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上節我們學習了高等數學中的微分中值定理(四大定理)分別是費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理。有關證明題型的運用都是從這四大定理走出來的；今天我們學習高數中的洛必達法則。 想必在高中時期學習過有關洛必達法則的初等運用，但是在大學里面使用洛必達法則其運用的范圍有所不同。 如果當x→a(或x→∞)時，兩個函數f(x)與F(x)都趨向于零(0)或都趨向于無窮大(∞)，那么極限limf(x)/F(x)可能存在、也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為0/0或∞/∞。在第一章我們討論過的極限x→0時，limsinx/x就是未定式0/0的一個列子，對于這類極限，即使它存在也不能用'商的極限等于極限的商'這一法則。下面我們將根據柯西中值定理來推出這類極限的一種簡便且重要的方法。 我們著重討論x→a時的未定式0/0的情形，關于這情形有以下定理： 定理1 設 (1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨向于零; (2)在點a的某去心鄰域內，f'(x)及F(x)都存在且F'(x)≠0； (3)x→a,limf'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)。 那么 x→a時。limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x) 這就是說，當x→a時,limf'(x)/F'(x)存在時，limf(x)/F(x)也存在且等于limf'(x)/F'(x);當x→a時,limf'(x)/F'(x)為無窮大時，limf(x)/F(x)也為無窮大。 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則。 證：因為求f(x)/F(x)當x→a時的極限與f(a)及F(a)無關，所以可以假定f(a)=F(a)=0,于是由條件(1)(2)知道，f(x)及F(x)在點a的某一鄰域內是連續的，設x是這一鄰域內的一點，那么在以x及a為端點的區間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有 f(x)/F(x)=f(x)-f(a)/F(x)-F(a)=f'(v)/F'(v)(v在x與a之間)。 令x→a,并對上式兩端求極限，注意到x→a時v→a,再根據條件(3)便得要證明的結論。 如果f'(x)/F'(x)當x→a時仍屬于0/0型，且這時f'(x),F'(x)能滿足定理中f(x),F(x)所要滿足的條件，那么可以繼續施用洛必達法則先確定x→a時，f'(x)/F'(x).從而確定limf(x)/F(x),即 x→a,limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)=limf''(x)/F''(x) 大家注意一下，上面這個式子尤為重要，只要滿足0/0型或者∞/∞型，無論x趨向于誰,無論求導多少次，都可以使用洛必達法則。(不僅僅是x→0、x→∞) 列1：求x→0,limsinax/sinbx(b≠0) 解：x→0,limsinax/sinbx=limacosax/bcosbx=a/b 列2：求x→1,lim(x^3-3x+2)/(x^3-x^2-x+1) 解：x→1,lim(x^3-3x+2)/(x^3-x^2-x+1)=lim(3x^2-3)/(3x^2-2x-1)=lim6x/(6x-2)=3/2 注意：上式中的x→1,lim6x/(6x-2)已經不是未定式，不能對它應用洛必達法則，否則要導致錯誤結果。以后使用洛必達法則時應當注意這一點，如果不是未定式，就不能應用洛必達法則。 列3：求x→0,lim(x-sinx)/x^3 解：x→0,lim(x-sinx)/x^3=lim(1-cosx)/3x^2=limsinx/6x=1/6 我們指出，對于x→∞時的未定式0/0以及對于x→a或x→∞時的未定式∞/∞，也有相應的洛必達法則。列如對于x→∞時的未定式0/0有以下定理。 定理2 設 (1)當x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨向于零； (2)當IxI>N時f'(x)與F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)x→∞，limf'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)， 那么 x→∞，limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x). 列4：求x→+∞，lim(π/2-arctanx)/(1/x) 解：x→+∞，lim(π/2-arctanx)/(1/x)=lim(-1/(1+x^2))/(-1/x^2)=limx^2/(1+x^2)=1 列5：求x→+∞，limlnx/x^n(n>0) 解：x→+∞，limlnx/x^n=lim(1/x)/nx^(n-1)=lim1/(nx^n)=0. 列6：求x→+∞，limx^n/e^(vx)(n為正整數,v>0) 解：相繼應用洛必達法則n次，得 x→+∞，limx^n/e^(vx)=limnx^(n-1)/ve^(vx)=limn(n-1)x^(n-2)/v^2*e^(vx)=.....=limn!/v^n*e^(vx)=0 事實上，如果列6中的n不是正整數而是任何正數，那么極限仍為零。 對數函數lnx、冪函數x^n(n>0)、指數函數e^(vx)(v>0)均為當x→+∞時的無窮大，但從列5、列6可以看出，這三個函數增大的'速度'是很不一樣的，冪函數增大的'速度'比對數函數快的多，而指數函數增大的'速度'又比冪函數快的多。 下表列出了x分別取10,100,1000時，函數lnx,√x,x^2及e^x相應的函數值，從中可以看出當x增大時這幾個函數增大的'速度'快慢的情況。
其他還有一些0*∞、∞-∞、0^0、1^∞、∞^0型的未定式，也可通過0/0或∞/∞型的未定式來計算，下面用列子說明。 列7：求x→0+，limx^nlnx(n>0). 解：這是未定式0*∞，因為 x^nlnx=lnx/(1/x^n) 當x→0+時，上式右端是未定式∞/∞，應用洛必達法則，得 x→0+,limx^nlnx=limlnx/x^(-n)=lim(1/x)/(-nx^(-n-1))=lim(-x^n/n)=0 列8：求x→0，lim(tanx-x)/x^2sinx 解：如果直接用洛必達法則，那么分母的導數(尤其是高階導數)較繁，如果作一個等價無窮小替代，那么運算就方便得多，其運算如下： x→0，lim(tanx-x)/x^2sinx=lim(tanx-x)/x^3=lim(sec^2-1)/3x^2 =lim2sec^2xtanx/6x=1/3limtanx/x=1/3 最后，我們指出，本節定理給出的是求未定式的一種方法。當定理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為∞)，但當定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在，這就是說，當limf'(x)/F'(x)不存在時(等于無窮大的情況除外)，limf(x)/F(x)仍可能存在。 本節主要講的是何為洛必達法則，什么情況下可以用洛必達法則，滿足什么條件可以用洛必達法則以及洛必達法則的性質、定理。 洛必達法則的存在最實際的意義就在于其銜接極限、導數、一元函數微積分以及后面要講解的泰勒公式等。所以其地位不可或缺，所以請同學們及時收藏并分享下，防止遺漏。 下節課我們學習利用導數研究函數的性態。 |
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