導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用·易混易錯(cuò)4點(diǎn)

指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的求導(dǎo)公式是不同的,分別是()'=·ln a,()'=n·,解題時(shí)應(yīng)看清函數(shù)的形式,再求導(dǎo).另外,也要區(qū)分一些常見函數(shù)的求導(dǎo)公式,如()'=,(ln x)'=.

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導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ),必須牢記 .另外,要學(xué)會(huì)逆用運(yùn)算法則.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算有很多變形技巧,稍有疏忽就會(huì)出錯(cuò).對(duì)有些函數(shù)而言,將它們的解析式化簡(jiǎn)后再求導(dǎo)會(huì)極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算,而有些函數(shù),必須先將它們的解析式變形后才能求其導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)時(shí)要先觀察解析式的特征,盡可能將其化為基本初等函數(shù)求導(dǎo).一般來說,分式函數(shù)的求導(dǎo),要先觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看是否可以化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù);三角函數(shù)的求導(dǎo),先進(jìn)行化簡(jiǎn)再求導(dǎo).

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線斜率時(shí),一定要檢驗(yàn)已知點(diǎn)是否是曲線上的點(diǎn),如【典例8】中,雖然點(diǎn)P的坐標(biāo)是確定的,但該點(diǎn)不是切點(diǎn),因?yàn)?/span>t>0,f(1)=1+t≠0,并且函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線只有一條,而【典例8】中“過點(diǎn)P作曲線的兩條切線”,所以點(diǎn)P不是切點(diǎn).

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導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x₀,f(x₀))處的切線的斜率.關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的常見題型主要有以下三種:

一是已知曲線切線的切點(diǎn)坐標(biāo),求切線方程.

這類題通常已知切點(diǎn)的坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)),可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求出切線的斜率.即先求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)f '(x₀),再得切線方程y-f(x₀)=f '(x₀)(x-x₀).

二是已知曲線外一定點(diǎn),求經(jīng)過該點(diǎn)的切線方程.

此時(shí)要注意“過點(diǎn)A的切線”與“點(diǎn)A處的切線”是不同的.如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn),則在求解時(shí)應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)為(x₀,y₀),再根據(jù)條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線斜率,最后確定切線方程.

三是已知曲線的切線方程(或斜率),求切點(diǎn)坐標(biāo).

由于曲線斜率為某一定值的切線不一定唯一,利用已知直線的斜率求出的切點(diǎn)未必滿足已知切線方程,因此應(yīng)注意將所求切點(diǎn)代入直線(或曲線)方程進(jìn)行檢驗(yàn).

【典例9】第(2)問中,根據(jù)題設(shè)條件,知對(duì)于區(qū)間[,m-1]有m-1>,再結(jié)合二次函數(shù)y=(2x-1)(x-1)的圖像與性質(zhì),得出導(dǎo)函數(shù)h'(x)在區(qū)間[,m-1]上不大于零,或區(qū)間[,m-1]是使導(dǎo)函數(shù)h'(x)不大于零的集合的子集,對(duì)這個(gè)結(jié)論要弄清楚,不要混淆.

研究函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系時(shí),考生要注意以下細(xì)節(jié)問題:f '(x)<>x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減的充分不必要條件.實(shí)際上,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上為單調(diào)遞增(減)函數(shù)的充要條件為:對(duì)于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.

已知函數(shù)的極值求參數(shù)時(shí),通常利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的極值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程,但所求得的參數(shù)值必須進(jìn)行檢驗(yàn).

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函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系

(1)在區(qū)間(a,b)上,若f '(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增;若f '(x)<>則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減;若f '(x)=0恒成立,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為常函數(shù);若f '(x)的符號(hào)不確定,則f(x)不是單調(diào)函數(shù).(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則  其逆命題不成立，因?yàn)?/span>f '(x)≥0包括f '(x)>0或f '(x)=0,當(dāng)f '(x)>0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,當(dāng)f '(x)=0時(shí),f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常函數(shù);同理,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,則f '(x)≤0,其逆命題不成立.(3)使f '(x)=0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性.

考生應(yīng)該注意區(qū)分極值與最值的概念.函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的情況,是在局部對(duì)函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況,是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.函數(shù)的極值不一定是最值,最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn).

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函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)之間的關(guān)系

f '(x₀)=0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x₀處取得極值的必要不充分條件,從以下三個(gè)方面理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系:(1)定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x₀處取得極值的充要條件是 f '(x₀)=0,并且 f '(x)在x₀兩側(cè)異號(hào),若“左負(fù)右正”則x₀為極小值點(diǎn),若“左正右負(fù)”則x₀為極大值點(diǎn);(2)函數(shù)f(x)在x₀處取得極值時(shí),它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,例如函數(shù)y=|x|,結(jié)合圖像,知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在;(3)f '(x₀)=0既不是函數(shù)f(x)在x=x₀處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后提醒考生一定要注意對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn).