 小學數學應用題的21種類型類，講解詳細，內容全面，例題經典 1、歸一問題 【含義】 在解題時，先求出一份是多少(即單一量)，然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。 【數量關系】 總量÷份數=1份數量 1份數量×所占份數=所求幾份的數量 另一總量÷(總量÷份數)=所求份數 【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。 例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢? 解 (1)買1支鉛筆多少錢?0.6÷5=0.12(元) (2)買16支鉛筆需要多少錢?0.12×16=1.92(元) 列成綜合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元) 答:需要1.92元。 例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃? (1)1臺拖拉機1天耕地多少公頃?90÷3÷3=10(公頃) (2)5臺拖拉機6天耕地多少公頃?10×5×6=300(公頃) 列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公頃) 答:5臺拖拉機6天耕地300公頃。 例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次? (1)1輛汽車1次能運多少噸鋼材?100÷5÷4=5(噸) (2)7輛汽車1次能運多少噸鋼材?5×7=35(噸) (3)105噸鋼材7輛汽車需要運幾次?105÷35=3(次) 列成綜合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次) 答:需要運3次。 2、歸總問題 解題時，常常先找出"總數量"，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂"總數量"是指貨物的總價、幾小時(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。 1份數量×份數=總量 總量÷1份數量=份數 總量÷另一份數=另一每份數量 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套? (1)這批布總共有多少米?3.2×791=2531.2(米) (2)現在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套) 列成綜合算式3.2×791÷2.8=904(套) 答:現在可以做904套。 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》? (1)《紅巖》這本書總共多少頁?24×12=288(頁) (2)小明幾天可以讀完《紅巖》?288÷36=8(天) 列成綜合算式24×12÷36=8(天) 答:小明8天可以讀完《紅巖》。 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天? (1)這批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克) (2)這批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天) 列成綜合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天) 答:這批蔬菜可以吃25天。 3、和差問題 已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。 大數=(和+差)÷2 小數=(和-差)÷2 簡單的題目可以直接套用公式;復雜的題目變通后再用公式。 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人? 甲班人數=(98+6)÷2=52(人) 乙班人數=(98-6)÷2=46(人) 答:甲班有52人，乙班有46人。 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 長=(18+2)÷2=10(厘米) 寬=(18-2)÷2=8(厘米) 長方形的面積=10×8=80(平方厘米) 答:長方形的面積為80平方厘米。 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知 甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克) 丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克) 乙袋化肥重量=32-12=20(千克) 答:甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐? "從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐"，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是(14×2+3)，甲與乙的和是97，因此甲車筐數=(97+14×2+3)÷2=64(筐) 乙車筐數=97-64=33(筐) 答:甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。 4、和倍問題 已知兩個數的和及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾)，要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 總和÷(幾倍+1)=較小的數 總和-較小的數=較大的數 較小的數×幾倍=較大的數 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵? (1)杏樹有多少棵?248÷(3+1)=62(棵) (2)桃樹有多少棵?62×3=186(棵) 答:杏樹有62棵，桃樹有186棵。 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸? (1)西庫存糧數=480÷(1.4+1)=200(噸) (2)東庫存糧數=480-200=280(噸) 答:東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍? 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站(28-24)輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數(52+32)就相當于(2+1)倍， 那么，幾天以后甲站的車輛數減少為 (52+32)÷(2+1)=28(輛) 所求天數為(52-28)÷(28-24)=6(天) 答:6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。 甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少? 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。 因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍; 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍; 這時(170+4-6)就相當于(1+2+3)倍。那么， 甲數=(170+4-6)÷(1+2+3)=28 乙數=28×2-4=52 丙數=28×3+6=90 答:甲數是28，乙數是52，丙數是90。 5、差倍問題 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾)，要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 兩個數的差÷(幾倍-1)=較小的數 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵? (1)杏樹有多少棵?124÷(3-1)=62(棵) 答:果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲? (1)兒子年齡=27÷(4-1)=9(歲) (2)爸爸年齡=9×4=36(歲) 答:父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元? 如果把上月盈利作為1倍量，則(30-12)萬元就相當于上月盈利的(2-1)倍，因此 上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(萬元) 本月盈利=18+30=48(萬元) 答:上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍? 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差(138-94)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相當于(3-1)倍，因此 剩下的小麥數量=(138-94)÷(3-1)=22(噸) 運出的小麥數量=94-22=72(噸) 運糧的天數=72÷9=8(天) 答:8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。 6、倍比問題 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。 總量÷一個數量=倍數 另一個數量×倍數=另一總量 先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少? (1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍) (2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克) 列成綜合算式40×(3700÷100)=1480(千克) 答:可以榨油1480千克。 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵? (1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍) (2)共植樹多少棵?400×160=64000(棵) 列成綜合算式400×(48000÷300)=64000(棵) 答:全縣48000名師生共植樹64000棵。 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元? (1)800畝是4畝的幾倍?800÷4=200(倍) (2)800畝收入多少元?11111×200=2222200(元) (3)16000畝是800畝的幾倍?16000÷800=20(倍) (4)16000畝收入多少元?2222200×20=44444000(元) 答:全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。 7、相遇問題 兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。 相遇時間=總路程÷(甲速+乙速) 總路程=(甲速+乙速)×相遇時間 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇? 392÷(28+21)=8(小時) 答:經過8小時兩船相遇。 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間? "第二次相遇"可以理解為二人跑了兩圈。 因此總路程為400×2 相遇時間=(400×2)÷(5+3)=100(秒) 答:二人從出發到第二次相遇需100秒時間。 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 "兩人在距中點3千米處相遇"是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是(3×2)千米，因此， 相遇時間=(3×2)÷(15-13)=3(小時) 兩地距離=(15+13)×3=84(千米) 答:兩地距離是84千米。 8、追及問題 兩個運動物體在不同地點同時出發(或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發)作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。 追及時間=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及時間 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬? (1)劣馬先走12天能走多少千米?75×12=900(千米) (2)好馬幾天追上劣馬?900÷(120-75)=20(天) 列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答:好馬20天能追上劣馬。 小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)] =300÷100=3(米) 答:小亮的速度是每秒3米。 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人? 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(22-16)小時，這段時間敵人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間=[10×(22-6)+60]÷(30-10) =220÷20=11(小時) 答:解放軍在11小時后可以追上敵人。 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(16×2)千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間， 這個時間為16×2÷(48-40)=4(小時) 所以兩站間的距離為(48+40)×4=352(千米) 列成綜合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)] =88×4 =352(千米) 答:甲乙兩站的距離是352千米。 9、植樹問題 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。 線形植樹棵數=距離÷棵距+1 環形植樹棵數=距離÷棵距 方形植樹棵數=距離÷棵距-4 三角形植樹棵數=距離÷棵距-3 面積植樹棵數=面積÷(棵距×行距) 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳? 136÷2+1=68+1=69(棵) 答:一共要栽69棵垂柳。 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹? 400÷4=100(棵) 答:一共能栽100棵白楊樹。 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈? 220×4÷8-4=110-4=106(個) 答:一共可以安裝106個照明燈。 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚? 96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(塊) 答:至少需要400塊地板磚。 例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈? (1)橋的一邊有多少個電桿?500÷50+1=11(個) (2)橋的兩邊有多少個電桿?11×2=22(個) (3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?22×2=44(盞) 答:大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。 10、年齡問題 這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住"年齡差不變"這個特點。 可以利用"差倍問題"的解題思路和方法。 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢? 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍) 答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍， 明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍? (1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲) (2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30÷(4-1)-7=3(年) 列成綜合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答:3年后母親的年齡是女兒的4倍。 甲對乙說:"當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲"。乙對甲說:"當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲"。求甲乙現在的歲數各是多少? 這里涉及到三個年份:過去某一年、今年、將來某一年。列表分析: 過去某一年 今年 將來某一年 甲 □歲 △歲 61歲 乙 4歲 □歲 △歲 表中兩個"□"表示同一個數，兩個"△"表示同一個數。 因為兩個人的年齡差總相等:□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差， 因此二人年齡差為(61-4)÷3=19(歲) 甲今年的歲數為△=61-19=42(歲) 乙今年的歲數為□=42-19=23(歲) 答:甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。 11、行船問題 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 (順水速度+逆水速度)÷2=船速 (順水速度-逆水速度)÷2=水速 順水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-順水速=順水速-水速×2 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時? 由條件知，順水速=船速+水速=320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8-15=25(千米) 船的逆水速為25-15=10(千米) 船逆水行這段路程的時間為320÷10=32(小時) 答:這只船逆水行這段路程需用32小時。 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間? 由題意得甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可見(36-20)相當于水速的2倍， 所以，水速為每小時(36-20)÷2=8(千米) 又因為，乙船速-水速=360÷15， 所以，乙船速為360÷15+8=32(千米) 乙船順水速為32+8=40(千米) 所以，乙船順水航行360千米需要 360÷40=9(小時) 答:乙船返回原地需要9小時。 12、列車問題 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 火車過橋:過橋時間=(車長+橋長)÷車速 火車追及:追及時間=(甲車長+乙車長+距離) ÷(甲車速-乙車速) 火車相遇:相遇時間=(甲車長+乙車長+距離) ÷(甲車速+乙車速) 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米? 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 (1)火車3分鐘行多少米?900×3=2700(米) (2)這列火車長多少米?2700-2400=300(米) 列成綜合算式900×3-2400=300(米) 答:這列火車長300米。 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米? 火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，這段路程就是(200米+橋長)，所以，橋長為 8×125-200=800(米) 答:大橋的長度是800米。 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間? 從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時間為 (225+140)÷(22-17)=73(秒) 答:需要73秒。 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間? 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。 150÷(22+3)=6(秒) 答:火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。 13、時鐘問題 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 分針的速度是時針的12倍， 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 變通為"追及問題"后可以直接利用公式。 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合? 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格;時針每小時走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時針多走(1-1/12)=11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為20÷(1-1/12)≈22(分) 答:再經過22分鐘時針正好與分針重合。 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角? 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格(包括分針在時針的前或后15格兩種情況)。四點整的時候，分針在時針后(5×4)格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走(5×4-15)格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走(5×4+15)格。再根據1分鐘分針比時針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時間。 (5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分) (5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分) 答:4點06分及4點38分時兩針成直角。 六點與七點之間什么時候時針與分針重合? 六點整的時候，分針在時針后(5×6)格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。 (5×6)÷(1-1/12)≈33(分) 答:6點33分的時候分針與時針重合。 14、盈虧問題 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有: 參加分配總人數=(盈+虧)÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有: 參加分配總人數=(大盈-小盈)÷分配差 參加分配總人數=(大虧-小虧)÷分配差 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。問有多少小朋友?有多少個蘋果? 按照"參加分配的總人數=(盈+虧)÷分配差"的數量關系: (1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人) (2)有多少個蘋果?3×12+11=47(個) 答:有小朋友12人，有47個蘋果。 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天;如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米? 題中原定完成任務的天數，就相當于"參加分配的總人數"，按照"參加分配的總人數=(大虧-小虧)÷分配差"的數量關系，可以得知 原定完成任務的天數為 (260×8-300×4)÷(300-260)=22(天) 這條路全長為300×(22+4)=7800(米) 答:這條路全長7800米。 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人;如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車?多少人? 本題中的車輛數就相當于"參加分配的總人數"，于是就有 (1)有多少車?(30-0)÷(45-40)=6(輛) (2)有多少人?40×6+30=270(人) 答:有6輛車，有270人。 15、工程問題 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出"一項工程"、"一塊土地"、"一條水渠"、"一件工作"等，在解題時，常常用單位"1"表示工作總量。 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作"1"，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾)，進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。 工作量=工作效率×工作時間 工作時間=工作量÷工作效率 工作時間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率) 變通后可以利用上述數量關系的公式。 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成? 題中的"一項工程"是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位"1"。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10;乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15;兩隊合做，每天可以完成這項工程的(1/10+1/15)。 由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天) 答:兩隊合做需要6天完成。 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個? 解一 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成(1/6-1/8)，二人合做時每小時完成(1/6+1/8)。因為二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以 (1)每小時甲比乙多做多少零件? 24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個) (2)這批零件共有多少個? 7÷(1/6-1/8)=168(個) 答:這批零件共有168個。 解二 上面這道題還可以用另一種方法計算: 兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8=4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7 所以，這批零件共有24÷1/7=168(個) 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成? 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60÷12=560÷10=660÷15=4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 (60-5×2)÷(6+4)=5(小時) 答:還需要5小時才能完成。 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池;當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池;現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管? 注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。 要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。 我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為(1×4×5)，2個進水管15小時注水量為(1×2×15)，從而可知 每小時的排水量為(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為1×4×5-1×5=15 又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2， 所以，2小時內注滿一池水 至少需要多少個進水管?(15+1×2)÷(1×2) =8.5≈9(個) 答:至少需要9個進水管。 16、正反比例問題 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。 解決這類問題的重要方法是:把分率(倍數)轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。 正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米? 由條件知，公路總長不變。 原已修長度∶總長度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12 現已修長度∶總長度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于(4-3)份，從而知公路總長為300÷(4-3)×12=3600(米) 答:這條公路總長3600米。 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題? 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題則有28∶4=91∶X 28X=91×4X=91×4÷28X=13 答:91分鐘可以做13道應用題。 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完? 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系 設X天可以看完，就有24∶36=X∶15 36X=24×15X=10 答:10天就可以看完。 17、按比例分配問題 所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式:一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。 從條件看，已知總量和幾個部分量的比;從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數=比的前后項之和 先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數作分母，比的前后項分別作分子)，再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵? 總份數為47+48+45=140 一班植樹560×47/140=188(棵) 二班植樹560×48/140=192(棵) 三班植樹560×45/140=180(棵) 答:一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米? 3+4+5=1260×3/12=15(厘米) 60×4/12=20(厘米) 60×5/12=25(厘米) 答:三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。 如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2 9+6+2=1717×9/17=9 17×6/17=617×2/17=2 答:大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。 某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人? 80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人) 答:三個車間一共820人。 18、百分數問題 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需;分數既可以表示"率"，也可以表示"量"，而百分數只能表示"率";分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數;百分數有一個專門的記號"%"。 在實際中和常用到"百分點"這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。 掌握"百分數"、"標準量""比較量"三者之間的數量關系: 百分數=比較量÷標準量 標準量=比較量÷百分數 一般有三種基本類型: (1)求一個數是另一個數的百分之幾; (2)已知一個數，求它的百分之幾是多少; (3)已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾? (1)用去的占720÷(720+6480)=10% (2)剩下的占6480÷(720+6480)=90% 答:用去了10%，剩下90%。 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾? 本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以(525-420)÷525=0.2=20% 或者1-420÷525=0.2=20% 答:男職工人數比女職工少20%。 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾? 本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此 (525-420)÷420=0.25=25% 或者525÷420-1=0.25=25% 答:女職工人數比男職工多25%。 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾? (1)男職工占420÷(420+525)=0.444=44.4% (2)女職工占525÷(420+525)=0.556=55.6% 答:男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。 19、"牛吃草"問題 "牛吃草"問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫"牛頓問題"。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。 草總量=原有草量+草每天生長量×天數 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完? 草是均勻生長的，所以，草總量=原有草量+草每天生長量×天數。求"多少頭牛5天可以把草吃完"，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛?設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答: (1)求草每天的生長量 因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即(1×10×20);另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以 1×10×20=原有草量+20天內生長量 同理1×15×10=原有草量+10天內生長量 由此可知(20-10)天內草的生長量為 1×10×20-1×15×10=50 因此，草每天的生長量為50÷(20-10)=5 (2)求原有草量 原有草量=10天內總草量-10內生長量=1×15×10-5×10=100 (3)求5天內草總量 5天內草總量=原有草量+5天內生長量=100+5×5=125 (4)求多少頭牛5天吃完草 因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5=25(頭) 答:需要5頭牛5天可以把草吃完。 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完;如果只有5人淘 水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完? 這是一道變相的"牛吃草"問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(相當于"牛數")，求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算: (1)求每小時進水量 因為，3小時內的總水量=1×12×3=原有水量+3小時進水量 10小時內的總水量=1×5×10=原有水量+10小時進水量 所以，(10-3)小時內的進水量為1×5×10-1×12×3=14 因此，每小時的進水量為14÷(10-3)=2 (2)求淘水前原有水量 原有水量=1×12×3-3小時進水量=36-2×3=30 (3)求17人幾小時淘完 17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為(17-2)，所以17人淘完水的時間是 30÷(17-2)=2(小時) 答:17人2小時可以淘完水。 20、雞兔同籠問題 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 第一雞兔同籠問題: 假設全都是雞，則有 兔數=(實際腳數-2×雞兔總數)÷(4-2) 假設全都是兔，則有 雞數=(4×雞兔總數-實際腳數)÷(4-2) 第二雞兔同籠問題: 兔數=(2×雞兔總數-雞與兔腳之差)÷(4+2) 雞數=(4×雞兔總數+雞與兔腳之差)÷(4+2) 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞;如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞? 假設35只全為兔，則 雞數=(4×35-94)÷(4-2)=23(只) 兔數=35-23=12(只) 也可以先假設35只全為雞，則 兔數=(94-2×35)÷(4-2)=12(只) 雞數=35-12=23(只) 答:有雞23只，有兔12只。 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝? 此題實際上是改頭換面的"雞兔同籠"問題。"每畝菠菜施肥(1÷2)千克"與"每只雞有兩個腳"相對應，"每畝白菜施肥(3÷5)千克"與"每只兔有4只腳"相對應，"16畝"與"雞兔總數"相對應，"9千克"與"雞兔總腳數"相對應。假設16畝全都是菠菜，則有 白菜畝數=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(畝) 答:白菜地有10畝。 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本? 此題可以變通為"雞兔同籠"問題。假設45本全都是日記本，則有 作業本數=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本) 日記本數=45-15=30(本) 答:作業本有15本，日記本有30本。 (第二雞兔同籠問題)雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只? 假設100只全都是雞，則有 兔數=(2×100-80)÷(4+2)=20(只) 雞數=100-20=80(只) 答:有雞80只，有兔20只。 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人? 假設全為大和尚，則共吃饃(3×100)個，比實際多吃(3×100-100)個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以"小"換"大"，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃(3-1/3)個。因此，共有小和尚 (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人) 共有大和尚100-75=25(人) 答:共有大和尚25人，有小和尚75人。 21、方陣問題 將若干人或物依一定條件排成正方形(簡稱方陣)，根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。 (1)方陣每邊人數與四周人數的關系: 四周人數=(每邊人數-1)×4 每邊人數=四周人數÷4+1 (2)方陣總人數的求法: 實心方陣:總人數=每邊人數×每邊人數 空心方陣:總人數=(外邊人數)?-(內邊人數)? 內邊人數=外邊人數-層數×2 (3)若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則: 總人數=(每邊人數-層數)×層數×4 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘;空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人? 22×22=484(人) 答:參加體操表演的同學一共有484人。 有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。 10-(10-3×2)? =84(人) 答:全方陣84人。 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人? (1)中空方陣外層每邊人數=52÷4+1=14(人) (2)中空方陣內層每邊人數=28÷4-1=6(人) (3)中空方陣的總人數=14×14-6×6=160(人) 答:這隊學生共160人。 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個? (1)縱橫方向各增加一層所需棋子數=4+9=13(只) (2)縱橫增加一層后正方形每邊棋子數=(13+1)÷2=7(只) (3)原有棋子數=7×7-9=40(只) 答:棋子有40只。 有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹? 第一種方法:1+2+3+4+5=15(棵) 第二種方法:(5+1)×5÷2=15(棵) 答:這個三角形樹林一共有15棵樹。   責任編輯: |
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