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信仰和真理之間：哥德爾的上帝觀 Karl 或許生活在我們這個時代的大多數人都愿意接受伯特蘭﹒羅素的觀點：信仰和真理基本上是兩回事；理性的能力雖然令人尊敬卻遠非無所不能。然而這看似平易人心的意見卻并不見容于一個獨特的人：庫爾特﹒哥德爾。不同于我們這個時代種種流行的標新立異,哥德爾的獨特來自逆于時尚的人格、深邃精妙的思想而非前衛的形貌。作為一個普通人，“他全無合群的愛國的自大，倒是很有些個人的自大。一切問題，他只愿訴諸自己的理性，從來不肯在時代精神面前誠惶誠恐、俯首就范”[1]。作為一個數學家和哲學家，他是“二十世紀最有意義的數學真理的發現者，……，近一個多世紀以來，唯一把真正基本的科學貢獻與異常深奧準確的哲學探討相結合的人”[1]。正是被這些天賦的品性和才能所驅使，哥德爾潛心于調和信仰和理性之間的鴻溝，試圖建立“其精確程度將不遜于物理學”的宗教、哲學和倫理學。 哥德爾未能在有生之年實現自己的理想。但是他獲得了若干富有啟發性的局部結果。這篇小文希望可以將哥德爾理性神學的一個重要結果：上帝的本體論證明（基于要證明之事物定義的證明）引介給讀者。但正如人們所言，“思想是一條路”，不親歷其中的曲折與艱辛并不足以把握思想的本來面目。為了準確地認識哥德爾，讀者可以進一步研讀篇末列出的參考文獻。 哥德爾對上帝存在性的理性思考得自其著名的第一不完全性定理（以下簡稱為IA，即Incompleteness of formal Arithmetic）的啟發。通過對IA的的意義加以引申，哥德爾構造了上帝存在性的本體論證明。為了簡明起見，這里僅討論證明的思想脈絡而回避技術性的細節。對形式化證明感興趣的讀者可參閱[1][4]。 作為一個深刻而意義非凡的數學結果，IA從根本上澄清了作為一個整體的數學不可形式化的本質，證明了可能為大多數數學家所接受的樸素信念：數學不能被還原為機械的邏輯推理和符號演算，而必然具有直覺和洞察的成分。哥德爾在IA的證明中提出了一種系統化的方法將形式系統的命題編碼為素數，將推演規則和公理的實際使用編碼為算術運算，進而構造了一個在形式系統內無法證明的關于素數的真命題Pk（k）。Pk（k）之所以具有這一奇特性質是由于命題和素數之間的對應關系使得關于素數的命題同時也為關于命題的命題（元命題）[2][3]。這樣Pk（k）得以通過斷言它自己在系統內無法證明而使得其自身為真又無法在系統內被證明。這種古老的技巧可以上溯到古希臘時代的克里特人悖論。但是哥德爾對于“可證明”這一形式概念和“真”這一直覺概念所做的區分使得Pk（k）擺脫了悖論處境而成為一個合法命題。Pk（k）類命題的存在說明形式系統的可證明性概念并不能完全把握人們關于“真”的直覺觀念。值得指出的是，有研究結果表明兩類形式上更自然的算術命題實際上等價于Pk（k）類命題[2][5]，這暗示了不可判定命題可能是廣泛存在的。 Pk（k）類命題的構造方法對于任何復雜得可以包容算術系統的形式系統都是適用的。由此一個自然的推論是任何復雜程度超過算術系統的形式系統必然或者是無限的，或者是不完全的。這里之所以存在第一個析取項是由于有技術上的對策通過不斷將Pk（k）型命題擴充為系統的公理來避免不可證明之真命題的尷尬[2]。這種擴充過程不能有限地終止。因為將一個特定系統的Pk（k）型命題擴充為公理后所形成的新系統會產生新的Pk（k）型命題。最終擴充過程將導致一個有著可數無窮多公理的形式系統（近來有結果表明利用類似的過程可以得到所有“真”的數學命題，雖然這里的“真”要依據某種關于“真”的特殊定義[2]）。 即使忽略上述獲致完全性的方法對數學簡潔之美的違背和思想上的不自然，也還存在著實際的線索支持人們將反對這種方法普遍化。此處普遍化指將所考察的系統推廣到包含實際物理系統的情形。首先，無限是一個數學而非物理概念。對于持樸素的唯物主義一元論的人來說，他會傾向于相信精神只是物質結構的附屬功能，任何精神現象必然對應于物質的基礎，這樣公理和規則與實現他們的物理實在之間的關系恰如布爾代數和計算機的邏輯電路之間的關系一樣。但是迄今為止我們的知識都傾向于告訴我們宇宙是有限的：天文學家發現了限定宇宙極限的證據；物理學家估計了宇宙中質子數目的總和。由此，或者我們應該接受二元論和有神論者的世界觀，承認獨立精神實體的存在性和無限的精神實在；或者應該放棄關于宇宙完全性的信仰。然而宇宙作為一個整體而言，包容了我們自身的存在狀態的一切側面。一旦我們離開數學系統這個特殊的維度而置身于更貼近現實生活的倫理、道德、和情感世界，拋卻完全性的概念將成為一種頗為困難的放棄。這種放棄將意味著倫理標準和道德原則不再可能是普遍和一致的（嚴格地說完全性和一致性是兩個不同邏輯概念，但是具體到這里的引申含義，我們可以想見由不完全性所造成的理性盲區不可避免地會導致認識和實踐上的矛盾、沖突，本句后半部分中出現的“對立”應做相似的理解），而必然是殘缺、局部、存在著本質上的不確定性和對立的。那些以正義和公正為信仰的人們，無論是有神論者、自然神論者還是無神論者，心目中的道德圣殿將由于邏輯上的不可能而歸于虛妄。哥德爾作為一個基督徒和理性神學的倡導者，清楚地意識到了其在數學領域的所獲得的結果對于人們信仰的潛在意義和可能影響。他給出的關于上帝存在的本體論證明通過預先假定宇宙的完全性，論證了超越物質宇宙之外的無限精神實體的存在性。 對于徹底的懷疑主義者來說，哥德爾的證明似乎并不比歷史上已有的林林總總的上帝存在性之本體論證明更有說服力。為懷疑主義者所質疑的并非是哥德爾的證明邏輯（作為自亞里士多德以來最偉大的邏輯學家[3]，哥德爾的邏輯是經得住推敲的），而是他的公理：宇宙的完全性。確實，身處這樣一個價值分裂、信仰失落、文明沖突的世界而又能視普遍價值和倫理法則的確實性為一種不證自明的“啟示真理”殊非易事。哥德爾對宇宙完全性的信仰顯然與其身所傳承的日爾曼民族幸又不幸的理想主義傾向、悟的思想傳統、英雄式的樂觀主義以及作為一個數學家不懈地求準確和真理的專業習慣之間有著深刻的思想和心理關聯。 哥德爾之上帝觀并未從本質上擴展信仰的空間、也不足以改變任何一個堅定的懷疑主義者的立場。但它畢竟在一定程度上實現了信仰的融合。由于哥德爾意義非凡的洞察，不論是德國基督徒還是中國的樸素唯物主義者，只要他們都共同地相信：作為抽象的道德原則和具體的行為方式，善和公正因具有著普遍意義而值得追求；并且他們自身的觀念和行為足夠理性和一致的話，他們就應該在原則上接受一種超越物質宇宙之外的精神實體的存在性。信仰之始，即為上帝之門。 參考文獻: 1 《哥德爾》[美]王浩著，康宏逵譯，上海譯文出版社，1997年4月版 2 《皇帝新腦》 [英] 羅杰﹒彭羅斯著，許明賢等譯，湖南科技出版社，1995年3月版 3 “Godel's Theorems and Truth”，http//www.rae.org/godel.html 4 “Godelian Ontological Arguments” Analysis 56, 4, October 1996 5 “Randomness in Arithmetic and the Decline & Fall of Reductionism in Pure Mathematics”, EATCS Bulletin, No. 50 (June 1993), pp. 314-328
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