第五章 初中數學的邏輯基礎本章內容涉及初中數學的邏輯學基礎，這些內容對多數人來說雖不是陌生的，但是，也不是系統學習過的，尤其是，數理邏輯初步是多數人陌生的。因而，相對系統地學習本章內容就變得十分重要。不僅如此，還需要結合初中數學中的概念、命題、推理、證明等具體內容加以學習、體會。 數學推理是數學的重要工具和思維形式，分析初中數學課程內容的學科內涵，需要依據初中數學邏輯基礎。因此，理解與掌握本章的內容就顯得十分重要。通過學習 ,領會概念、命題、推理、證明的基本概念和有關理論，領會邏輯思維的基本規律。 識記概念的含義、內涵與外延、概念間的關系、概念的定義、概念的劃分及概念的功能；識記數學判斷、命題、簡單命題、公理和定理的含義；識記復合命題的真值，領會數學命題的四種形式； 識記邏輯思維的基本規律；初步識記數學推理的意義和結構；領會演繹推理、歸納推理、類比推理的意義和方法；初步識記證明的意義、結構和規則；領會數學證明的常用方法，能夠應用邏輯學知識分析初中數學內容的邏輯問題。 邏輯學是由亞里士多德創立，是一門研究思維、思維的規定和規律的科學。自歐幾里得將邏輯學引入數學以來， 邏輯學是數學科學的重要基礎。本章包含初中數學概念、數學命題、數理邏輯初步的基本介紹，旨在明晰數學概念的定義類型、定義方法、類型；數學命題的教育功能、類型；公理與定理的教學；證明的教學，在此理論基礎上，促進教學 質量的提高與教師數學專業理論的提升。
第一節 理解數學概念
( 一 )如何理解數學概念？ 客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性。人們在實踐活動中，逐漸認識了所接觸對象的各種屬性。在感性認識的基礎上，經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質屬性。反映事物本質屬性的思維形式叫做概念。數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系。反映數學對象的本質屬性的思維形式叫做數學概念。 例如，一組對邊平行 “是平行四邊形的屬性，但不是本質屬性； “對角線相等 ”是正方形的屬性，但不是本質屬性。 ( 二 ) 數學概念的特點都有什么？ 數學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。 1. 抽象化 數學概念反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來，而大多數概念排除對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性，甚至在已有數學概念的基礎上，經過多級的抽象過程才產生和發展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。 2. 形式化 使用特定的數學符號來表示數學概念，使概念形式化。特定的數學符號既反映數學概念的本質屬性，又使數學概念表現形式簡化、準確，而且使數學概念可以在符號體系這種純形式化中得以抽象和發展。 3. 邏輯化 在一個特定的數學體系中，孤立的數學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關系，如相容關系、不相容關系等，這些關系稱之為數學概念的邏輯關系。這種邏輯關系使得數學概念系統化、公理化。 4. 簡明化 數學概念具有高度的抽象性，再借助數學符號語言，使得一定事物的本質可以用某種簡明的形式表現出來，這種簡明化使人們在較短時間內領會數學概念成為可能。如“ lim”、 “y=f(x)”是極限概念和函數概念的簡明形式。 ( 三 )概念的外延與內涵應該如何理解？ 概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。 一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。例如，“平行四邊形”這一概念的外延是“所有平行四邊形的集合”，“偶素數”這一概念的外延是“ 2”。 一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。 概念的內涵 是說明一個概念所反映的事物的本質屬性。 例如 : 等腰三角形的內涵是 :三角形、兩邊相等； 平行四邊形的內涵是 :四邊形、兩組對邊互相平行； 無理數的內涵是 :無限小數并且這些小數是不循環的，即無限不循環小數。 概念的外延 是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。 例如 : 所有各種形狀的三角形如直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形等等都包含在三角形這一概念的外延之內； 各種平行四邊形如矩形、正方形、菱形、以及其它平行四邊形等等都是平行四邊形這一概念的外延。 概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關系。例如，如果在平行四邊形這個概念的內涵之中增加一個本質屬性——各邊相等，那么，平行四邊形這個概念的外延僅有菱形，它的外延縮小了。 再如，無理數這個概念的內涵是無限不循環小數。如果去掉“不循環”這個本質屬性，只剩下一個本質屬性“無限小數”；那么，無理數的外延把能化為分數的循環小數，也被包括在內 .它的外延擴大了。 通過以上例子，可以啟示我們 :對于那些具有反變關系的兩個概念而言，如果概念的內涵擴大，那么它的外延縮?。蝗绻拍畹膬群s小，那么它的外延擴大。而這里的反變關系，就是指兩個概念具有種屬關系，例如，四邊形與正方形。 ( 四 ) 初中數學概念的特點是什么？ 1. 初中數學概念并非都是通過定義給出的 許多數學概念都是在相應的公理體系下孕育而生的，其中，一些概念就具有公理性的特征。在初中數學中，考慮到學生認知因素等原因，一般不過分強調公理化思想方法，這就使得一些初中數學概念是不定義概念，如“直線”的概念，它的教學就不必非給出定義不可。此外，象“點”、“線”、“面”、“介于”等概念都不是通過定義給出的。 2. 初中數學概念的層次性 數學概念本身具有層次性。這種層次性使得一些數學概念之間具有較明顯的體系特征。如實數系統根據定義比較有關概念的內涵。再由外延出發，一般就能夠較容易地得到類似實數體系的有關體系結構。 3. 數學概念是理想概念 從理論上講，數學科學是以數學模型為研究對象的，但數學模型是從大量具體存在中抽象概括成的理想存在。數學概念是一類數學模型，為此具有理想性特征。存在不等于被感知，一些數學概念不存在能被感知的自然界原型，比如直線、平面等。 4. 數學概念是 “過程 ”與 “對象 ”的統一體 國際數學教育心理學研究者在 20世紀 80年代提出，數學內容可以區分為過程和對象兩個側面。過程就是具備了可操作性的法則、公式、定理等，對象就是數學中定義的結構關系。數學概念往往既表現為過程操作，又表現為對象、結構，即所謂的概念的二重性。例如，函數 y=f(x)，既表示定義域中元素 、 r按照對應法則、 f 與值域中元素 y對應的過程，又表示特定對應的關系結構。 ( 五 )如何理解數學概念之間的關系？ 1. 同一關系 兩個外延完全相同的概念之間的關系，叫做同一關系。同一關系，敘述上常用連接詞 “即 ”、 “就是 ”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替。 例如，等邊三角形與正三角形，等腰三角形底邊上的高與頂角的平分線、底邊的中線都是同一概念，它們在判斷中可以互相代替，相互為用。
2. 交叉關系 兩個外延部分相同的概念之間的關系，叫做交叉關系 .敘述上常用 “有的 ”、 “有些 ”等表示。 例如，等腰三角形與直角三角形，自然數與正整數等都是交叉關系，一個方程組是否有解就是判別各個方程的解集是否有交叉關系。
3. 從屬關系 兩個外延具有包含關系的概念之間的關系，叫做從屬關系。其中外延范圍大的概念 A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念 B叫做下位概念或類概念。
4. 矛盾關系 兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做矛盾關系。例如，有理數與無理數，直角三角形與非直角三角形。平面上的相交線與平行線等都是矛盾關系。
5. 對立關系 兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做對立關系。 例如，正數與負數，銳角三角形與直角三角形，空間中的相交線與平行線等都是對立關系。
( 六 )數學概念的定義與要求是什么 ? 定義是建立概念的邏輯方法。人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。這就是說， 定義的功能是為了明確討論問題的對象。 常常是在抽象出事物的本質屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質屬性。 常用的定義方法 : 1.“ 種 +類差 ”定義法 一般地，屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。種差揭示了被定義概念相對于這個屬概念來說特有的屬性，它連同這個屬概念的基本內涵一起，就構成了被定義概念的基本內涵。注意到被定義概念的屬概念常常不止一個，顯然，選擇最鄰近的屬概念可使種差簡單一些。 例如，上述平行四邊形定義中，四邊形就是它最鄰近的種概念；類差是 “兩組對邊分別平行 ”這個本質屬性。由于類差不唯一，因此，這種方法所作出的定義一般也不唯一。例如，平行四邊形還可用 “兩組對邊分別相等 ”、 “一組對邊平行且相等 ”、 “對角線互相平分 ”等作類差給出定義，且它們都是彼此等價的。 這種定義方法， 使概念間的關系很明了， 既準確又明了地揭示了概念的內涵，有助于建立概念之間的聯系，使知識系統化，因此，在初中數學概念的定義中應用較多。 2. 發生式定義法 這是 不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發生式定義法。 這是一種特殊的 “種 +類差 ”定義法，是把只屬于被定義的事物，而不屬于其他事物的發生形成的特征作類差的定義。因而， 發生式定義法是屬概念加種差定義法的一個變異，這里的屬概念不一定是被定義概念最鄰近的屬概念，種差也不是揭示被定義概念相對于屬概念來說特有的屬性，而是給出被定義概念所反映對象發生的過程。 例如，平面 (空間 )上與定點等距離的點的軌跡叫做圓 (球 )。此外，中學數學中對圓柱、圓錐、圓臺、微分、積分、坐標系等概念也都是采用的發生式定義法。 3. 外延定義法 這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。例如，整數和分數統稱為有理數；正弦、余弦、正切和余切函數叫做三角函數；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；邏輯的和、非、積運算叫做邏輯運算等等，都是這種定義法。 4. 約定式定義法 這是一種特殊的逆式定義法。由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。例如， a 0=1(a≠0)， 0！ =1， 5 ． 關系定義法 這是以事物間的關系作為種差的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。 例如，偶數的定義：能被２整除的整數叫做偶數。這是一個關于偶數的關系定義，它的種差是偶數與２的一種關系。 此外，中學數學中還有描述性定義法 (如現行中學數學中關于等式、極限的定義 )、遞推式定義法 (如 n階行列式、 n階導數、 n重積分的定義 )，借助另一對象來進行定義 (如借助指數概念定義對數概念 )等等。 定義數學概念的基本要求 為了正確地給概念下定義，定義要符合下列基本要求： 1. 定義應當相稱。 即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小。即應當恰如其分，既不寬也不窄。例如，無限不循環小數，叫做無理數。而以無限小數來定義無理數 (過寬 )，或以不盡方根的數來定義無理數 (過窄 )，顯然，都是錯誤的。 2. 定義不能循環。 即在同一個科學系統中，不能以 A概念來定義 B概念，而同時又以 B概念來定義 A概念。例如， 90°的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做 l度，這就發生循環了。 3. 定義應清楚、簡明。 定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質屬性來說應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。凡是可由列舉的其它屬性推出的，對于定義來說都是多余的條件，應刪去。 定義要揭示概念所反映對象的本質屬性，而否定形式一般不能做到這一點。例如，不能把“不是有理數的數叫做無理數”當作無理數的定義，因為這既沒有揭示出無理數的基本內涵，也沒有確定無理數的外延。當然也有例外的情形，如平行線的定義。不過，這個定義表面上看，是否定形式，但它揭示出了平行線“在同一平面內，沒有公共點”的本質屬性。 例如，筆直筆直的線，叫做直線 (不清楚 )；兩組對邊互相平行的平面平行四邊形 (不簡明 )；不是有理數的數，叫做無理數 (否定形式 )；對初中生來說，在復數以 a+bi中，虛部 b=0的數，叫做實數 (應用未知概念 )等，這些都是不妥的。 ( 七 ) 如何理解數學概念的形成？ 數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類，從中找出一類事物的本質屬性，然后通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。 數學概念形成的過程有以下幾個階段： 1. 觀察實例。觀察概念的各種不同的正面實例，可以是日常生活中的經驗或事物，也可以是教師提供的典型事物。例如，要形成平行線的概念，可以觀察黑板相對的兩條邊，立在路邊的兩根電線桿，橫格練習本中的兩條橫線等。 2. 分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。 3. 抽象本質屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質屬性的假設。 例如，提出平行線的本質屬性的假設是：在同一個平面內，兩條直線間的距離處處相等，兩條直線不相交。 4. 確認本質屬性。通過比較正例和反例檢驗假設。確認本質屬性。例如，舉出平行直線、相交直線和異面直線的例子確認平行線的本質屬性。 5. 概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實例中抽象出本質屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。例如，可以概括出“在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”。 6. 符號表示。用習慣的形式符號表示概念。例如，平行線用符號“∥”表示。 7. 具體運用。通過舉出概念的實例。在一類事物中辨認出概念?；蜻\用概念解答數學問題，使新概念與已有認知結構中的相關概念建立起牢固的實質性聯系。把所學的概念納入到相應的概念體系中。
第二節 數學命題( 八 )如何理解判斷？ 判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。 判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數學中要進行證明。 其中，如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。例如， “正數大于零 ”是真判斷， “兩個無理數之和是無理數 ”是假判斷。 1. 簡單判斷 在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質判斷和關系判斷。簡單性質判斷的結構可分為四種形式。 表 6.2-1 簡單性質判斷的結構形式
2. 復合判斷 復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構成的判斷。它有四種基本形式。 1. 負判斷 。負判斷是用連接詞 “非 ”構成的判斷，一般記為 ┑ P ，讀作 “非 P”，當 P真時， P假；當 P假時， P真。例如，設 P表示 “所有質數都是奇數 ”(假 )，則 ┑ P 表示 “并非所有的質數都是奇數 ”，即 “有些質數不是奇數 ”(真 )。 2. 選言判斷 。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞 “或者 ”構成的判斷，一般記成 A V B，讀作 “A或 B”。例如，一個大于 1的自然數是質數或是合數；一個三角形為直角三角形，或為銳角三角形，或為鈍角三角形等。 3. 聯言判斷 。聯言判斷是用連接詞 “且 ”構成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成 A∧B，讀作 “A且 B”。例如， 6可被 2整除，且可被 3整除；正方形的四條邊相等，且四個角也相等。 4. 假言判斷 。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷 P為另一判斷 Q存在條件的判斷， P、 Q分別叫做該假言判斷的前件和后件 (或題設和題斷，條件和結論 )，一般用 “若 ……，則 ……”，或 “如果 ……，那么 ……”的形式表示，記成 P→Q。例如，若兩三角形相似，則對應邊成比例。 (九) 如何理解命題的涵義？ 關于數學對象及其屬性的判斷叫做數學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。在數學中，用來表示數學判斷的陳述句或符號的組合叫做數學命題。 數學中的定義、公理、定理、法則、性質等都是命題。命題既可用語言敘述，也可用符號進行表示。常用的連接詞有 “非 ”、 “或 ”、 “且 ”、 “蘊含 ”、 “等值 ”等等。它有真命題與假命題之分，結構上可分為簡單命題與復合命題兩種類型。 ( 十 )如何理解命題的分類？ 所謂性質命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質的命題。例如 （１）一切矩形矩形都是平等四邊形。 （２）自然數都是無理數。 （３）有些奇數是素數。 （４）有些一元二次方程沒有實數根。 性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成。 2. 關系命題 關系命題是斷定事物與事物之間關系的命題 .例如， (1) 一切正數都大于零 . (2) 直線 a平行于直線 b. 關系命題由主項、謂項和量項三部分組成 . 主項又稱關系項 ,是指存在某種關系的對象 . 謂項又稱關系 ,是指各個對象之間的某種關系 . 量項表示主項的數量 .同性質命題一樣 ,關系命題的量項也有單稱、全稱與特稱三種 . 3. 復合命題 為便于說明，在此，我們首先介紹命題真值的概念。 對于命題 A、 B，如果 A是一個真命題，我們就說 A的真值等于 1，記成 A=1；如果 B是一個假命題，我們就說 B的真值等于 0，記成 B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是 1或 0，不能既為 1，又為 0，或非 l又非 0。 ( 十一 )復合命題的分類是怎么樣的？ 復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。 否定式 。給定一個命題 A，用連接詞 “非 ”組成一個復合命題 “非 A”，記作
析取式。 給定兩個命題 A與 B，用連接詞 “或 ”組成一個復合命題 “A或 B”，記作 A∨B，其真值可用下面的真值表來定義： A∨B 叫做命題 A、 B的析取式。這里表明，若 A、 B中至少一個為真，則 A∨B為真；只有 A、 B都假，才有 A∨B為假。 合取式 。給定兩個命題 A與 B，用連接詞 “且 ”組成一個復合命題 “A且 B”，記作 A∧B，其真值可用下面的真值表來定義：
A ∧ B叫做命題 A、 B的合取式。這里表明，若 A、 B都真，則 A∧ B為真，若 A、 B中至少有一個為假，則 A∧B為假。 蘊含式 。給定兩個命題 A與 B，用連接詞 “若 ……，則 ……”組成一個復合命題 “若 A則 B”，記作 A ? B ，其真值可用下面的真值表來定義： A→B 叫做命題 A、 B的蘊含式。這里表明，除去 A真 B假，則命題 A→B為假外，其余情況 A→B都真。 等值式。 給定兩個命題 A與 B，用連接詞 “等值 ”組成一個復合命題 “A等值 B”，記作 “A ? B” ，其真值可用下面的真值表來定義： A ? B 叫做命題 A、 B的等值式。這里表明，若 A、 B同真或同假時，則 A ? B 為真，其余皆假。 ( 十二 ) 如何理解命題的四種基本形式及其關系？ 原命題；若 A則 B，即 A→B； 逆命題：若 B則 A，即 B→A； 否命題：若 逆否命題：若 它們之間的關系可用圖解表示如圖
(十三) 公理與定理 在數學中，對于命題的真實性，一般都需要加以證明，即要從一些已知為真的命題按邏輯規律推出。而這些為真的命題，其真實性又是通過另一些真命題證出的。如此追溯上去，必定要有一些命題，它們的真實性不能再用別的命題來證明，而它們卻是證明其他真命題的依據。這些不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。恩格斯稱“數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定?！痹几拍詈凸硎墙M成數學理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現象中抽象出來的，符合客觀規律。 按照現代數學的觀點，在數學科學中，各專門分支研究各種特殊的結構，每一種結構由相應的公理體系確定。任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。 在數學發展史上，起重要作用的有兩種思想，一種是源于西方的公理化思想，它偏重于論證；一種是源于我國的程序化思想，偏重于計算。而現在的初中數學，則受到了公理化思想與程序化思想的深刻影響。根據初中數學教學的嚴謹性與量力性相結合的原則，不能要求各分支都從給定的公理體系出發。即使對于從公理體系出發的初中平面幾何，其公理體系也只滿足相容性 (這是必須滿足的 )而不滿足獨立性和完備性 (為了符合由易到難的認識規律，而適當增加了公理的數目；另一方面又缺少一些公理，而在一定程度上依賴于直觀 )。 經過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質的區別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。
第三節 數學推理及其基礎知識( 十四 )如何理解形式邏輯的基本規律？ 1. 同一律 同一律的內容是：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致。 同一律的公式是： A→A，即 A是 A。 可見，根據同一律的內容，它有兩點具體要求： 一是思維的對象應保持同一。這就是說，在思維的過程中所考察的對象必須確定，要始終如一，不能中途變更。 二是表示同一事物的概念應保持同一。這就是說，在思維的過程中，要以同一概念表示同一思維對象，不能用不同的概念來表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個概念來表示。 違反同一律的錯誤，在概念中主要表現為偷換概念或所使用的概念不明確等；在推理中主要表現為論題不明確或偷換論題等。 例如，設 x=3， a=2， n=2，則 x n-a n=5， a n-1(x-a)=2，而 2不能整除 5。其錯誤原因在于所引用的 “整除 ”概念上。在推理的前一部分是關于多項式的，后一部分是關于自然數的，這兩者并不相同。一個多項式被另一個多項式除盡而余式為零，并不意味著商的系數全是整數。 2. 矛盾律 矛盾律的內容是：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。
矛盾律實為 “不矛盾律 ”，它是同一律的引申，是用否定形式表達同一律內容的。矛盾律是否定判斷的邏輯基礎，其作用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性。這里所說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態或故意玩弄詭辯時所產生的邏輯矛盾。它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同的。 兩個矛盾判斷不能同真，但可能同假。例如， △ABC是銳角三角形與 △ABC是鈍角三角形是兩個矛盾的判斷，其中一個正確，另一個必錯誤； 3. 排中律 排中律的內容是：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。 排中律的公式是： A∨ 排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的邏輯基礎。例如， 從上面的例子及分析，我們看到，必須把握住實質，正確識記和運用排中律。特別要指出的是，對一個命題，要弄清表示思維對象數量的詞（稱為量詞），是全稱量詞“所有的”（ 一般地，如果用
排中律和矛盾律既有聯系，又有區別。其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。其區別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎，而排中律是反證法的邏輯基礎。 4. 充足理由律 充足理由律的內容是：任何一個真判斷，必須有充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據。 充足理由律可表示為：若有 B，則必有 A，使得由 B可以推出 A。 充足理由律是進行推理和證明的邏輯基礎，它與判斷有著密切的聯系。例如，在數學命題中，充分條件、充要條件都可以作為結論的充足理由，原定理可作為它的逆否命題的充足理由等等。 充足理由律和前面三個規律有著密切的聯系。同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷 (或概念 )本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持判斷之間的聯系有充分根據和說服力。因此，在思維過程中，如果違反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然導致違反充足理由律。 總之，數學推理、證明必須要求對象確定 (同一律 )，判斷不自相矛盾 (矛盾律 )，不模棱兩可 (排中律 )，有充分根據 (充足理由律 )。在數學教學中，我們應注意培養學生嚴格遵守這些邏輯規律進行思考的習慣，以培養學生的邏輯思維能力。 ( 十五 ) 數學推理的類別有哪些？ 1 ．歸納推理 歸納推理是一種由特殊到一般的推理，即從個別或特殊的事物所作判斷擴大為同類一般事物的判斷的思維過程，且根據前提與結論所作判斷的范圍是否相同，又分為完全歸納法與不完全歸納法。 （ 1）完全歸納法 如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等于結論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法。其表示形式是： 例如，證明三角形三條高或其延長線共點，可分別證明銳角、直角、鈍角三角形三條高或其延長線共點，從而推出任意三角形三條高或其延長線共點的結論。又如，推導兩點間的距離公式，可分別就兩點在各個象限與坐標軸上的情況逐一進行討論。以上推理的方法都是完全歸納法。 由于完全歸納法在前提判斷中已對結論的判斷范圍作出了判斷，如果皆是真實的，則所得結論是完全可靠的，所以完全歸納法可作為數學上的一種嚴格推理方法。但在應用時，須注意前提的判斷范圍既不能重復，也不能遺漏，即前提判斷范圍的總和不能小于結論判斷的范圍。 （ 2）不完全歸納法 如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結論判斷的范圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法。例如，初中數學中從具體實數的運算概括出實數的運算律以及指數運算性質等的推理都是不完全歸納法，一些氣象諺語、農業諺語、人們的養生之道等也是根據不完全歸納法得到的。 必須注意，根據不完全歸納法推出的結論可能真，也可能假。因此，不完全歸納法不能作為數學上一種嚴格的推理方法使用，但是它在科學研究中可有助于提出假設或猜想，在解題中便于發現規律，啟發思維。教學中，為了說明某些定理、公式、性質的正確性，也往往借助于個別特殊的例子來說明，其實質就是用實例來進行驗證，也可以認為是用不完全歸納法來進行推理的。 2 ．類比推理 類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據兩個 (或兩類 )事物的某些相同或相似的性質，判斷它們在別的性質上也可能相同或相似。 例如，代數中根據分式與分數都具有分子、分母這個相同的形式，從而推測分式可以如同分數一樣進行化簡與計算；由平面上直線與直線之間的關系可以推測空間中平面與平面之間的關系等，這都是類比推理。 必須注意，類比推理所得出的結論未必真，它只有一定程度的可靠性。有些結論，還有待于實踐和理論的證明。例如，不許用任何其他數學符號，將三個 l，三個 2，三個 3寫成盡可能大的數分別是 111， 2 22， 3 33，而三個 4寫成盡可能大的數不能類比地寫成 4 44，而是 用類比推理所得結論，雖然不一定都真實，但在人們的認識活動中仍有著它的積極意義。例如，科學上有不少重要的假設，是通過類比推理提出來的；數學中有不少重大發現乃至有關解題方法是由類比推理提供線索的；生產實踐和科學實驗中的許多發明創造，也受到了類比推理的啟發等。因此，類比推理仍不失為一種獲取新知識的工具。 3 ．演繹推理 演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、特殊事物判斷的思維形式。 演繹推理的前提與結論之間有必然的聯系，只要前提是真實的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結論。因此。演繹推理可以作為數學中一種嚴格的推理方法使用。 簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實現的。三段論的結構包括大前提——反映一般原理的判斷，小前提 ——反映個別對象與一般原理聯系的判斷，以及結論三個判斷。如果大前提、小前提都正確，則結論一定正確 . ( 十六 ) 如何理解歸納推理及其在初中數學中的應用？ 由特殊到一般的推理叫做歸納推理。即在研究事物的特殊情況所得到的結論的基礎上，得出有關事物的一般結論的推理方法。歸納推理也簡稱為歸納法。 在歸納推理中，根據所研究的是否是事物的一切特殊情況，歸納推理一般又可分成完全歸納推理和不完全歸納推理，也稱為完全歸納法和不完全歸納法。 1 ．完全歸納法 在研究事物的一切特殊情況所得的結論的基礎上，得出有關事物的一般性結論的推理方法叫做完全歸納法。 例如，要證明定理：“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半?！比鐖D， 在一個圓心為 O的圓中，對于給定弧 AC，用∠ ABC和∠ AOC分別表示對應的圓周角和圓心角，那么，命題 P就是： 2∠ ABC=∠ AOC。 從圖 5-4中可以看到，由于角的頂點 B所在位置不同，圓周角∠ ABC和圓心 O之間的位置關系可以分為三種情況，分別用 P(1)、 P(2)和 P(3)表示對應這三種情況的命題，即 P(1) ：圓心在圓周角的一條邊上時的命題 P，如圖 5-4(a)所示； P(2) ：圓心在圓周角的內部時的命題 P，如圖 5-4(b)所示； P(3) ：圓心在圓周角的外部時的命題 P，如圖 5-4(c)所示。 這樣，我們就把問題的類分清楚了，根據完全歸納法的原則，只要驗證了 P(1)、 P(2)和 P(3)這三個命題成立，就可以推斷命題 P成立。
證明如下： P(1) ：當圓心 O在∠ ABC的一條邊上時，連接 AO，如圖 a所示。這樣，∠ AOC是等腰三角形△ ABO的一個外角，于是有∠ AOC=∠ ABC+∠ BAO=2∠ ABC。 P(2) ：當圓心 O在∠ ABC的內部時，過 B做直徑 BE、并連接 AO和 CO，如圖 b所示。此時，∠ ABE和∠ AOE分別是弧 AE所對應的圓周角和圓心角；∠ EBC和∠ EOC分別是弧 EC所對應的圓周角和圓心角。這都可以轉化為第一種情況，得到 2 ∠ ABC = 2∠ ABE + 2∠ EBC = ∠ AOE + ∠ EOC = ∠ AOC。 其中第二個等號用到了命題 P(1)的結論。 P(3) ：當圓心 O在∠ ABC的外內部時，過 B做直徑 BE、并連接 AO和 CO，如圖 c所示，類似 P(2)的情況可以得到 2 ∠ ABC = 2∠ ABE - 2∠ CBE = ∠ AOE - ∠ EOC = ∠ AOC。 這樣，我們就完成了命題 P的證明。 因為完全歸納法是在考察事物的各種情形之后得出有關事物的結論的，所以只要考察各種情形得出的結論是真實的，則最后所得結論也必定是真實的。因此，完全歸納法可以作為數學的嚴格推理方法。用完全歸納法進行推理時，要注意對考察事物的各種特殊情形都要進行討論，不要重復也不要遺漏。 容易看到，完全歸納法雖然簡單，卻是一種非常有力的推理方法，不僅僅在數學中就是在日常生活中這種推理方法也是有用的，因此，在中學數學有關內容的教學過程中，應當有意思地讓學生感悟這種推理方法的核心和模式。利用完全歸納法最典型的數學例子是對“四色定理”的證明，在證明過程中把平面中相鄰區域的可能的情況分為 1400多類，然后利用計算機逐類驗證，最終把“四色猜想”變為“四色定理”，參見本書第二輯第九講。在完全歸納法的實施過程中，分類是最為重要、往往也是最為困難的，關于分類問題的詳細地討論可以在附錄中找到。 2 ．不完全歸納法 在研究事物的某些特殊情況所得到的結論的基礎上，得出有關事物的一般性結論的推理方法叫做不完全歸納法。 例如，分別考察平行四邊形和矩形，得出它們的對角線互相平分的結論，從而得出四邊形的對角線互相平分的一般結論即是不完全歸納推理，顯然這個結論是錯誤的。 又如，簡單考察凸三邊形和凸四邊形，它們的內角和均等于其邊數減去 2 所得的差與 180 °的乘積，從而得出任意凸多邊形的內角和均等于其邊數減去 2 所得的差與 180 °的乘積的一般性結論的推理也是不完全歸納推理。但這里所得結論是正確的。 上述兩例說明，用不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴密的，因而在數學證明中并不采用。但不完全歸納法在探索的過程中能幫助我們比較迅速地去發現事物的規律，給我們提供研究方向和線索的作用是不容忽視的?？茖W上的很多發現，往往就是通過觀察、分析、歸納、猜想得出，然后又加以證明驗證得到的。
(十七) 如何理解 數學中的證明 ？ 應用邏輯方法來判斷數學命題真實性的過程叫做數學證明。這個有待判斷真實性的命題叫論題；證明過程往往表述為一系列的推理；其依據叫論據，可作為論據的是本論題的題設，已建立的概念、公理和已證明了的真實命題。 數學證明需要應用已經確定其真實性的公理、定理、定義、公式、性質等數學命題來論證某一數學命題，因而，數學證明的過程往往表現為一系列的推理。 任何邏輯證明都是由論題、論據、論證三個部分組成的。論題是需要證明其真實性的判斷，論據是用來證明論題真實性所引用的那些判斷，論證就是由論據出發進行一系列推理來證明論題的真實性的過程。 數學證明習慣上分成已知、求證、證明三個部分來寫。其中論據是包括論題給定的條件和證明論題時所引用的那些論據，以及已知的公理、定理、公式、定義、法則、性質等命題；求證就是論題的結論，即有待于證明具有真實性的命題；證明就是論證，即證明論題真實性的推理過程。 關于證明格式，常用的有聯用式與推進式兩種。聯用式是聯用“因為、所以”表示推理關系的書寫格式、推進式是借助符號“ ≥ ”表示蘊含關系或推理關系的書寫格式，且都可分為橫、豎兩種基本形式。 (十八) 數學中常用的證明方法 有哪些？ 1. 分析法與綜合法 在數學證明中，如果推理方向是從求證追溯到已知，或者是從未知到已知，這種思考方法叫做分析法，簡謂“由果索因”。反之，如果推理的方向是從已知到求證，或者是從已知到未知，這種思考方法叫做綜合法，簡謂 “由因導果 ”。 2. 直接證法與間接證法 在數學證明中，從正面證明論題真實性的證明方法，叫做直接證法。凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法。它是初中數學中常用的證明方法。不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證法。間接證法主要有反證法與同一法。 反證法 欲證命題 “A→B”為真，從反面人手，改證明其反命題 “ 在使用反證法時，如果原論題的結論的矛盾方面（即否定方面）只有一種情況，只要把這種情況否定了，原論題即成立，這種反證法叫做簡單歸謬法，簡稱歸謬法。當原論題結論的矛盾方面（即否定）不止一種情況時，需把它們逐個否定，原論題才得證。這種反證法又叫窮舉歸謬法，簡稱窮舉法。 同一法 如前所述，兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題 (或否命題 )才等效，這個原理叫做同一原理。對于符合同一原理的命題，當直接證明有困難時，可以改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。 反證法與同一法都是間接證法。它們的主要區別是 ： ① 方法不同。反證法先否定結論，然后再予以反駁；同一法先作出 (設定 )符合命題結論的圖形 (或算式 )，然后推證所作圖形 (或算式 )與已知圖形 (或關系式 )相同。 ② 根據不同。反證法的邏輯依據是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價性來證明的；同一法的邏輯依據是同一律，利用原命題與其逆命題的等價性來證明的。 ③ 適用范圍不同。反證法是從否定命題的結論出發，只要能推出矛盾就行，而這個矛盾不一定是由于圖形 (或關系式 )的 “唯一存在性 ”引起的。因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題。 |
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來自： 百眼通 > 《01總論-305》
=l，形如 a+bi的數叫做復數等等，都是約定式定義法。在數學教學中，應明確這種定義法的必要性與合理性。 
，其真值可用下面的真值表來定義： 
叫做命題 A的否定式。這里表明，若命題 A為真，則 A為假；若命題 
為假，則 A為真。 
