目錄
第一章數(shù)學(xué)思想概述
1．1對數(shù)學(xué)思想重要性的認(rèn)識漸趨深刻…………………………………1
1．1．1經(jīng)驗的總結(jié)………………………………………………………1
1．1．2現(xiàn)實的需要………………………………………………………1
1．1．3認(rèn)知的實現(xiàn)………………………………………………………2
1．2大力加強對數(shù)學(xué)思想的探討…………………………………………3
1．2．1思想和數(shù)學(xué)思想…………………………………………………4
1．2．2數(shù)學(xué)思想與科學(xué)思想……………………………………………4
1．2．3歷史上數(shù)學(xué)思想的幾次重大突破與中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的階段
性轉(zhuǎn)折……………………………………………………………5
1．2．4數(shù)學(xué)思想中的基本數(shù)學(xué)思想…………………………………10
1．2．5思路、思緒、思考和意識(觀念)………………………………11
1．2．6數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系…………………………………12
思考題………………………………………………………………………13
第二章兩大“基石"思想
2．1符號化與變元表示思想……………………………………………14
2．1．1換元思想………………………………………………………15
2．1．2方程思想………………………………………………………18
2．1．3參數(shù)思想………………………………………………………19
2．2集合思想……………………………………………………………21
2．2．1類分思想(并集思想)…………………………………………22
2．2．2求同思想(交集思想)…………………………………………25
2．2．3互補思想(補集思想)…………………………………………26
思考題………………………………………………………………………26
思考題參考解答……………………………………………………………27
第三章兩大“支柱"思想
3．1對應(yīng)思想……………………………………………………………29
3．1．1映射思想………………………………………………………29 1
3．1．2函數(shù)思想………………………………………………………30 I
3．1．3變換思想………………………………………一
3．1．4對稱思想………………………………………一
3．1．5遞歸思想………………………………………～
3．1．6數(shù)形結(jié)合思想…………………………………··
3．2公理化與結(jié)構(gòu)思想…………………………………～
3．2．1公理化思想……………………………………
3．2．2演繹思想………………………………………-·
3．2．3歸納思想………………………………………··
3．2．4類比思想………………………………………··
3．2．5結(jié)構(gòu)思想………………………………………-·
3．2．6極限思想………………………………………··
3．2．7模型思想………………………………………一．
思考題………………………………………………………-·
思考題參考解答……………………………………………-·
第四章兩大“主梁”思想
4．1系統(tǒng)與統(tǒng)計思想(一)………………………………··
4．1．1系統(tǒng)思想………………………………………··
4．1．2整體思想………………………………………--
4．1．3分解組合思想…………………………………-．
4．1．4運動變化思想…………………………………··
4．1．5最優(yōu)化思想……………………………………-．
4．2系統(tǒng)與統(tǒng)計思想(二)………………………………-·
4．2．1統(tǒng)計思想………………………………………·
4．2．2隨機思想………………………………………·-
4．2．3統(tǒng)計調(diào)查思想…………………………………··
4．2．4假設(shè)檢驗思想…………………………………．．
4．2．5量化思想………………………………………．-
4．3化歸與辯證思想(一)………………………………-·
4．3．1化歸思想………………………………………··
4．3．2縱向化歸………………………………………-．
4．3．3橫向化歸………………………………………-．
4．3．4同向化歸………………………………………．·
4．3．5逆向化歸………………………………………．-
4．4化歸與辯證思想(二)………………………………．·
4．4．1辯證思想………………………………………··
4．4．2對立統(tǒng)一思想…………………………………··
4．4．3互變思想………………………………………-·
4．4．4轉(zhuǎn)換思想………………………………………．．
4．4．5一分為二思想……………………………………-
思考題………………………………………………………-
思考題參考解答……………………………………………-
第五章數(shù)學(xué)思想的運用與領(lǐng)悟
5．1集合問題……………………………………………………………106
5．1．1學(xué)習(xí)集合應(yīng)注意的幾個問題——符號化與變元表示思想的
運用……………………………………………………………106
5．1．2集合的圖形表示及應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合思想的運用…………10 7
5．1．3關(guān)注集合元素的特征——符號化與變元表示思想的運用
·················-·…·-·······…·…·…··-·-···-··-····---·--
-·-…-…109
5．1．4重視空集的特殊性和重要作用——一分為二思想的運用
···-··············-·········-···········-···--········-··…·····--··……110
5．1．5反面求解——補集思想的運用………………………………111
5．2簡易邏輯與推理問題………………………………………………113
5．2．1邏輯聯(lián)結(jié)詞與真假命題的集合語言表示——結(jié)構(gòu)思想的運用
-··-······---····…·-··………···…··…·……·-·-··--·····…·-…-·-113
5．2．2用集合觀點處理充要條件問題——集合思想的運用………115
5．2．3對數(shù)學(xué)歸納法的深入理解——遞歸思想的運用……………116
5．3函數(shù)問題……………………………………………………………118
5．3．1
映射、函數(shù)等概念的正確把握——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的
運用…………………………………………………………··118
5．3．2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性的應(yīng)用——模型思想的運用……119
5．3．3指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用——類分思想的運用
-·--···-·-·-··--…-·········……-…·-…--…·-·…·………-…···-一121
5．3．4冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的參變量漫談——運動變化思想
的運用…………………………………………………………122
5．3．5從反函數(shù)的定義談起——對應(yīng)思想的運用…………………124
5．3．6函數(shù)奇偶性的判定與應(yīng)用——符號化變元表示思想的運用
··--···········-·······-…···-··…·……·…………………………126
5．3．7關(guān)于對稱問題的求解——對稱思想的運用…………………129
5．4三角問題……………………………………………………………131
5．4．1對角的概念推廣與符號表示的深刻認(rèn)識——符號化與變元
表示思想的運用………………………………………………131
5．4．2弧度制及應(yīng)用——對應(yīng)思想的運用…………………………132
5．4．3誘導(dǎo)公式的新概括——符號化與變元表示思想的運用……134
5．4．4函數(shù)y=Asin(ωχ+φ)的圖象——變換思想的運用………135
5．4．5單位圓的應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合思想的運用……………………138
5．4．6三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的運用
-·····--··-···…--·--···-····…-·····-·…·……-·………··-……·…141
5．4．7角的代換與變換——化歸思想的運用………………………143
5．4．8三角式余弦定理——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的運用…………146
5．4．9弦函數(shù)的“平方差”公式——整體思想的運用………………148
5．4．10三角中的三倍角公式——變換思想的運用………………149
5．4．11余弦定理的簡單應(yīng)用——轉(zhuǎn)換思想的運用………………151
5．5立體幾何問題………………………………………………………15¨
5．5．1平面的屬性與描述——符號化與變元表示思想的運用……153
5．5．2公理3的三個推論的證明——公理化思想的運用…………155
5．5．3空間直線位置關(guān)系的識別與證明——類分思想的運用……156
5．5．4線面垂直判定定理的證明——轉(zhuǎn)化思想的運用……………158
5．5．5直線和平面所成的角及其求解——轉(zhuǎn)化思想的運用………159
5．5．6平面與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)——歸納思想的運用
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