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??? 概率論有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關。 ??? 16世紀意大利的一些學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題，例如比較擲二個骰子出現總點數為9或10的可能性大小。 ??? 17世紀中葉，法國數學家B.帕斯卡，P.de.費馬及荷蘭數學家惠更斯基于排列組合的方法研究了一些比較復雜的賭博問題，解決了“合理分配賭注問題”（即歷史上有名的“得分問題”）“輸光問題”等等，其方法不是直接計算賭徒贏局的概率，而是計算期望的贏值，從而導致了現今成為數學期望的概念（由惠更斯明確提出）。 ??? 概率論成為數學的一個分支的真正奠基人則是瑞士數學家雅各布第一·伯努利。他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數定律，這個結果發表于他死后八年(1713)出版的遺著《推測術》。 ??? 1716年前后，A.棣莫弗用他導出的斯特林公式（即：）進一步證明了漸進地服從正態分布（德國數學家C.F.高斯于1809年研究測量誤差理論時重新導出正態分布，故亦稱為高斯分布），這里，后來法國數學家P.S.拉普拉斯將棣莫弗的這一結果推廣到一般的的情形，后世稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理，這是概率論中第二個基本極限定理的原始形式。 ??? 拉普拉斯對概率論的發展貢獻很大，他在系統總結前人工作的基礎上寫出了《概率的分析理論》（1812年出版后又再版6次），在這一著作中，他首次明確規定了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數，從而實現了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡，將概率論推向一個新的發展階段。拉普拉斯非常重視概率論的實際應用，對人口統計學尤感興趣。 ??? 繼拉普拉斯之后，概率論的中心研究課題是推廣和改進伯努利大數定律及棣莫弗—拉普拉斯極限定理，在這方面俄國數學家切比雪夫邁出了決定性的一步，1866年他用自己創立的切比雪夫不等式建立了有關獨立隨機變量序列的大數定律，次年又建立了有關各階絕對矩一致有界的獨立隨機序列的中心極限定理。 ??? 1901年，A.M.李亞普諾夫利用特征函數方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列，證明了中心極限定理，他利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態分布。此后，辛欽，A.H.科爾莫哥洛夫，P.萊維及W.費勒等人在隨機變量序列的極限定理方面作出了重要貢獻，到20世紀30年代末，有關獨立隨機變量序列的極限定理已臻完備。 ??? 由于實際問題的需要，特別是受物理學的刺激，從20世紀初開始，人們開始研究隨機過程。1905年A.愛因斯坦和R.斯莫盧霍夫斯基各自獨立地研究了布朗運動，他們從不同的概率模型求得了運動質點的轉移密度，但直到1923年，N.維納才利用三角級數首次給出了布朗運動的嚴格數學定義，并證明了布朗運動軌道的連續性。1907年馬爾可夫在研究相依隨機變量序列時，提出了現今稱為馬爾可夫鏈的概念，而馬爾可夫過程的理論基礎則由柯爾莫哥洛夫在1931年所奠定。所有關于隨機過程的研究，都是基于分析方法，即將概率的問題轉化為微分方程或泛函分析的問題來解決。從1938年開始，萊維系統深入地研究了布朗運動，他充分利用了概率的直覺性，將邏輯與直覺結合起來，倡導了研究隨機過程的一種新方法，即概率方法。萊維對概率論的另一個重要貢獻是建立了獨立增量過程的一般理論，他的著作《隨機過程與布朗運動》（1948年）至今仍是隨機過程理論的一本經典著作。 ??? 現代概率論的另外兩個代表人物是J.L.杜布和依騰清，前者創立了鞅論，后者創立了布朗運動的隨機積分理論。
??? 在概率論發展史中特別值得一提的是柯爾莫哥洛夫在1933年建立了概率論的公理化體系，早在拉普拉斯給出了概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，它是研究有無窮多個可能結果的隨機現象問題的。著名的蒲豐投針問題（1777年）就是幾何概率的一個早期例子。19世紀，幾何概率逐步發展起來了，到19世紀末，卻出現了一些自相矛盾的結果，以著名的貝朗特悖論為例：在圓內任作一弦，求其長超過了圓內接正三角形邊長的概率。此問題可以有三種解法，得出三個不同的答案：，，。所以會產生這種情況，是因為當一隨機試驗有無窮多個可能結果時，有時很難客觀地規定“等可能”這一概念，這反映了幾何概率的邏輯基礎是不夠嚴密的，幾何概率這類問題說明了拉普拉斯關于概率的古典定義帶有很大的局限性，當嚴密的概率公理化系統建立后，幾何概率才能健康地發展并有廣泛的應用。 ??? 到了19世紀下半葉，概率論在統計物理學中的應用及概率論的自身發展已經突破了概率的古典定義，但關于概率的一般定義則始終未能明確化和嚴格化。這種情況嚴重阻礙了概率論的進一步發展和應用，又落后于當時數學的其他分支的公理化潮流。1900年德國數學家D.希爾伯特在第二屆世界數學家大會上公開提出了建立概率論公理化體系的問題（即著名的23個數學問題之一）。 ??? 20世紀初完成的勒貝格測度和勒貝格積分理論以及隨后發展起來的抽象測度和積分理論，為概率論公理體系的確立奠定了理論基礎，人們通過對概率論的兩個最基本的概念即事件與概率的長期研究，發現事件的運算和集合的運算完全類似，概率與測度有相同的性質。到了30年代，隨著大數定律研究的深入，概率與測度有的聯系愈來愈明顯，例如強、弱大數定律中的收斂性與測度論中的幾乎處處收斂及依測度收斂完全類似。在這種背景下，柯爾莫哥洛夫于1933年在他的《概率論基礎》一書中第一次給出了概率的測度論式地定義和一套嚴密的公理體系。這一公理體系著眼于規定事件及事件概率的最基本的性質和關系，并用這些規定來表明概率的運算法則，它們是從客觀實際中抽象出來的，既概括了概率的古典定義，幾何定義及頻率定義的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之處，這一公理體系一經提出，迅速獲得舉世公認，它的出現，是概率論發展史上的里程碑，為現代概率論的蓬勃發展打下了堅實的基礎。 |
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