建造露天劇場(chǎng)時(shí)應(yīng)用了透視原理，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家、建筑師和工程師們廣泛應(yīng)用透視原理于自己的創(chuàng)作．18世紀(jì)的貢獻(xiàn)主要是理論完善及科學(xué)抽象．泰勒在書中建立了一系列定理并給出嚴(yán)格的證明．其中，最杰出和最富創(chuàng)造性的思想是對(duì)所有的直線和平面分別定義了“沒影點(diǎn)”和“沒影直線”，并對(duì)透視問題的反問題的理論和實(shí)踐進(jìn)行了研究，這一問題后來構(gòu)成了J．朗伯(Lambert，他開創(chuàng)了理論制圖學(xué)的新紀(jì)元)工 作的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代攝影地理學(xué)的基礎(chǔ)．泰勒自如地運(yùn)用平行直線在無窮遠(yuǎn)處相交的思想，并尋求在透視中直接做幾何構(gòu)造的方法． 如同泰勒的其他著作一樣，這本書寫得過于簡(jiǎn)潔和抽象，遭到了一些批評(píng)．J．伯努利說，這本書“對(duì)所有的人說來是深?yuàn)W的，而對(duì)藝術(shù)家們說來難以理解，但是它本來是比較專門地為他們寫的”考慮到他和泰勒之間的關(guān)系，這番話應(yīng)打點(diǎn)折扣，但泰勒本人也多少意識(shí)到這一點(diǎn)，在書的第二版《直線透視的新原理》(New principles of linear pefspective，1719)中，他作了一些修改和補(bǔ)充，將原來的42頁擴(kuò)展成70頁，并增加了一些圖形說明如何用他的方法直接畫圖． 泰勒的工作受到了后人的贊揚(yáng)．例如，畫法幾何學(xué)的奠基人G．蒙日(Monge)及其學(xué)生S．F，拉克魯瓦(Lacroix)在1801年說它“由于創(chuàng)造性和富有成果的原理，從而高出于其他研究透視的工作”．J．庫(kù)利奇(Coolidge)在1940年稱泰勒的工作是透視學(xué)“整個(gè)大建筑的拱頂石” 泰勒對(duì)于透視理論有濃厚興趣，不僅因?yàn)樗c數(shù)學(xué)及時(shí)代文明相一致，而且由于他的家庭影響，前面我們已指出了這一點(diǎn)．在泰勒家族的檔案里，據(jù)說存有他的繪畫．他的外孫W．楊說，泰勒喜愛風(fēng)景畫和水彩畫，作品中表現(xiàn)的技巧及知識(shí)的運(yùn)用，受到看過這些作品的專家的好評(píng)．在圣約翰學(xué)院保存的泰勒的材料中有一份題為“論音樂”(On musick)的未發(fā)表的手稿，是由他、牛頓及佩普斯(Pepusch)合作完成的，后者顯然是寫了音樂的非科學(xué)的部分．據(jù)說在1713年前，他還交給皇家學(xué)會(huì)一篇關(guān)于音樂的論文． 研究泰勒的生平及工作表明，他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，本質(zhì)上要比一條以他命名的定理大得多．他涉及的、創(chuàng)造的但未能進(jìn)一步發(fā)展的主要數(shù)學(xué)概念之多令人吃驚．他的工作過分簡(jiǎn)潔抽象難以追隨．家庭影響、生活的不幸、健康不佳以及其他一些無法估量的因素，影響了他不太長(zhǎng)的生命中的數(shù)學(xué)創(chuàng)造． |
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