高等數(shù)學(xué)——詳解洛必達(dá)法則

今天和大家一起復(fù)習(xí)的是洛必達(dá)法則，這個法則非常重要，在許多問題的解法當(dāng)中都有出現(xiàn)。雖然時隔多年，許多知識點都已經(jīng)還給老師了，但是我仍然還記得當(dāng)年大一的時候，高數(shù)老師在講臺上慷慨激昂的樣子。

上篇文章當(dāng)中我們回顧了微分中值定理，今天要說的洛必達(dá)法則其實是微分中值定理一個經(jīng)典的應(yīng)用。所以有遺忘或者是新關(guān)注的同學(xué)可以點下下方的鏈接回顧一下上篇文章的內(nèi)容。

一文講透高數(shù)中的微分中值定理

我們學(xué)習(xí)的目的往往很樸素，就是學(xué)以致用，之前的時候我總覺得這種想法有些現(xiàn)實，后來我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)了不能致用的知識都忘得差不多了。所以盡管我們的心態(tài)要放好，但是操作的時候可以實際一些，先從用處入手，也許能更好地理解也說不定。

洛必達(dá)法則的應(yīng)用場景非常簡單，就是能解決一些一下子無法求解的極限問題。不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)，不管在什么領(lǐng)域，總有一些一下子無法解決的問題。伴隨著對這些問題的研究，我們的技術(shù)和理論在不斷的進(jìn)步，工作在不斷地簡化，效率越來越高。無論是數(shù)學(xué)上某個領(lǐng)域的突破還是計算機(jī)當(dāng)中某些工具的迭代和演進(jìn)，莫不如此。

我們之前介紹極限的文章當(dāng)中講過一道例題：

在這題當(dāng)中，由于x趨向于0的時候， sinx 和x都趨向于0，我們要計算0除以0的結(jié)果，當(dāng)時為了解決這個問題，我們用上了夾逼法，對它進(jìn)行了縮放之后才得到了極限。類似的極限還有很多，本質(zhì)上來說問題在于當(dāng)分子和分母都趨向于0時，我們很難計算得到結(jié)果。

再比如x/x^2，這個問題很簡單，只要進(jìn)行約分，那么就是 1/x 的極限，x趨向于0時，顯然 1/x 趨向于無窮大。但如果不約分呢？它就是一個極限0除以極限0的問題，和上面的結(jié)果不同，它的比值結(jié)果是無窮大。

洛必達(dá)法則就是為了解決上述這些極限問題而出現(xiàn)的。

洛必達(dá)法則的本質(zhì)是一個定理，它規(guī)定，如果一個形如

的極限，如果它滿足：

1. x趨向于常數(shù)a時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨向于0
2. 在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)和F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，并且F'(x) 不等于 0
3. 存在 lim f'(x)/F'(x)

那么：

也就是當(dāng)變量趨向于一個常數(shù)時，如果分子分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么我們可以用導(dǎo)數(shù)的極限比值來代替原函數(shù)的比值。

我們來試著證明這個定理，如果你回顧了微分中值定理的話，這個定理的證明非常簡單。我們來試一下證明。

由于函數(shù)在a點的去心鄰域可導(dǎo)，也就是說函數(shù)在這個a的去心鄰域內(nèi)連續(xù)。那么我們套用柯西中值定理，在x趨向于a時，可以得到在區(qū)間(a, x)內(nèi)找到一個點ξ，使得：

到這里還差一點，因為還少了一個條件，書上的解釋是由于函數(shù)比值的極限與函數(shù)值無關(guān)，所以可以假設(shè)f(a)和F(a)等于0。我個人覺得這樣有些不厚道，就和證明過程里寫易證、易得是一樣的。其實我們只要將這兩做差，證明一下差值等于0即可。

通分之后，可以得到：

到這里，不難看出來，當(dāng)x趨向于a的時候，上面的差值趨向于0，所以：

由于x趨向于a的時候，ξ也趨向于a，那么我們就得到了：

我們學(xué)會了洛必達(dá)法則之后就可以活學(xué)活用來解決一些比較棘手的極限問題了。比如剛才我們舉的例子就再也不是問題了。

再來看一個：

到這里我們還是無法得到結(jié)果，看樣子是卡殼了。但是別著急，洛必達(dá)法則是可以嵌套使用的。原因很簡單，只要我們把 f'(x) 看成是新的 f(x)，F(xiàn)'(x) 看成是新的 F(x)，只要新的函數(shù)還滿足洛必達(dá)法則的使用條件，那么我們可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。也就是說，我們可以得到：

當(dāng)然使用嵌套也存在前提，前提就是二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 F''(x) 不等于0。同樣的道理，只要高階導(dǎo)數(shù)存在，并且分母不為0，我們可以一直嵌套下去。所以洛必達(dá)法則也可以稱為套娃法則[狗頭]。有了套娃之后，問題就簡單了，上面的問題我們只要往下套就行了：

除了套娃之外，洛必達(dá)法則還存在一個著名的變形。前面討論的使用范疇都是在x趨向于一個常數(shù)的情況下的，其實在一些特殊的情況下，當(dāng)x趨向于正無窮時，我們一樣可以套用洛必達(dá)法則。和基礎(chǔ)版本一樣，同樣需要函數(shù)f(x)和F(x)滿足一些條件：

1. x趨向于正無窮時，f(x)和F(x)同時趨向于0或者無窮
2. 存在N使得當(dāng)|x| > N時，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
3. 存在lim f'(x)/F'(x)

我們來看個例子：

我們可以看出來，當(dāng)x趨向于無窮的時候，分子分母都趨向于無窮。所以我們可以使用洛必達(dá)法則：

洛必達(dá)法則在高數(shù)當(dāng)中非常重要，尤其是在計算極限的時候，很多看起來很麻煩的極限在經(jīng)過洛必達(dá)法則的轉(zhuǎn)換之后說不定就簡單得多。

但是關(guān)于洛必達(dá)法則使用的限制看起來有些麻煩，其實我們只需要牢記兩點即可。第一點是不管x趨向于什么值，只要保證分子分母同時趨向于0或者是無窮，并且導(dǎo)數(shù)存在，且分母的導(dǎo)數(shù)不為0即可。也就是說如果分子分母的極限不同時為0或者無窮大，則不能使用洛必達(dá)法則。這一點一定要牢記，因為在我們多次使用洛必達(dá)法則的過程當(dāng)中，很有可能出現(xiàn)分子分母不在滿足這個條件的情況，我們在使用的時候一定要銘記。

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參考資料

維基百科
高等數(shù)學(xué)（上海交大出版社）
程序員的數(shù)學(xué)