立體幾何

立體幾何空間圖形

　　數學上，立體幾何(solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱。 立體幾何一般作為平面幾何的后續課程，暫時在人教版數學必修二中出現。立體測繪(Stereometry)是處理不同形體的體積的測量問題。如：圓柱，圓錐， 圓臺，球，棱柱，棱錐等等。 畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體，但是棱錐，棱柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。 尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

立體幾何　　點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成。

　　垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現。 ^[1]

　　方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。

　　立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關鍵。

　　異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大片。

課題內容

立體幾何圖形(3)　　包括：

　　- 面和線的重合

　　- 兩面角和立體角

　　- 方塊， 長方體， 平行六面體

　　- 四面體和其他棱錐

　　- 棱柱

　　- 八面體， 十二面體， 二十面體

　　- 圓錐，圓柱

　　- 球

　　- 其他二次曲面： 回轉橢球， 橢球，拋物面 ，雙曲面

　　公理

　　立體幾何中有4個公理

　　公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

　　公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．

　　公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．

　　公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行。

　　各種立體圖形表面積和體積一覽表　 　 　 　

名稱	符號	面積S	體積V
,正方體	a——邊長	S=6a^2	V=a^3
,長方體	a——長,　　b——寬,　　c——高	S=2(ab+ac+bc)	V=,abc
,棱柱	S底——,底面積,　　h——高	S=S側+2S底	V=Sh
,棱錐	S——底面積,　　h——高		V=Sh/3
,棱臺	S1和S2——上,下底面積,　　h——高		V=h[S1+S2+√（S1S2）]/3
,擬柱體	S1——上底面積,　　S2——下底面積,　　S0——中截面積,　　h——高		V=h（S1+S2+4S0）/6
,圓柱	r——底半徑 　　h——高 　　C——底面周長C=2πr 　　S底——底面積 　　S側——側面積 　　S表——表面積	S底=πR^2,　　S側=Ch,　　S表=Ch+2S底	V=S底h=πr^2h
空心圓柱	R——外圓半徑,　　r——內圓半徑,　　h——高		V=πh(R^2-r^2)
,直圓錐	r——底半徑,　　h------高,　　l,——,母線	S=πr(r+l)	V=πr^2h/3
,圓臺	r——上底半徑 　　R——下底半徑 　　h——高 　 　　l-------母線	S=π(,r2,+R2+rl+Rl）	V=πh(R^2+Rr+r^2)/3
,球	r——半徑,　　d——直徑,	S=4πr^2	V=4/3πr^3=πd^3/6
,球缺	h——球缺高 　　r——球半徑 　　a——球缺底半徑 a^2=h(2r-h)		V=πh(,3a,^2+h^2)/6,=π,h2,(3r-h)/3
,球臺	r1和r2——球臺上,下底半徑,　　h——高		V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
圓環體	R——環體半徑 　　D——環體直徑 　　r——環體截面半徑 　　d——環體截面直徑		V=2π^2Rr^2,=π^2Dd^2/4
桶狀體	D——桶腹直徑,　　d——桶底直徑,　　h——桶高,		V=πh(2D^2+d2^)/12 （母線是圓弧形，圓心是桶的中心） 　　V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15 （母線是拋物線形）

　　注：初學者會認為立體幾何很難，但只要打好基礎，立體幾何將會變得很容易。學好立體幾何最關鍵的就是建立起立體模型，把立體轉換為平面，運用平面知識來解決問題，立體幾何在高考中肯定會出現一道大題，所以學好立體是非常關鍵的。

三垂線定理

　　在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

　　三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線 垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。

　　1，三垂線定理描述的是PO(斜線)，AO(射

　　影)，a(直線)之間的垂直關系.

　　2，a與PO可以相交，也可以異面.

　　3，三垂線定理的實質是平面的一條斜線和

　　平面內的一條直線垂直的判定定理.

　　關于三垂線定理的應用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線.

　　至于射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的.

　　從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂，

　　二射，三證.即 幾何模型第一，找平面(基準面)及平面垂線

　　第二，找射影線，這時a，b便成平面上的一條直線與

　　一條斜線.

　　第三，證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直.

　　注：

　　1.定理中四條線均針對同一平面而言

　　2.應用定理關鍵是找"基準面"這個參照系

　　用向量證明三垂線定理

　　已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬于a，且b垂直OA，求證：b垂直PA

　　證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）

　　所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b） 加 （向量OA 乘以 b ）=O，

　　所以PA垂直b。

　　2）已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬于a，且b垂直PA，求證：b垂直OA

　　證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為PA垂直b， 向量OA=（向量PA-向量PO）

　　所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）減 （向量PO 乘以 b ）=0，

　　所以OA垂直b。

　　2.已知三個平面OAB，OBC，OAC相交于一點O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交線OA于平面OBC所成的角。

　　向量OA=（向量OB+向量AB），O是內心，又因為AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。

定義

　　平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角。（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面）

平面角

　　以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

　　平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

大小范圍

　　0≤θ≤π

　　相交時 0<θ<π，共面時 θ=π或0

求法

立體幾何　　有六種：

　　1.定義法

　　2.垂面法

　　3.射影定理

　　4.三垂線定理

　　5.向量法

　　6.轉化法

　　二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然后把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

　　由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得

　　也可以用解析幾何的辦法，把兩平面的法向量n1，n2的坐標求出來。然后根據n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α為兩平面的夾角。這里需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面，指向兩平面內，所求兩平面的夾角θ=π-α

　　二面角的通常求法：

　　（1）由定義作出二面角的平面角；

　　（2）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角；

　　（3）利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；

　　（4）空間坐標求二面角的大小。

　　三垂線法其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

　　（3）中利用三垂線定理求二面角，如圖，前提條件是平面α與平面β的交線為 l。直線AB垂直于平面β于B點，交α于A點，步驟是：

　　第一步，過B作BP垂直于l與P。

　　第二步，連接AP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。

　　第三步，求出∠APB的大小，即為二面角A-l-B的大小。

　　如果是利用三垂線逆定理，前提條件相同，步驟是：

　　第一步，過A作AP垂直于l與P。

　　第二步，連接BP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。

　　第三步，求出∠APB的大小，即為二面角A-l-B的大小。

基本步驟

立體幾何圖形矢量圖

　　（1）作出二面角的平面角：

　　A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

　　B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

　　C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角； D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

　　（2）證明該角為平面角；

　　（3）歸納到三角形求角。

　　另外，也可以利用空間向量求出。

相關關系

　　二面角的大小就用它的“平面角”來度量。二面角的平面角大小數值就等于二面角的大小。

向量描述

向量描述法

　　直線的方向向量：向量所在直線和直線平行或重合的向量叫做直線的方向向量。 點的位置向量：選一點作為基點，空間中任意一點可用向量OP表示。

　　平面的法向量：如果 α所在的直線垂直于平面β，那么 α是β的法向量。

位置關系

　　設直線m、n的方向向量為a、b，平面e、f的法向量為c、d，那么位置關系可列表：

	平行	垂直
直線-直線	m//n->,a=,kb	m⊥n->,ab,=0
直線-平面	m//e->,ac,=0	m⊥e->,a=,kc
平面-平面	e//f->,c=,kd	e⊥f->,cd=0

空間的角

　　直線所成的角：設直線m、n的方向向量為a、b，m，n所成的角為a。

　　cosa=cos=|a*b|/|a||b|

　　直線和平面所成的角：設直線m的方向向量為a，平面e的法向量為c。

　　設b為m和e所成的角，則b=π/2±<a，c>。sinb=|cos<a，c>|=|a*c|/|a||c|

　　二面角：當雙法向量的朝向一致時，平面e、f的法向量為c、d 各種角設二面角e-e∩f-f為a，那么a=π-<c，d>=π-|c*d|/|c||d|

　　當雙法向量的朝向不一致時，平面e、f的法向量為c、d

　　設二面角e-e∩f-f為a，那么a=<c，d>=|c*d|/|c||d|

距離求解

　　異面直線的距離：l1、l2為異面直線，l1，l2公垂直線的方向向量為n，C、D為l1、l2上任意一點，l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|

　　點到平面的距離：設PA為平面的一條斜線，O是P點在a內的射影，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。

距離

　　易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

　　直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離；

　　平面到平面的距離為在平面上一點到平面的距離； 點到直線的距離：A∈l，O是P點在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。

　　易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA，s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

定義

　　平面：在空間中，到兩點距離相等的點的軌跡叫做平面。

　　直線：同時屬于兩個平面的點的軌跡。

　　或：在平面里，到兩個點距離相等的點。

方程

　　平面：根據定義，設動點為M（x，y，z），兩點分別為（a，b，c）和（d，e，f）

　　則[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2

　　x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)

　　(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0

　　形式為ax+by+cz+d=0

　　直線：根據定義，可列方程組：

　　ax+by+cz+d=0

　　ex+fy+gz+h=0

　　得其形式是：

　　x=jz+k

　　y=lz+m

線面求法

　　（1）三點式

　　則三點同時滿足

　　ax0+by0+cz0+d=0

　　ax1+by1+cz1+d=0

　　ax2+by2+cz2+d=0

　　可得出a-b-c-d的關系，再把d取特殊值，解方程。

　　（2）點線式

　　可在線上找兩個點，轉化成三點式。

　　（3）雙線式（不異面）

　　可在兩個線上共找三個點，轉化成三點式。得：ax+by+cz+d=0

　　（4）線斜式

　　斜率：該平面和xOy平面的二面角的正切。

　　求法：設該平面為ax+by+cz+d=0，xOy是z=0

　　即k=c/(a^2+b^2+c^2)且它通過y=kx+b，z=lz+a

　　根據判定，可得a-b-c-d的關系。再把d賦特殊值。

　　（5）兩點式

　　用待定系數法求出k，l，m，n的關系，再取特殊值。

向量求法

　　直線：截取直線l上兩點A（l，n，0）和B（k+l，m+n，1）方向向量為：AB=（k，m，1）

　　平面：取平面內三點：A(0，0，-d/c)B(1，1，-(d+b+a)/c)C(0，2，-(d+2b)/c)

　　AC=(0，2，-2b/c)AB=(1，1，-(a+b)/c)

　　設向量n：(x，y，c)為平面的法向量，則

　　2y-2b=0 x+y-(a+b)=0

　　->y=b x=a

　　則n=(a，b，c)為平面的一個法向量。

　　直線平面的關系

　　直線和直線：

　　設設直線方程為x=k1z+l1，y=m1z+n1和x=k2z+l2，y=m2z+n2

　　相交：兩條直線所組成的方程組有實數解

　　平行：k1/k2=m1/m2且l1/l2≠n1/n2

　　異面：不相交也不平行

　　垂直：k1k2+m1m2=-1

　　直線和平面

　　設直線方程為x=kz+b，y=lz+a，平面方程為cx+dy+ez+f=0，p=k+l+e，q=a+b+f

　　屬于：p=0，q=0

　　平行：p=0，q≠0

　　相交：p≠0

　　垂直：k/c=b/d=e

　　平面和平面

　　設平面方程為ax+by+cz+d=0和ex+fy+gz+h=0，p=a/e，q=b/f，r=c/g，s=d/h

　　相交：不平行

　　平行：p=q=r≠s

　　垂直：ae+bf+cg=0

基本信息

　　出版社： 浙江大學； 第1版 (2007年4月1日) 叢書名： 高中數學競賽專題講座 平裝： 258頁 開本： 0開 ISBN： 7308052338 條形碼： 9787308052337 產品尺寸及重量： 23 x 18 x 1 cm ； 340 g ASIN： B0011F6NMC

內容簡介

　　《高中數學競賽專題講座-立體幾何》本著少而精的原則選擇材料，以數學修養和能力培養為立意。

《高中數學競賽專題講座-立體幾何》吸收了世界各地的優秀數學競賽試題，