傅里葉變換 | 小組 | 果殼網科技有意思

土豆地蛋 2014-09-20

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讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉是電子、熱力、數學人的噩夢，他和拉格朗日（he）、拉普拉斯（hehe）是一個時期的著名學者，因對傳熱理論的貢獻當選巴黎科學院院士，2013年的美國大學生數學建模比賽的A題核心思想就是傅里葉定律，樓主深深地被絆了一跤。

電子類學科中廣泛運用的則是傅里葉變換，傅里葉變換傳奇就傳奇在它解決了兩個物理量的隔閡，任何連續測量的時序或信號，都可以在傅里葉變換的基礎上表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。

根據原信號的不同，可以將傅里葉變換分為

非周期連續信號傅里葉變換，連續傅里葉變換——Fourier Transform
周期性連續信號傅里葉變換，傅里葉級數——Fourier Series
非周期離散信號離散時域傅里葉變換，離散時間傅里葉變換——Discrete Time Fourier Transform
周期性離散信號離散時域傅里葉變換，離散傅里葉變換——Discrete Fourier Transform

傅里葉變換公式

傅里葉變換性質

(線性性質是將任意信號分解為不同頻率的正弦信號的理論基礎，有了這個性質，才能將不同頻率的信號進行線性疊加而不影響變換后的信號的屬性。)

兩函數之和的傅里葉變換等于各變換之和，數學描述：
若函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里葉變換 $F(f)$ 和 $F(g)$ 都存在， $\alpha$ 和 $\beta$ 為任意常系數，則 $F(\alpha f+\beta g)=\alpha F(f)+ \beta F(g)$

若函數 $f(x)$ 存在傅里葉變換，則對任意實數 $w_0$ ，函數 $f(x)e^{jw_0x}$ 也存在傅里葉變換，且有 $\mathcal {F}$ 。式中花體
是傅里葉變換的作用算子，平體 $F$ 表示變換的結果（復函數）， $e$ 為自然對數的底， $j$ 為虛數單位 $\sqrt {-1}$ 。

若函數 $f(x)$ 當 $|x|→\infty$ 時的極限為0，而其導函數 $f'(x)$ 的傅里葉變換存在，則有 $\mathcal {F}$ ，即導函數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子 $jw$ 。更一般地，若 $f(\pm\infty)=f'(\pm \infty)=...f^{k-1}(\pm\infty)$ ，且存在 $\mathcal {F}$ ，則 $\mathcal {F}$ ，即 $k$ 階導數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子 $(jw)^{k}$ 。

若函數 $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $(-\infty,+\infty)$ 上絕對可積，則卷積函數 $f*g=\int_{-\infty}^{+infty}f(x-\xi)g(\xi)d\xi$ （或者 $f*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)g(x-\xi)d\xi$ ）的傅里葉變換存在，且 $\mathcal {F}$ 。卷積性質的逆形式為 $\mathcal {F}^{-1}$ ，即兩個函數卷積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的乘積乘以 $2\pi$ 。

例子（來自維基百科：卷積）

圖示兩個方形脈沖波的卷積。其中函數 " $g$ " 首先對 $\tau =0$ 反射，接著平移 " $t$ " ，成為 $g(t-\tau)$ 。那么重疊部份的面積就相當于 " $t$ " 處的卷積，其中橫坐標代表待積變量 $\tau$ 以及新函數 $f*g$ 的自變量 " $t$ " 。

圖示方形脈沖波和指數衰退的脈沖波的卷積（后者可能出現于 RC電路中），同樣地重疊部份面積就相當于 " $t$ " 處的卷積。注意到因為 " $g$ " 是對稱的，所以在這兩張圖中，反射并不會改變它的形狀。

若函數 $f(x)$ 可積且平方可積，則 $\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(w)|^{2}dw$ 。其中 $F(w)$ 是 $f(x)$ 的傅里葉變換。
更一般化而言，若函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 皆平方可積，則 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g^*(x)dx= \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)G^*(w)dw$ 。其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分別是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里葉變換, $*$ 代表復共軛。

存在意義