哥德巴赫猜想的本意及答案

哥德巴赫猜想的本意及答案

首先申明：以下內容歡迎大家反駁，理不辯不明；實踐是檢驗真理的唯一標準，請大家用事實說話。

德國數學家哥德巴赫，根據部分偶數能夠表示為兩個奇素數之和的實踐，提出了猜想：不小于6的偶數可以表示為兩個奇素數之和。必須明確的是：哥德巴赫提出該猜想時，并沒有什么附加條件，是后來人為的附加條件，造就了該題成為了世界著名數學難題。

題的本意：

1，不小于6的偶數，是指大于4的所有偶數，而不是斷章取義的“充分大”，“充分大”只是大于4的所有偶數中微不足道的一部分。

2，“可以”是指能夠、都能的意思，即，都必然能夠的意思，重點是必須突出這個“都必然能夠”，大于4的偶數缺一不可。

3，兩個奇素數之和，是指兩個奇素數相加。

綜合起來就是：大于4的所有偶數，都必然能表示為兩個奇素數之和，無一缺漏。

在說解題思路及答案之前，必須再說明一個問題，本題涉及兩類數：偶數和奇素數。奇素數是準確無誤的，來不得半點虛假的精準數。而數學中的對數，是研究乘法、除法、乘方、開方的近似的、簡化運算。微積分：微分學的核心思想便是以直代曲，即在微小的鄰域內，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程，微分學的核心思想便是以直代曲，即在微小的鄰域內，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程，積分是微分的逆運算。

請大家注意這里的“近似計算”和“簡化計算過程”幾個字，不論是對數，還是微積分都不可能準確地計算出任何一個素數，所以，何必要生搬硬套地“必須使用高等數學”呢？

科學是從實踐中來，再到實踐中去，從感性認識到理性認識的過程。

其實，哥德巴赫猜想有兩種破解方法，殘忍篩法和比例篩法。殘忍篩法說明它必然成立，比例篩法與實際相接近，推理符合客觀規律，三個不同的側面才能看清問題的真相。

一、殘忍篩法

（一）、實踐

例：偶數84的素數對，84=5+79=11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=41+43。

這里的：11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=41+43中的任何一個加數與偶數84的關系是什么？

答案是：令小于偶數84平方根的素數為小素數，則84的小素數為：2，3，5，7。令任意一個小素數為X，令這6個素數對為A+B，則，A/X不余0，（如果為0則為含素數X的合數或X本身）；令偶數84為M，則A/X與M/X的余數不相同，（如果相同，那么，B必然被X整除，B必然是含X的合數或X本身），這就是偶數的素數對定理。該定理不包括由小素數組成的素數對。

（二）、思考

如果，哥德巴赫猜想成立，那么，必然有符合該定理的數存在。

我們同樣以小素數2，3，5，7為例，因，這里的小素數中最大的小素數為7，而7*7=49，僅大于7的素數為11，11*11=121，即，當偶數為50到120時，它們的小素數都是2，3，5，7；這些偶數都包括大于7，小于50這個范圍的素數，那么，在這個范圍之內是否存在符合偶數素數對定理的數呢？

說明：

1，這里把偶數的具體范圍縮小了；

2，這里把偶數實際素數對范圍縮小了（不包括由它的小素數組成的素數對）；

即，令小素數為2，3，5，7，…，R，令僅大于R的小素數為E，我們把哥德巴赫猜想變為：如果，哥德巴赫猜想成立，那么，當偶數存在于R*R到E*E之內時，在大于R，小于R*R之內必然有符合偶數素數對定理的數存在。

開個小玩笑：因為，沒有小于偶數2和4平方根的小素數，所以，它們沒有奇素數對。

繼續思考，一方面偶數50到120有36個偶數，我們把它們一一利用素數對定理進行檢驗嗎？煩瑣；另一方面不小于6的偶數，是指大于4的所有偶數，我們不能遺漏任何一個偶數。

那么，我們就站在所有偶數的角度，相當于把實體偶數50到120變為了所有，也就是每次都在大于R，小于R*R之內，檢測不與所有偶數中的任意一個偶數除以小素數（2，3，5，7，…，R）的余數一一對應的素數是否存在，這樣才沒有遺漏，才能服人。你也可能會問：

1，所有偶數包括偶數2和4，它們是沒有奇素數對的。實際上，按上面的兩個縮小，這里不只偶數2和4，我們的范圍是大于R，小于R*R之內的素數，這些素數還不可能組成小于R+R的偶數的素數對？那么，這些偶數也屬于所有偶數的組成部分，針對這些偶數又說明了什么呢？由此，另一個猜想自然會出來認領的。

2，所有偶數無窮無盡，怎么辦？答：所有偶數是無窮無盡，但是，它們除以小素數的余數組合是有限的。如，所有偶數除以小素數2，3，5，7的余數組合，只有3*5*7=105個，那么，我們就站在所有偶數的角度來尋找不與偶數余數相同的最低剩余素數，不與其它偶數余數相同的素數個數，必然大于或等于最低偶數的剩余素數個數。

（三）、推理及實踐

素數的定義：只能被1和自身數整除的整數叫素數。（自然數1不是素數）。

合數：能被1和自身數以外的整數整除的整數，叫合數。

能被1和自身數以外的整數整除的數，它必然能被小于或等于它根號以下的一個或多個素數整除，反過來，當一個大于3的任意整數，如果，它不能被小于它根號以下的所有素數整除時，它就是素數。

那么，當小素數為2，3，5，7，…，R時，令僅大于R的素數為E，那么，大于R，小于E*E之間的整數中，不能被2，3，5，7，…，R整除的，就是素數。當然，它包括大于R，小于R*R之間。

按偶數的素數對定理：令偶數為M，在偶數內的任意整數A，（1≠A≠M-1），當A除以小于根號M的所有素數的余數，既不為0；也不與M除以小于根號M的所有素數的余數一一對應相同時，A必然組成偶數M的素數對。

即，在大于7，小于49之內不能被2，3，5，7整除的數為素數：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。

不與偶數除以小素數的余數相同，因，偶數除以2都余0，大于2的素數除以2都余1，即，小素數2不再參與對這些素數的刪除。結論：當偶數能被任意小素數X整除時，因大于X的所有素數都是不能被X整除的，所以，素數X不能刪除與偶數除以X余數相同的素數。

我們在這里令偶數不能被它的所有小素數中的奇素數整除，這符合情理，并且在R*R到E*E中能夠尋找到這樣的偶數，這叫實體偶數尋找；我們再令偶數不僅不能被小素數中的奇素數整除，而且，小素數中的每一個奇素數都刪除除以它余數最多的素數，這叫殘忍刪除法，這種偶數在大于68之后，在R*R到E*E中一般不能夠尋找到這樣的偶數，這也就相當于站在所有偶數的余數中尋找最低剩余素數。

大于7，小于49之內的素數除以3余1的有：13，19，31，37，43；余2的有11，17，23，29，41，47。令偶數除以3余2，刪除6個剩余5個。

這5個素數除以5余3的有兩個，其它余數只有1個，令偶數除以5余3，刪除后剩余3個素數。

這3個素數除以7的余數，各不相同，不論令偶數除以7余幾，都必然剩余2個素數。

這里表明：

1，在大于7，小于49之內的素數中，不與所有偶數中任意一個偶數除以小素數2，3，5，7余數相同的最低剩余素數不低于2個。

2，當偶數為50到120之內的任意一個偶數時，在大于7，小于49之內的素數中能夠組成這些偶數素數對的素數不低于2個。

3，當偶數為小于11+11，即，小于22時，在大于7，小于49之內的素數中相差這些偶數的素數組不低于2組（該結論，當小素數中最大的小素數大于或等于5時成立）。如，偶數8，在這里有37-29=8，有31-23=8，19-11=8.有3組，符合不低于2組的說法。

因，8/2余0，8/3余2，8/5余3，8/7余1；而37/2余1，37/3余1，37/5余2，37/7余2，

由此得，二數差定理：當B大于小素數中最大的小素數，B大于偶數W時，B除以所有小素數的余數，既不為0，也不與偶數W除以所有小素數的余數一一對應相同時，B-W必然不能被所有小素數整除，當差大于最大的小素數時，該差必然是素數。

說到這里，大家不難想到：當最低剩余素數一直存在時，哥德巴赫猜想成立；當最低剩余素數穩定增加時，孿生素數猜想也成立。這里所說的孿生素數猜想，是將相差2的素數組永遠存在，擴大到相差任意偶數的素數組都存在，并且永遠存在。

經實踐得出：我們以小素數2，3，5，7，…，R和小素數為2，3，5，7，…，R′比較，當R′-R≤2時，最低剩余素數處于穩定狀態，不減少；當R′-R>2時，最低剩余素數必然增長，結論：哥德巴赫猜想和孿生素數猜想同時成立。

二、比例篩法

為了與計算式同步，所以，我這里所說的“哥德巴赫猜想”與實際“猜想”有點區別，實際猜想包括小素數組成的素數對，我這里不包括。小素數就是偶數平方根以下的所有素數。如，偶數68=7+61=31+37，按猜想為2個素數對，我這里稱它為1個素數對：31+37。因7<√68，7為偶數68的小素數，所以，這里不包括。

1，篩法

不進行實際操作，我們就不會明白猜想為什么成立，我們一起來篩選偶數204的素數對，保證讓大家明白猜想成立的道理。

2個數相加等于偶數的組合這里稱為數對：204/2=102個數對。

因√204≈14，即，102個數對中存在由2，3，5，7，11，13，這些素因子組成的合數形成的數對，我們把它們進行篩出后，剩余的就是素數對了。

①，刪除含素因子2的合數組成的數對：因偶數204/2=102，即，用2乘以1到102的得數，都能被2整除，我們都把它們視為含素因子2的合數，共102/2=51個數對，剩余51個數對；刪除數對的計算式為：102*1/2=51對。即，當素因子N，能夠整除偶數時，素因子N刪除偶數數對的1/N，剩余數對的（N-1）/N。

②，刪除含素因子3的合數組成的數對：因偶數204/3=68，素因子2刪除能被2整除的數后，68內剩余的數為奇數共68/2=34個奇數，因偶數204能被3整除，即能被3整除的數是對稱組合的，34個數組成34/2=17個數對，刪除后還剩余51-17=34個數對；刪除數對的計算式為51/3=17對，同理：當素因子N，能夠整除偶數時，素因子N刪除偶數數對的1/N，剩余數對的（N-1）/N。

③，刪除含素因子5的合數組成的數對：因偶數204/5≈40（不能整除），在40之內，素因子2和3刪除后的剩余數為：1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，我們把素數乘以這13個數都視為合數（1*5不屬于，也刪除。下同），刪除13個數對，還剩余21對；計算式為34*2/5=13.6對，實際刪除略小于計算數。當素因子N，不能夠整除偶數時，素因子N刪除偶數數對的2/N，剩余數對的（N-2）/N，下同。

④，刪除含素因子7的合數組成的數對：因偶數204/7≈29（不能整除），在29之內不能被素數2，3，5整除的：1，11，13，19，23，29分別乘以7共刪除6個數對，其實，在29之內不能被素數2，3，5整除的數還有7和17，它們乘以7尾數為9，因偶數204-尾數9，其對稱數已被5刪除。按計算式為21*2/7=6對，刪除數與計算數相符。還剩余21-6=15對；

⑤，刪除含素因子11的合數組成的數對：因偶數204/11≈18（不能整除），在18之內不能被素數2，3，5，7整除的：1，11，13，17分別乘以11共刪除4對。按計算式為15*2/11≈2.7，實際刪除4對，還剩余15-4=11對；

⑥，刪除含素因子13的合數組成的數對：因偶數204/13≈15（不能整除），在15之內不能被素數2，3，5，7，11整除的：1，用1*13，刪除1個數對，其實，在15之內不能被素數2，3，5，7，11整除的數，還有13，因13*13=169尾數為9，因偶數204-尾數9，其對稱數已被5刪除。按計算為11*2/13=1.69對，刪除數略小于計算數，當偶數較大時，后面刪除的數對都略小于計算數，這就是實際剩余素數對略大于計算數的原因所在，當然，該例題在這方面沒有體現出來（大家可以用略大一點的偶數一試便知），這里實際也有一個臨界點。該題還剩余11-1=10個素數對：23+181，31+173，37+167，41+163，47+157，53+151，67+137，73+131，97+107，101+103。

總計算式為204*（1/2）*（1/2）*（2/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）=10.08，實際為10對，與計算數基本相符。

說明：第一個1/2為偶數組成數對的計算，第二個1/2為素因子2刪除后數對的剩余率，2/3為素因子3刪除后數對的剩余率，素因子2，3都能整除偶數，剩余率對為（N-1）/N；后面的素因子不能整除偶數剩余率為（N-2）/N。

結論：

（1），令小于偶數平方根的素數為素因子，令任意素因子為N，當素因子N，能夠整除偶數時，素因子N刪除偶數數對的1/N，剩余數對的（N-1）/N；當素因子N，不能夠整除偶數時，素因子N刪除偶數數對的2/N，剩余數對的（N-2）/N。

按素因子由小到大的順序依次刪除合數對時，因為，每一次刪除都是素因子N乘以偶數的1/N內不能被前面素因子整除的數或者不能被前面素因子整除的其中一部分數的乘積，或者只刪除前面剩余數對的1/N或者2/N，（恰巧偶數都是能夠被素因子2整除的，素因子2只能刪除數對的1/2，剩余1/2，留下了存在的空間），也就是刪除實際存在數對的一部分，所以，最終必然有剩余數對的存在，這就是哥德巴赫猜想永遠存在的重要理由依據。

（2），偶數的素數對的多與少是存在上下波動，其主要原因是：偶數是否能被素因子整除？能夠被大素因子還是小素因子整除，能被一個素因子整除還是能夠被多個素因子整除，刪除率是不一樣的。

（3），偶數的素數對的多與少，就是與計算式相比，都存在上下波動，但是，如果人們有時間用較大的偶數進行實踐，就可以看出，素因子N，在前面的素因子可以刪除數對的1/N或者2/N，個別還可能略大于計算數，慢慢地到后面的素因子刪除漸漸地就小于1/N或者2/N，偶數越大這一現象就越明顯，當偶數大于臨界點后，受這種因素的影響，偶數的實際素數對都會大于公式計算數的道理。

2，素數對參數

前面說到哥德巴赫猜想是永遠成立的，那么，偶數素數對的多與少到底以什么作為參照數，參照數又說明了什么？

我們令偶數只能被小素數中的偶素數2整除，不能被小素數中的所有奇素數整除，令偶數為M，小素數為：2，3，5，7，11，…，R，那么，偶數的素數對為：

M*（1/2）*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R。

=M*（1/4）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R。

說明：

（1），偶數乘以1/2得組成偶數的數對，再乘以1/2為素因子2刪除含素因子2組成的合數對后剩余的數對，其它的（N-2）/N都為奇素因子N刪除含素因子N的合數對后剩余的比例。

（2），大家都知道：（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*…*（R-2）/R=1/R，而小于偶數平方根的奇合數是不參與刪除的。如果，我們將*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R換成1/R，那么，上面的式子就變為：（M/4）*（1/R），而M≥R*R，我們再把式中的M換成R*R，上面的式子就變為：（R*R/4）*（1/R）=R/4。

從該式子可以看出兩點：當偶數不斷增大時，R的值也隨之增大，表明偶數的素數對隨偶數的增大而相應增加；偶數素數對的平均間隔，為偶數除以素數對，即，M/（R/4）=4M/R≈4R，即隨偶數的不斷增大，R也隨之增大，4R隨之增大，表明偶數的素數對平均間隔隨偶數的增大而相應增大，這完全符合范圍越大，范圍內的素數越來越稀疏現實。

偶數的最低素數對≈N/4，這是在增加了奇合數的刪除時取得的，為了還原真相我們必須乘以奇合數刪除率的倒數，即，乘以（9/7）*（15/13）*（21/19）*（25/23）*（27/25）*…*E/（E-2），當奇合數E為115時，該式的得數約為4，因115*115=13225，即，當偶數大于13225時，偶數中最低素數對的偶數的素數對個數開始大于偶數的平方根，在這以后，偶數的平方根就是偶數素數對的參數。當然，隨著偶數的進一步增大，偶數平方根以下的奇合數會不斷增加，偶數的素數對將慢慢地變為偶數平方根的若干倍。

以上結論，人們可以隨便進行檢驗，特別是現在計算機的年代，檢驗起來會更加方便，真的假不了，假的也真不了。

三、素數相關定義

教科書把所有合數說成是合數數列，我認為：所有合數應該叫合數集合，而不應該叫做合數數列。所謂的合數數列應該是有一定規律的數列。

合數等差數列，在整數遞增等差數列中，當首項能夠被公差或者公差分解出來的素因子整除時，該數列只有首項可以為素數，其它項皆為合數，這樣的數列除去首項的素數外，就叫合數等差數列。

與合數等差數列相對應的數列，必然不是純合數，所以，我們在這里稱它為能夠產生素數的等差數列。

能夠產生素數的等差數列，在整數遞增等差數列中，當首項不能被公差和公差分解出來的素因子整除時，該數列就是能夠產生素數的等差數列。

因為，能夠產生素數的等差數列永遠存在，所以，素數永遠存在。

1，素數平分定義

例1,當公差為210時，因210=2*3*5*7，所以，在210之內不能被公差分解出來的素因子2，3，5，7，分別整除的數為(2-1)*(3-1)*(5-1)*(7-1)=48個數，以這48個數為首項，以210為公差，共組成48個能夠產生素數的等差數列，這48個數列平分了不包括公差包含的素數子2，3，5，7以外的所有素數。

例2，因10=2*5，在10之內不能被2和5分別整除的數為：1*4=4個，即，1，3，7，9，用這4個數為首項，以10為公差共組成4個能夠產生素數的等差數列，這4個數列平分了不包括2和5的所有素數。

2，猜想成立的理由

正是由于素數的平分原理，因為平分，造就了不同余數的素數交叉出現；因為不同余數的素數的交叉出現，確定了在偶數內的素數中，不與偶數除以它的小素數余數一一對應相同的素數必然存在，因為不與偶數除以它的小素數余數一一對應相同的素數的必然存在，造就了哥德巴赫猜想的必然成立。

                     四川省三臺縣工商局 王志成

                         2017年4月24日