匯總丨小學(xué)幾何圖形的10大解法

zz_wjh 2016-05-11

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分割法

▌例1：將兩個(gè)相等的長(zhǎng)方形重合在一起，求組合圖形的面積。（單位：厘米）

解：將圖形分割成兩個(gè)全等的梯形。

S組=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）

▌例2：下列兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為8厘米和5厘米，求陰影部分面積。

解：將圖形分割成3個(gè)三角形。

S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）

▌例3：左圖中兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為8厘米和6厘米。求陰影部分面積。

解：將陰影部分分割成兩個(gè)三角形。

S陰=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）

添輔助線

▌例1：已知正方形邊長(zhǎng)4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點(diǎn)，P是任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。

解：從P點(diǎn)向4個(gè)定點(diǎn)添輔助線，由此看出，陰影部分面積和空白部分面積相等。

S陰=4×4÷2=8（平方厘米）

▌例2：將下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分，它們面積相差40平方厘米，平行四邊形底20.4厘米，高8厘米。梯形下底是多少厘米？

解：因?yàn)樘硪粭l輔助線平行于三角形一條邊，發(fā)現(xiàn)40平方厘米是一個(gè)平行四邊形。

所以梯形下底：40÷8=5（厘米）

▌例3：平行四邊形的面積是48平方厘米，BC分別是這個(gè)平行四邊形相鄰兩條邊的中點(diǎn)，連接A、B、C得到4個(gè)三角形。求陰影部分的面積。

解：如果連接平行四邊形各條邊上的中點(diǎn)，可以看出空白部分占了整個(gè)平行四邊形的八分之五，陰影部分占了八分之三。

S陰=48÷8×3=18（平方厘米）

倍比法

▌例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面積。

解：因?yàn)镺C=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）

SDOC=4×2=8（㎡）

SABCD=2+4×2+8=18（㎡）

▌例2：已知S陰=8.75㎡，求下圖梯形的面積。

解：因?yàn)?.5÷2.5=3（倍）

所以S空=3S陰

S=8.75×（3+1）=35（㎡）

▌例3：下圖AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，那么三角形ABC的面積是三角形ADE的多少倍？

解：設(shè)三角形ABE面積為1個(gè)單位。

則SABE=1×3=3 SABC=3×5=15

15÷3=5

所以三角形ABC的面積是三角形ADE的5倍。

割補(bǔ)平移

▌例1：已知S陰=20㎡，EF為中位線求梯形ABCD的面積。

解：沿著中位線分割平移，將原圖轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形。從圖中看出，陰影部分面積是平行四邊形面積一半的一半。SABCD=20×2×2=80（㎡）

▌例2：求下圖面積（單位厘米）。

解1：S組=S平行四邊形=10×（5+5）=100（平方厘米）

解2：S組=S平行四邊形=S長(zhǎng)方形=5×（10+10）=100（平方厘米）

▌例3：把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加2厘米，面積增加24平方厘米。求原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

解：C=（24÷2-2）×2=20（厘米）

等量代換

▌例1：已知AB平行于EC，求陰影部分面積。

解：因?yàn)锳B//EC

所以S△AOE=S△BOC

則S陰=0.5S=10×8÷2=40（㎡）

▌例2：下圖兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是6分米、4分米。求陰影部分面積。

解：因?yàn)镾1+S2=S3+S2=6×4÷2

所以S1=S3

則S陰=6×6÷2=18（平方分米）

▌例3：已知三角形ABC的面積等于三角形AED的面積（形狀大小都相同），它們重疊在一起，比較三角形BDF和三角形CEF的面積大小。（C）

A 三角形DBF大

B 三角形CEF大

C 兩個(gè)三角形一樣大D無(wú)法比較（因?yàn)镾等量減S等量，等差不變）

等腰直角三角形

▌例1：已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為22厘米，長(zhǎng)7厘米，求陰影部分面積。

解：b=22÷2-7=4（厘米）

S陰=（7+（7-4））×4÷2=20（平方厘米）

或S陰=7×4-4×4÷2=20（平方厘米）

▌例2：已知下列兩個(gè)等腰直角三角形，直角邊分別是10厘米和6厘米。求陰影部分的面積。

解：10-6=4（厘米） 6-4=2（厘米）

S陰=（6+2）×4÷2=16（厘米）

▌例3：下圖長(zhǎng)方形長(zhǎng)9厘米，寬6厘米，求陰影部分面積。

解：三角形BCE是等腰三角形

FD=ED=9-6=3（厘米）

S陰=（9+3）×6÷2=36（平方厘米）

或S陰=9×9÷2+3×3÷2=36（平方厘米）

擴(kuò)倍、縮倍法

▌例1：如圖正方形面積是32平方厘米，直角三角形中的短直角邊是長(zhǎng)直角邊的四分之一，三角形面積是多少平方厘米？

解：將正方形面積擴(kuò)大2倍為64平方厘米，64=8×8則a=8（厘米），b=8÷4=2（厘米）

那么，S=8×2÷2=8（平方厘米）

▌例2：求左下圖的面積（單位：米）。

解：將原圖擴(kuò)大兩倍成長(zhǎng)方形，求出長(zhǎng)方形的面積后再縮小兩倍，就是原圖形面積。

S=（40+30）×30÷2=1050（平方米）

▌例3：左圖中每個(gè)小方格都是面積為3平方厘米的正方形。求陰影部分面積。

解：先將3平方厘米縮小3倍，成1平方厘米。面積是1平方厘米的正方形邊長(zhǎng)是1厘米。將圖形分割成兩個(gè)三角形，S=3×2÷2+3×1÷2=4.5（平方厘米）

代數(shù)法

▌例1：圖中三角形甲的面積比乙的面積少8平方厘米，AB=8cm，CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面積各是多少？

解：設(shè)AD長(zhǎng)尾Xcm。再設(shè)DF長(zhǎng)尾Ycm。

8X+8=8（6+X）÷2

X=4

4Y÷2+8=6（8-Y）÷2

Y=3.2

S甲=4×3.0÷2=6.4（c㎡）

S乙=6.4+8+14.4（c㎡）

▌例2：左圖所示，AF=12，ED=10，BE=8，CF=6（單位：厘米）求四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？

解：AE-FD=2（厘米）

設(shè)FD長(zhǎng)X厘米，則AE長(zhǎng)（X+2）厘米。

SABCD=8（X+2）÷2+6X÷2+（8+6）（10-X）÷2=4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米）

▌例3：下圖是一個(gè)等腰三角形，它的腰長(zhǎng)是20厘米，面積是144平方厘米。在底邊上任取一點(diǎn)向兩腰作垂線，得a和b，求a+b的和。

解：過(guò)頂點(diǎn)連接a、b的交點(diǎn)。

20b÷2+20a÷2=144

10a+10b=144

a+b=14.4

看外高

▌例1：下圖兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和3厘米，求陰影部分的面積。

解：從左上角向右下角添?xiàng)l輔助線，將S陰看成兩個(gè)鈍角三角形。（鈍角三角形有兩條外高）

S陰=S△+S△

=3×（6+3）÷2+3×6÷2

=22.5（平方厘米）

▌例2：下圖長(zhǎng)方形長(zhǎng)10厘米，寬7厘米，求陰影部分面積。

解：陰影部分是一個(gè)平行四邊形。與底邊2厘米對(duì)應(yīng)的高是10厘米。

S陰=10×2=20（平方厘米）

▌例3：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是18厘米，CE=2DE

（1）求三角形CEF的面積

（2）求DF的長(zhǎng)度

解：BDF是一個(gè)鈍角三角形，EFC也是一個(gè)鈍角三角形

EC=18÷（2+1）×2=12（厘米）

（1）S CEF=18×18÷2-12×18÷2=54（平方厘米）

（2）DF=54×2÷12=9（厘米）

概念法

▌例1：已知正方形邊長(zhǎng)4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點(diǎn)，P是任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。

解：因?yàn)槿切蝺蓷l直角邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三條邊，所以這個(gè)三角形的兩條直角邊分別為4厘米和6厘米。S=4×6÷2=12（平方厘米）

▌例2：已知正方形邊長(zhǎng)4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點(diǎn)，P是任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。

解：因?yàn)榱庑蔚膬蓷l對(duì)角線互相垂直，所以斜邊5厘米只能作為菱形的邊長(zhǎng)。

C=5×4=20（厘米）

S=4×3÷2×4=24（平方厘米）

▌例3：已知正方形邊長(zhǎng)4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點(diǎn)，P是任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。

解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校呤且唤M對(duì)邊間的距離，必定小于另一組對(duì)邊的長(zhǎng)度，所以高4.2厘米所對(duì)應(yīng)的底只能是3厘米的邊。

S=3×4.2=12.6（平方厘米）

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