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作者：張天蓉 弦理論中的“對偶性”（duality）被認為是弦論研究的最重要發現，它指的是兩個看似毫無關系的幾何對象（或理論模型）卻擁有相同的物理。在當今弦論尚處于研究發展、尚未被廣泛認可的階段，弦論學家們清楚地意識到，即使將來弦論被證明是錯的，弦論中許多與數學及科學哲學相關的內容仍然會被留下來，而 “對偶性”必定是被留下來的理論精華之一。 理解物質世界的方法論既是一個哲學問題也是一個物理學的問題。弦論的對偶關系將看似完全不同的理論聯結起來得到相同的物理學，這意味著宇宙大舞臺中的、不同于傳統粒子的“演員”也能產生相同的散射振幅以及其它可觀測物理量。 傳統物理學把物質世界歸結為點粒子，弦論則是歸結為弦。按照傳統的經典物理學，點粒子或標準模型中的基本粒子，其特性用質量、電荷、色荷，自旋等物理量來描述，但點粒子沒有大小可言，也不可能解釋它們為什么有那些屬性，若追根到底要解釋的話，只能說是基本粒子的內稟屬性。這“內稟”二字好像是將我們遠遠地擋在了粒子的內部之外，也就是粒子模型描述的“點”沒有“內部”可言。既然無法言及內部結構，當然也解釋不了描述點粒子的物理量從何而來，比如電子為什么會代有電荷？把它們歸結為內稟就是與生具有，永恒不變的，娘胎里帶來的“性質”，自然也不需要解釋！ 弦論有所不同，弦論學家認為弦是比點粒子模型更深一層的還原論，他們把解釋原來的點粒子內稟屬性當作己任之一。盡管目標尚未達到，但畢竟是一個美妙的目標和愿望。例如，基本粒子為什么有著各不相同的質量m，按照愛因斯坦相對論中的質能關系，質量m對應內部能量E。弦論則是通過描述弦的屬性來得到其內部的能量屬性。 圖35-1：開弦和閉弦 弦可以是閉的，也可以是開的。閉弦是一個圈，開弦是一根有兩個端點的線（見圖35-1）。無論開弦閉弦，都可以規定一定的方向。不過，弦論不止一種，有的弦論用不同方向的弦代表不同的“荷”；也有的認為開弦的端點可以視為帶荷的粒子：例如，一端可以是帶負荷的電子，另一端可以是帶相反電荷的正電子。第二次弦論革命后，理論物理學家威滕提出M理論，他用對偶性將5種不同的弦論統一在一個共同的10維（9維空間+1維時間）的框架里。 所有的弦論都包括閉弦。一般認為：只有閉弦的振動才產生引力子，開弦產生其它粒子。開弦或閉弦在10維時空中的運動，可以分解為其質心的運動及弦本身繞質心之振動兩部分。由此看來，弦繞質心之振動是我們更感興趣和必須關注的。 假設一根“弦”的長度為L，質量為m（圖35-1中右邊所示），它是由N個部分即由N-1個彈簧鏈接起來的長度為L的一串，或者說弦類似于一個有彈性的、長為L的橡皮繩（圈）。繩子的每一小部分如同一個諧振子，小振子的振動用相對位置變量σ 和時間變量 t 描述。對于開弦而言，σ 的變化范圍從0到 p ；而對于閉弦來說，范圍從0到2p（如圖35-1右圖所示）。 弦論學家認為，弦的質量m便來源于所有這些小振子的振動能量。于是，總能量E（或質量）就與弦的長度L有關，或者說與橡皮繩或某種材料的彈性系數（張力）有關。盡管弦長L應該是一個很小的數值，屬于普朗克尺度范圍，但這并不妨礙建立弦理論模型。 根據弦論定義的弦概念，一定長度的弦應該有一個最小質量，即所有諧振子都處于基態時的能量和。人們驚奇地發現，為了保證光子的零靜止質量，弦論只能容許空間是一定的維度！最早的玻色弦論，空間維度只能是25；后來的超弦論，空間維度則只能是9。所謂的10維時空的弦論就是通過計算所得到的。 從圖35-1對閉弦的描述方式來看，T對偶又可以稱作“靶空間”對偶，它是關于不同空間之間的對偶。弦論將時空分成了普通3維空間x和額外維卷曲空間y，并將環面緊致部分用y方向的圓圈R表示。所有通常將弦論的9維宇宙簡單畫地成一個如同下圖所示的花園中的水管。 圖35-2：未繞圈閉弦和繞圈的閉弦 從卷曲空間的角度看，閉弦有兩種不同形態：纏繞數w為0，或w不為0（見圖35-2a和b）。當閉弦不纏繞額外維空間時，其質心作自由運動，如同花園里一個小飛蟲，它可以在水管方向運動或繞水管運動，或者在兩個方向之間運動。因此，其動量p可以是朝向3維空間方向，也可能是額外維方向，或者是兩者之組合（圖35-2a）。由于額外維度半徑R小而卷曲，py是量子化的：即該閉弦在y方向的能量應該是 Ey ～ n/R（“～”表示二者存在著量化關系，下同）。有意思的現象發生于閉弦纏繞額外空間維y時（圖35-2b），這時候多了一個整數 w，代表閉弦在R空間所纏繞的圈數。 纏繞閉弦除了在R方向（y）具有能量Ey ～ n/R之外，在x方向可以作整體滑動，這部分能量的最小值正比于弦的長度 L，弦越長，最小能量越大，所包含的“東西”更多。由于圓周長正比于半徑，所以纏繞弦的極小質量正比于繞數與半徑R的乘積：Ex ～ wR。 因此，纏繞的閉弦總能量來源于Ex 和Ey兩套不同的能譜。粗略而言，前者以R為能級間隔，后者以1/R為能級間隔。R增大，Ex的能級間隔增大，但Ey的能級間隔減小；R減小時，情況則反過來。 圖35-3：纏繞閉弦的總能譜 然而，物理測量方法并不能判別實驗所得數據來自于哪套能譜，而只能通過測量散射振幅來得到總譜中各個能級之間的躍遷情況。如圖35-3所示，總能量譜等于兩套能量譜加到一起的結果。換言之，如果有兩個不同的弦論系統，如果一個被認定是卷曲維的尺寸比較小：R1=a，那么另一個卷曲維的尺寸為R2=1/a便會比較大（見圖35-4）。但是，這兩個幾何不同的系統的總能量譜卻是一樣的！因此，它們將表現出完全相同的物理性質。這就是所謂的“閉弦理論中的T對偶性”。 圖35-4：閉弦的兩個T對偶系統 T對偶顯示的物理非常奇怪。因為R是以普朗克長度lp為單位，所以R=1=1/R意味著額外維的大小是 lp。由于兩個T對偶系統是一樣的，假如二者分別為R=10，1/R=0.1，這兩個系統的物理性質也是一樣的。于是，弦論得出一個非常令人驚訝的結論：不論卷曲世界是“粗”還是“細”，它們的物理規律是等效的。 圖35-4是T對偶的最簡單情形，很容易推廣到6維平坦環面，也就是圓的乘積，只需要將R用多個Ri代替即可。六維的Ri環面與六維的1/Ri環面，幾何尺寸完全不同，其物理屬性是無法區分的。卡拉比-丘流形（link）被認為是6維額外卷曲空間最符合實際的理論模型。Philip Candelas等人在上世紀90年代發現了卡拉比-丘流形中的“鏡像對稱”流形，并將其用于枚舉幾何，計算卡丘流形上有理曲線的數目，從而啟發數學家解決了一些長期的難題（link）。 弦論學者們已經證明：卡拉比-丘流形的鏡對稱就是T對偶性。當然，卡拉比-丘流形的鏡像對稱并不是通常意義下所說的“鏡中之像”那種反演對稱，而是指卡拉比-丘流形之間的一種特殊關系。這是一種很奇怪的“鏡對稱”：互為“鏡伴”的兩個流形雖然在幾何上差別很大，拓撲形態也很不同，然而它們遵循T對偶性，在物理上卻是不可區別的，意思就是說物理規律是一樣的。 之后，丘成桐等三位數學家發表的SYZ論文，為“鏡對稱”提供了一個比較簡單直觀的幾何圖像。他們認為，卡拉比-丘流形基本上可以分成兩個三維的部分，彼此以類似笛卡兒乘積的方式糾纏在一起。其中一個空間是三維環面，如果你將這個空間分離出來，并將它“倒轉”后（將半徑r變成半徑1/r）再重組回去，就可以得到原來卡拉比-丘流形的鏡流形。 將額外維的半徑從R變成1/R，在物理上卻沒有區別，乍一聽視乎不可理解。讀者可能會問：這個額外維世界到底是多大？是R還是1/R？它是客觀真實存在的嗎？難道就沒有一個辦法準確地測量它？在“傳統”幾何學中，半徑為R的圓與半徑為1/R的圓是絕對不同大小的兩個幾何實體，在廣義相對論的彎曲空間中，它們也應該是對應于兩個物理規律不同的世界。然而在弦論中，它們卻奇怪地互為對偶，反映同樣的物理規律，這難道不令人困惑嗎？ 弦論專家并未因困惑而止步，反倒是認為這正表現了“弦”模型相對于“點”模型的魅力所在。在弦論看來，因為R所用的單位是普朗克長度lp，大約等于1.6162×10-35米。如果R=100，大約是10-33米數量級的話，另外一個對偶的R=0.01的小宇宙比普朗克長度還要小兩個數量級。正是因為這種尺度，粒子物理的“點”模型碰到了難以克服的困難：廣義相對論與量子力學之間顯露出了矛盾，連續光滑的黎曼幾何不能使用，廣義相對論對時空中的小尺度量子漲落無能為力。 “點粒子”模型無法言及粒子半徑也是一個短板，它只能認為粒子的幾何尺度為0。這意味著可以用點粒子作為探針來分解和測量任意小的空間，但實際上這是不可能做到的，因為要受量子力學不確定性原理的限制，所以點模型在理論上就不能自圓其說。 弦論就聰明多了。弦不是一個點，而是一段具有伸展性的“弦”，它具有與普朗克尺度可比較的長度。弦作為最基本的元素，也能當探針使用。但是，對不起，它只能測量比它大的東西，普朗克長度以下的空間結構性質，弦是探測不到的，也很難去測量那么小的長度。所以，弦的延伸本性使我們不可能在弦論中探測普朗克長度以下的現象，諸如普朗克尺度下的什么“量子漲落”、黎曼幾何災難，都只能視而不見，探測不了。然而，按照量子物理的觀念，只有可以探尋和測量的事物才是存在，而按弦論，普朗克長度以下的現象可以說是不存在的。要了解半徑小于普朗克長度以下的空間，弦論有一個美妙的T對偶性，我們探索半徑大于普朗克長度的空間就等于探索了更小的空間。 |
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