有關傅里葉傅里葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。 當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此后生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發表出來。 拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。 但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對的。 話是這么說沒錯，可是二者總要存在差異，甚至在跳變沿處，傅里葉逼近會產生Gibbs現象，我們為什么還要進行傅里葉展開或傅里葉變換呢？ 為什么要傅里葉展開和變換？首先，我們從物理系統的特征信號角度來解釋。 我們知道，大自然中很多現象可以抽象成一個線性時不變系統來研究，無論你用微分方程還是傳遞函數或者狀態空間描述。 線性時不變系統可以這樣理解： 輸入輸出信號滿足線性關系，而且系統參數不隨時間變換。對于大自然界的很多系統，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。 也就是說正弦信號是系統的特征向量！當然，指數信號也是系統的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的，或者既有波動又有指數衰減（復指數形式），因此具有特征的基函數就由三角函數變成復指數函數。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什么波形，那輸出就不一定是什么樣子了。所以，除了指數信號和正弦信號以外的其他波形都不是特征信號。 怎么理解我所說的特征向量和特征信號這個名字呢？其實這來源于線性代數：我們知道矩陣A作用一個特征向量x可以用數學語言這樣描述：，那么系統作用一個特征信號用數學語言描述就是。形式結構相同，只是一個是有限長度的向量，另一個是無限長度的信號而已。既然是特征向量，我們就想能不能用特征向量來表示自然界的信號和一個物理系統呢？這樣做的好處就是知道輸入，我們就能很簡單那的寫出輸出。我們來看一個實際的例子，擊弦樂器——鋼琴。琴鍵被小錘敲擊后，產生聲音，見下圖。 你可以認為聲音是琴鍵隨時間變化的，也可以看成是各種波的疊加。用數學的表達式就是這個樣子的： 凡有變化的波(交流、頻率)才能傳遞信號，一個一直不變的直流信號是無法傳遞信息的。這種“交流”是指廣義的，普遍的，無論是自然界里蝙蝠探路，人們互相交談，還是衛星接收信號，都屬于交流的范疇。 為了傳遞信號，產生交流，我們需要以“波”作為信號的載體。最簡單的波，就以一定頻率傳播。蝙蝠發出了超聲波，人們說話，聲帶振動帶動了空氣疏密波（聲波），衛星識別電磁波。這樣，我們就有了頻率的概念。更進一步，除了手機GHz的波這些經典電磁波，在量子世界里，原子的躍遷也是以一定的頻率發生的。我們甚至可以說，自然選擇了以這些單頻的模式為基礎。對于一個信號來說，信號強度隨時間的變化規律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。 為什么時間和頻率描述世界是等價的這里引入了時域頻域的概念。我們就有必要解釋一下為什么時間和頻率來描述這個世界是等價的？ 什么是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。 什么是頻域？頻域(frequency domain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系。用線性代數的語言就是裝著正弦函數的空間。頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是一個數學構造。頻域是一個遵循特定規則的數學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。 好抽象，不懂。那讓我們從一個簡單的例子開始吧。在你的理解中，一段音樂是什么呢？ 這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的： 最上面的圖是音樂在時域的樣子，而下面的圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。 其實，在生活中，我們無時無刻不在進行著傅立葉變換。（什么？我沒有聽錯吧？！）對的，請相信你的耳朵，你完全沒有聽錯。我們來看人類聽覺系統的處理過程： 當我們聽到一個聲音，大腦的實際反應是什么？事實上耳朵感覺到一個時變的空氣壓力，這種變化也許是一個類似于口哨聲的單音。當我們聽到一個口哨聲時，我們所關心的并不是氣壓隨時間的振動（它非常非常快！），而是聲音的三個特征：基音、聲強以及音長。基音可以理解為頻率的同義詞，聲強不是別的，它就是幅度。我們的耳朵—大腦系統能有效地將信號表示成三個簡單的特征參數：基音、聲強以及音長，并不理會氣壓的快速變化過程（一個重復的變化過程）。這樣耳朵—大腦系統就提取了信號的本質信息。 傅立葉變換的分析過程與此類似，只不過我們從數學意義把它更加精確化和專業話罷了。 從數學上理解，頻域的概念就是由正弦信號構成的空間。或者說這個空間里裝著正弦信號。聽起來好抽象，讓我們回憶一個例子：我們知道對已一個函數，我們可以將它分解成下面的形式： 分解的方法有很多。 我們這樣理解上面的函數分解：是函數空間中的一組基，是在這組基下的坐標。對于泰勒展開，我們選取了多項式作為基，于是由多項式構成的空間就叫多項式空間。對于傅里葉變換，我們只是選取了三角函數作為基，于是由三角函數構成的空間就叫頻率空間或者叫頻域。以此類推。 用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數來表示的原因在于：正弦信號恰好是很多線性時不變系統的特征向量。于是就有了傅里葉變換。對于更一般的線性時不變系統，復指數信號(表示耗散或衰減)是系統的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是離散系統的“特征向量”。這里沒有區分特征函數和特征向量的概念，主要想表達二者的思想是相同的，只不過一個是有限維向量，一個是無限維函數。 傅里葉級數和傅里葉變換其實就是我們之前討論的特征值與特征向量的問題。分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質。 同時，這也解釋了為什么我們一碰到信號就想方設法的把它表示成正弦量或者復指數量的形式；解釋了為什么方波或者三角波如此“簡單”，我們非要展開的如此“麻煩”；解釋了為什么對于一個沒有什么規律的“非周期”信號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復指數)是特征向量。 考慮到實際過程都只關心t>0時刻的現象，所以一般用的拉氏變換都是單邊的，也就是教材中講的拉普拉斯變換。微分運算的變換，除了以外還有其它項，就是因為所做的是單邊的變換，需要考慮初值。 時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關系；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。 鑒于你對積分變換已經心灰意冷，為了讓你對積分變換產生一點好感。我們來看一張圖： 海綿寶寶的傅里葉變換就是派大星 這個圖在討論濾波器的時候很有用，學習通訊或者電子專業的學生對這個圖再熟悉不過了，如果你感興趣可以聯系我交流一下。 之前說了那么多，可能你不相信一個信號可以用正弦信號的線性組合重現，或者說你不相信一個函數可以展開。接下來，我們深入的討論一下這個問題。 任何信號都可以用正弦信號的線性組合重現什么是分解呢？分解的意思就像我們用不同的涂料來調色，一個色調可以分解成不同基色調的組合。一束白光可以分解成不同顏色的光的疊加。如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。用線性代數的角度來說明這個問題，就是基的數量要足夠，數學一點的用語是完備性。如果你接觸過小波變換，你就更能體會到這點。 不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。
（2012年1月，四位來自麻省理工學院的研究人員提出了一種更快執行傅里葉變換的新算法。這四位研究者(從左至右)分別是Piotr Indyk、Dina Katabi、Eric Price、Haitham Hassanieh。傅里葉變換是數字醫學成像、Wi-Fi路由器和4G無線通信網絡等眾多技術的運算基礎。） 經過上面各種圖形的狂轟濫炸，相信你對于傅里葉級數是展開(分解)的概念已經在你的腦海中留下一些痕跡了吧。前面的疊加過程我們發現隨著頻率越來越高，幅值卻越來越小。這是為什么呢？很多書上只是給出數學上的解釋。下面，給出一個幾何上的解釋：
對于一個函數，將其分解成傅里葉級數的時候，對于高頻分量，可以看出函數近似成一條直線。于是，積分求和就變成很小的值了。這也是為什么工程中只取前幾階信號而不考慮無窮項的原因。 前面花了大量的時間來說明一個方波信號可以由正弦信號組成，也就是一個時域信號可以用頻域信號表示。如果你接受了這件事，就好辦了，我們將他推廣： “任意連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成” 這就是傅里葉當年的結論。 盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。”任意”的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！ 本節的核心就是一種信號可以用另一種信號作為基函數線性表示。而由于現實世界中正弦信號是系統的特征向量，所以我們就用傅里葉變換，將研究的信號在頻域展開。總而言之，不管是傅里葉級數，還是傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換，本質上都是線性代數里面講的求特征值和特征向量。然后將一個復雜問題用特征值和特征向量表示。以后如果有人問你為什么要進行傅里葉變換，你就可以半炫耀半學術的告訴他： “因為復指數信號是線性時不變系統的特征向量，因此傅里葉變換就是進行特征分解” 當然還有其他展開，比如小波，道理是一樣的。如果感興趣，強烈推薦《小波與傅里葉分析基礎》這本書。 其實寫到這里本來就可以了。但是數學家覺得，這種向特征基函數投影的思想太奇妙了，于是就將其發展延伸，構造出了其他形式的積分變換。下面就從數學的角度解釋一下積分變換的意義。 從數學角度解析傅里葉變換的意義
這種解決問題的思路和我們介紹的對角化時的思路是一致的。類似的還有對數變換、解析幾何的坐標變換、高等代數中的線性變換；在積分中的變量代換和積分運算化簡；在微分方程中所作的自變量或未知函數的變換；復變函數的保角變換。當然變換要可以逆。也就是下面介紹的核函數要可逆。 從數學的角度理解積分變換就是通過積分運算，把一個函數變成另一個函數。也可以理解成是算內積，然后就變成一個函數向另一個函數的投影：
當然，選取什么樣的核主要看你面對的問題有什么特征。不同問題的特征不同，就會對應特定的核函數。把核函數作為基函數。將現在的坐標投影到核空間里面去，問題就會得到簡化。之所以叫核，是因為這是最核心的地方。為什么其他變換你都沒怎么聽說過而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯變換呢？因為復指數信號才是描述這個世界的特征函數！ 寫到這里，我覺得早晚會有人指出我的一個問題：沒有區分傅里葉級數和傅里葉變換。筆者覺得這兩個概念根本沒必要區分，我的理由如下：傅里葉級數和傅里葉變換的根本區別是被操作的函數是否為周期函數：當被操作函數的周期趨向于無窮大，傅里葉級數“密集”成傅里葉變換；當被操作函數的周期從無窮大變成有限值時，傅里葉變換退化成傅里葉級數。所以，其實傅里葉級數只是傅里葉變換的一種特殊情況，或者說傅里葉變換是傅里葉級數的推廣。因此，筆者不希望用高深繁多的概念來把你搞暈，就沒有強調二者的區別。
當然，這個問題還體現了時頻域之間的對稱(對偶)關系，而且對拉普拉斯變換也適用，請看下表：
舉個例子： 比如你在時域周期延拓，那么頻域就是離散的線譜；你在時域離散(采樣)，那么頻域就是周期的。還記得海綿寶寶和派大星那個圖么？時域的窗函數在頻域就是sinc函數；頻域的窗函數(理想低通濾波器)在時域就是sinc函數。因此，由于非因果性，理想低通濾波器是不存在的。當然，有些公式并不嚴謹，只是為了形式上的好看，希望你諒解。詳細而準確的推導請參考積分變換或者信號與系統類的書籍。 現代數學發現傅里葉變換具有非常好的性質，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：
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