魔群月光與弦論 | 當阿熱遇見賽先生

我有個一直藏在心里的愿望，一個沒有任何事實和證據支持的愿望：在二十一世紀的某個時候，物理學家們偶然發現，魔群以出人意料的方式呈現在宇宙的結構中。

——弗里曼·戴森（Freeman Dyson），1981年

自從1984年以來，弦論在理論物理學中扮演了主要的角色，原因是在其發展初期的短短幾個月內，弦論就被認為有可能在這一個理論框架中，既包含又推廣愛因斯坦廣義相對論和粒子物理標準模型（及其“大統一”推廣）。

盡管弦論和可觀測的物理現象之間的具體聯系，還僅停留在理論的期望中，然而數十年來以弦論來構建的理論大廈，和其他許多物理學分支的交流依然成果豐碩，其中涉及的領域有粒子物理、引力物理、宇宙學、凝聚態物理和核物理。或許最讓人吃驚的是，弦論對現代數學的發展也發揮了重要的影響，如微分幾何、代數幾何、紐結理論、表示論和數論中的一些美妙的發展，都受到了理論物理研究的推動，反之亦然。

本文將集中講述這樣一個故事：“魔群月光”（Monstrous moonshine），以及它的后代們“新月”（new moonshines），是如何衍生出一個極其豐富，卻依然蓋著神秘面紗有待進一步探索的領域的。

“月光”統一了數學的幾個迥然不同的領域，其原本的形式揭示了魔群和Klein 函數的深刻聯系。前者是對稱性基本單元里最激動人心和神秘的一份子，而后者在截然不同的另一數學分支（數論和模形式理論）中扮演了關鍵性的角色。 

然而，為何在七十年代由研究群表示論的理論家們發現的結構，會與一個在十九世紀末期出于完全不同目的而研究的函數產生任何聯系呢？ 

以下，我們要逐一介紹這些故事中的英雄們，然后揭開其中出人意料的關聯：它們都對理解弦論的一個特殊解起到了重要的作用。在達到這一步的過程中，我們會領略現代數學和物理中幾個絕妙的發展，它們將對稱性、數論和統計力學中的想法統一起來。本文的末尾將介紹月光猜想的最新篇章，它會引導我們進入理論物理和數學中引人入勝的未知疆域。

對稱性在我們感知和分析周遭世界的方式中有著舉足輕重的地位。在通常的觀念里，美的標準概念，往往體現為對稱性，從人體的左右對稱，到古代和現代藝術中顯而易見的優美對稱性（圖1）。

圖1. M.C.Escher的畫，深受中世紀出現在Alhambra的伊斯蘭藝術的影響。

在物理學中，對稱性可以用來限制物理定律可能采取的形式。舉一個簡單的例子，我們相信在地球上任何一個實驗室所觀察到的物理定律都應該有同樣的形式。換句話說，當我們把實驗設備從加州的Palo Alto, 通過平移或者轉動，搬到日內瓦的歐洲核子研究中心（CERN），或者北京，基本的自然規律應該不會有任何變化。這一事實在愛因斯坦的狹義相對論中被進一步提煉成為另一條基本原理：物理定律在洛倫茲變換（Lorentz transformations）下保持不變，這里洛倫茲變換就涉及到實驗室之間的相對運動。

在凝聚態物理領域，類似于正多面體所具有的簡單幾何對稱性起到了很重要的作用。舉固體的分類作為例子，了解原子排列方式的晶體對稱性有助于我們推斷材料的某些物理特性。很自然地你會問：我們有沒有可能對所有相關的對稱性加以分類？對于晶體，其對稱性分類在很多年以前就已經完成了，現在已是固體物理教科書中的經典內容。圖2是一個常見的對稱點陣。 

圖2. 三角點陣，一種二維平面材料中經常出現的點陣。

但是，假如我們有興趣想知道其它物理系統當中可能出現的對稱性，如何將這些可能性加以分類？怎樣才能把對稱性的研究變成一個形式化的數學問題呢？ 

讓我們先看一個簡單的例子。一個正三角形有好幾種對稱性。我們可以旋轉120度、240度或者360度，這些操作分別記為、、。我們也可以沿著三條對稱軸之一翻轉這個三角形，這些對稱軸是從三角形的一個頂點到對邊中心的連線，把沿著通過頂點1、2、3的翻轉叫做、、。所有這些群操作的示意圖請見圖3。

圖3. 對正三角形的對稱群中旋轉和反演操作的總結。

更一般地，我們可以把幾個對稱操作結合起來。舉例來說，既然和都是正三角形的對稱性，那么我們可以先把作用在正三角形上，然后再把作用上去，這樣一個復合操作仍然是正三角形的一個對稱性。這種把對稱操作結合起來的運算——注意在一般情況下，執行這些操作的順序是要緊的——給了我們一種在它們之間形式上的“乘法”概念。事實上，數學家認為對稱操作形成了一個“群”（group）的結構，而對稱操作的復合給出了群上的乘法運算規則。除了乘法規則，群還應當滿足其它一些簡單的性質。比如說，對每個對稱操作，都應該能夠找到另一個對稱操作，使得當我們把它們復合起來的時候，得到的結果不僅僅是一個對稱操作，而且要讓作用的對象完全不變。這樣讓作用對象完全不變的操作稱為群的單位元，通常用1表示。因此，對群中的每個元素都存在著一個使得最后，假如我們要執行這個操作，我們可以認為是要先做, 接著做 （記為 ），或者我們可以先做，然后再做（可以記成），兩種操作得到的結果應該完全一致。也就是說，群的乘法是滿足結合律的。 

我們所定義的群的概念，可以允許對稱操作連續地依賴于某些變量。例如，和正三角形的情形完全不同，一個圓的對稱群是連續的。我們可以把一個圓周繞著圓心轉任意角度而不改變圓周的形狀。在這篇文章里，我們不考慮這種元素需要用連續變量來標記的群，并且進一步假設只有有限多個群元素。因為這一條件，它們有一個十分有創意的名字——有限群（finite groups ）。

我們能夠完全分類有限群嗎？這個目標還是太大了些。但是我們至少希望能夠在這個方向上邁出重要的一步。盡管完整分類宇宙當中所有可能的物質形態遠遠超出了我們目前的能力范圍，但是隨著元素周期表的確立，物理學家和化學家們成功地為我們提供了一組基本構件，能夠以各種各樣的方式來組成日常生活中所見的豐富多彩的物質。

粗略來說，構成對稱群的“原子”是那些不能被拆成更小的群的有限群，稱之為有限單群（finite simple groups）。令人驚嘆的是，到20世紀末，數學家們成功地分類了有限單群。為了取得這一成果，上百位數學家付出了艱辛的努力，發表了超過10000頁的期刊文章。有限單群的分類計劃是一項史詩般的工作，有人認為，沒有任何一位數學家能夠完全理解整個證明，盡管數學家們至今仍然在繼續化簡并提煉證明中蘊含的思想。 

不管怎樣，數學家們已經給我們提供了一張可以用來構建對稱群的“周期表”。這張周期表里有無窮多個組件，但是其中大部分在某種意義上都比較無趣：它們出現在包含無窮多個相類似的群的大家族里面。至少在比較直觀的層次上，理解了其中一個基本上就意味著理解了同一系列中的所有群。這樣的無窮多的家族在分類表中總共有18個。

分類表里剩下的都是一些怪胎，沒法被放進那些大家族里。就像高中里的書呆子一樣，它們不得不各自單獨待著。這樣的怪家伙一共有26個，被稱為散在群（sporadic finite groups）。 

這里面個頭最大的，魔群（Monster group），是由Griess和Fisher在上世紀70年代發現的。這是一個巨大無比的群——一共包含了大概個不同的對稱變換。想要通過寫下乘法表，然后檢查乘法的自洽性來證明這個群的存在，這是沒有任何指望的。“魔群”這個名字是John Conway起的，意指它龐大的體積和無與倫比的復雜性。我們在這里不準備詳細描述魔群的構造，但是如果有好奇的讀者想要領略一下這些構造的風味，在本文的最后一節里我們會介紹如何具體實現一個在“新月光”中出現的，相對比較簡單的散在單群，。

大概在1978年的時候，已經有人猜測了魔群的存在，但是完整的證明還沒有找到。可以確定的是，假如這個群真的存在，它不能作為對稱群以任何非平凡的方式在低維空間的對象上作用（當然，它可以“平庸”地作用在任何低維對象上，包括1）。實際上，計算結果表明魔群能夠作用的對象至少得是196883維。更一般地來說，魔群最小的幾個表示的維數——也即魔群能夠有不可約化的作用的空間維數——是1，196883，21296876，…… 

約翰·麥凱（John McKay）是思考魔群的數學家中的一員。1978年的一個夜晚，他決定休息片刻。毫無疑問，思考這樣維度數以萬千（甚至更多）的對稱群是項相當艱苦的工作。

就像我們許多人在放松消遣時所做的一樣，他翻閱了一篇近期關于數論的論文。研讀這篇論文的時候，他遇到了在數論中具有重要地位的Klein 函數，這一函數由如下的無窮級數展開表示（省略了常數項）：

此時他的思緒還沒有完全跳離魔群，他立刻意識到

。

也就是說， 函數級數展開式中第一個不平凡的系數，竟然和魔群的第一個非平凡表示的維數驚人地接近！

隨后，他和約翰·湯普森（John Thompson，菲爾茲獎得主，群論專家）意識到，這個“巧合”竟還延續到函數的高階展開系數，例如

。

從這些對數字的樸素觀察中，“魔群月光”領域誕生了，其目標正是揭開和解釋最大的散在單群（sporadic simple symmetry groups）與模函數（modular functions）理論（研究函數及其“同類”）之間玄妙的聯系。

讓我們暫停片刻，先來了解一下模函數指的是什么。考慮一個復變量的函數，它在如下兩種變量替換（下文中稱它們為變換和變換）下函數值均不變：

即

定義，如果某個函數可以用和來展開（譯者注：為的復共軛），那么很顯然：在做類型的變量替換時，函數值不變。全純函數（holomorphic functions）是只依賴于的函數（與無關）。如果一個全純函數在上述和兩種變換下均不變，那么就稱為模函數。 

對函數做和這兩個變換看似怪異且缺乏動機，然而在了解如下背景后，我們會發現引入它們變得順理成章：環面（亦可看做“甜甜圈”）可以用復平面上的二維點陣來定義（圖4）。如果上半復平面中由或者相聯系的點都被看作同一個點，那么我們就得到了一個“甜甜圈”，其形狀僅由來決定（譯者注：讀者不妨想象將圖4中平行四邊形的對邊兩兩粘起來）。

 
圖4. 由矢量1和τ構成的點陣的基本域。將平行四邊形的對邊看作是相同的一邊就得到環面。

然而，幾何學告訴我們，不相同的值并不總是給出不等價的環面。如果兩個環面所對應的可以由、兩種變換以及它們的組合相聯系，那么兩個環面實際上是完全等價的，因為它們的形狀一模一樣。另一方面，調節可以改變環面的形狀：同樣大小的環面，看作一個甜甜圈的話，可以有相對“胖”或者“瘦”的環柄（圖5）。

圖5. 改變參數會改變環面的形狀，使得兩個圓圈的相對周長變化，但總的體積保持不變。

同樣的、變換出現在環面和模函數兩個看似不同的問題中絕非偶然。模函數正好是從所有可能的環面映射到復數的全純函數，而函數是這類模函數中最簡單的一個，它對的級數展開形式，提供了“魔群月光”令人嘖嘖稱奇的第一個暗示。事實上，函數最重要的作用（也是它最初被引入的原因）是，對于一些定義了環面的多變量多項式方程，相對應的環面的很容易通過這些方程來計算。由于函數將不等價的一一映射到復數上，這就給出了一個分類/區分不等價環面的簡單方法。

現在，讓我們繞道進入弦論。聽說過哪怕一點點弦論的人都知道，弦論假定，粒子物理中世界線沿時空方向傳播的點狀粒子都是弦形成的微小的圈。在弦論的框架里，點狀粒子的世界線變成了閉弦的世界面（如圖6所示）。

圖6. 點狀粒子傳播的圖形表示（在費曼圖中的一個頂點分裂開來），在弦論中被“增厚”成弦的傳播和分裂。

弦的張力非常巨大，達到了普朗克尺度（10的19次方GeV量級），是粒子物理中能討論的最高能量尺度。這導致了在弦上傳播的波（弦的“激發態”）有非常大的激發能（譯者注：對應的波動激發質量非常大），而通常的粒子則可以看成（稍微擾動過的）零能量激發。然而，和粒子物理理論中一樣，弦論中最基本的一個問題同樣是：對一個給定的質量，到底存在多少種粒子？

大二物理專業的學生會在統計力學的課程中學到如何計算配分函數（partition function），它度量了在給定的能量下物理態的數目：

其中，n遍歷所有的物理態，是溫度的倒數，（為玻爾茲曼常數）。

費曼路徑積分是理解配分函數的好辦法。我們可以把配分函數Z看成粒子在周期性的虛時間（periodic imaginary time）下，以為虛時運動周期的路徑積分

 。

其中不尋常的負號來源于到虛時的延拓（continuation）。虛時的周期性，也即粒子的初態和末態相同，實際上相當于對粒子所有允許的態求跡（trace），從而得到配分函數。 

我們可以設想以類似的方式來計算弦論的配分函數。虛時路徑積分需要換成如下的路徑積分，在每個虛時時刻空間中都有一個由弦形成的圓。然后，滿足周期邊界的圓圈可以當作一個環面。環面參數替代了配分函數Z中的，于是配分函數可寫作

其中我們定義了，以強調其與通常統計力學的相似性，對應該弦論中在能量處態的數目（能量均用弦張力的平方根，即弦的能標作為能量單位）。

由此我們可以引申出一個更重要的結論：根據前面的分析，相同的環面可以對應到不同的參數，它們之間由和變換互相關聯。因此，定義良好的弦配分函數必須滿足

也就是說，在給定能量下弦的物理態數目的函數是模函數。 

1984年，Frenkel、Lepowski和Meurman極富洞察力地意識到，有一個非常簡單的弦論，其配分函數正好是Klein 函數。回想一下，McKay的魔群猜想正是受到了函數級數展開的啟發。現在，這個弦論描述了存在于26維時空，最為簡單的玻色弦在24維環面上的緊致化。直接推廣之前用在二維環面的辦法，維的環面也可以用維點陣來描述。與我們當前目的密切相關的不是任意環面，而是一個基于Leech點陣的環面。

Leech點陣是個非常奇妙的數學對象，但是出于一個完全不同的原因：它給出了24維空間中單位球堆積問題的最優解（圖7）。通俗地說，如果想在一個24維的堆滿橙子的雜貨鋪里堆盡可能多的橙子，那么按照Leech點陣的格點來堆是最理想的方式。Frenkel、Lepowski和Meurman的工作表明，當弦在Leech點陣（更嚴格地說，是Leech點陣一個簡單的商空間）上傳播時，弦的配分函數作為能量的函數正好是Klein 函數

。

圖7. 一個藝術家所描繪的球堆積。基于Leech點陣的堆積是24維空間中最致密的堆積方式。

他們的洞察力還不止于此。Leech點陣跟散在單群之間的密切聯系早已建立——事實上，John Conway正是在揭示這個點陣對稱性的結構之時獲得了啟發，發現了以他命名的單群。Frenkel、Lepowski和Meurman注意到，他們考慮的弦論不僅繼承了Conway群的對稱性，實際上還超越了Conway群，魔群M在這個弦論之中有（雖然微妙，但是可以明確定義的）對稱作用。

在物理學中，當一個理論具有某個群的對稱性時，物理態也必須組成該對稱群的表示。于是，在給定的能量下，物理態對應的能譜也就很自然地可以分解成該對稱群表示的維數。函數的傅里葉系數

則正好反映了上述一般規則，對應于有魔群對稱性的物理體系。  

上世紀九十年代初，理查·博切茲（Richard Borcherds）發展了從Frenkel-Lepowsky-Meurman的直覺一直到魔群月光猜想的最終證明所需的全部數學工具（為使得本文簡單起見，這里我并不打算對證明本身進行更深入的討論）。這個領域發展的高潮是魔群月光猜想的證明，博切茲也因其在模形式、無窮維代數以及魔群之間聯系的杰出貢獻而獲得1998年菲爾茲獎。

我們已經介紹了到2010年為止這一領域的狀況。此時物理學家們的熱情已經有些冷卻，因為雖然月光涉及的對象和想法是如此深刻和令人驚異，但緊致化到二維空間的玻色弦的物理意義，說得客氣一點是值得商榷的。10維空間（而不是26維）中的超弦理論吸引了更多的注意力。超弦的很多特性在物理上和數學上都比玻色弦看起來更加美妙。（超）弦理論在接下去這些年間有很多進展，包括了像弦論對偶、全息原理，以及很多其它重要的思想，由于Leech格點在其中并沒有起到重要的作用，理論物理學界在魔群月光這一領域沒有太多的發展。

然后在2010年，江口徹（Tohru Eguchi）、大栗博司（Hirosi Ooguri）和立川祐二（Yuji Tachikawa）發表了一篇短文。他們在數字上的洞見強烈地提示了魔群月光的某個變種，極有可能出現在最常見的玩具模型之一——緊致化于K3曲面上的超弦——當中。關于這一模型，過去的數十年間弦論學家們已經發表了數以百計的論文。 

K3曲面是弦論學家著力研究的一大類空間中最為簡單，同時又不平凡的例子。研究這類空間的目的，是為了從10維時空出發構建更加貼近真實的物理模型。其中的想法大致如下：為了得到我們感興趣的四維時空中的場論或者引力理論，可以把10維空間中的其它6個維度，在愛因斯坦場方程的某個保持部分超對稱的解當中卷曲起來。場方程實現這一條件的真空解即是所謂的六維卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形。它們必須滿足一些相當苛刻的幾何條件。K3曲面正是這種流形在四維的表親，并且在某些方面更為簡單，但仍然是如假包換的卡拉比-丘流形。

正是因為K3復雜度適中——具有一部分卡拉比-丘流形在四維的緊致化所需要的特性，但不是全部——弦論學家投入了大量精力來理解K3上的緊致化。K3緊致化造出了一個六維的世界，其中有數種類似于真實宇宙中電磁力的相互作用；所以這個世界中的粒子可以攜帶一系列的電荷。江口、大栗和立川發現，假如我們不去計算弦論在K3上的配分函數，取而代之以一種更為粗略的（但仍然滿足模條件），只計入帶這些電荷的嚴格穩定態的計數函數，那么我們會再一次發現展開的系數和一個簡單的散在群的表示之間有著極為深刻的聯系。這次他們猜測的群是19世紀Mathieu發現的M₂₄，階數是244823040。

我們已經好幾次提到了散在單群，也許看一看其中一個成員M₂₄的構造會有些趣味。實際上，M₂₄可以看成是保持某一種二進制碼不變的群。更具體來說，首先定義如下集合G:

· G的成員是由24個比特（0或1）組成的序列。

·  兩個序列的交疊定義為序列中比特一樣的位置的數目。一個序列屬于G當且僅當它和G中所有其它序列的交疊為偶數。

·   序列中1的數目必須是4的倍數，但不能是4。

M₂₄是所有保持G不變的24個比特的排列（譯者注：即對G中所有序列同時重新排列比特的順序，得到的新的集合和G相同）形成的群。 

Eguchi-Ooguri-Tachikawa的發現立刻掀起了一波研究熱潮，一方面是要更深入地理解K3曲面、M₂₄群和Eguchi-Ooguri-Tachikawa所描述的特定模形式之間聯系的本質，另一方面則是要尋找其它的“新月光”。和魔群月光猜想的故事相比，這些新的對象——卡拉比-丘流形和 函數的近親，所謂的“擬模形式”（mock modular form）——成為了故事的主角。完整地解釋這些新發現中的物理和數學要等到以后對它們有更多理解的時候，那將會是我們下一篇文章的內容了。