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這是一篇 硬核文章 喜歡生活大爆炸，因為喜歡外星人一樣的 Dr. Sheldor Cooper 。各種強迫癥，各種折騰人，還各種秀智商，除了劇里的人受不了，恐怕沒有觀眾不愛他了吧。最近，只想做一條咸魚的我又開始看 Sheldor 藐視同伴的智商了。
Sheldor的笑話（S10E21） 上面是我最近看到的 Sheldor 同志講的一個笑話，看完后當時我就震驚了，what the hell? 這居然是個笑話？可我連他在說什么都不知道啊。原來Sheldor 不只是在藐視同伴的智商，也同時在告訴我自己有多失敗。 不過，好奇的我還是去百度了一下，明白這里的笑話是以海森堡的不確定性原理為基礎的，該理論是說，粒子的位置與速度不可同時被確定，而Sheldor在笑話中把海森堡比作了粒子。 不確定性原理 沃納·卡爾·海森堡 不確定性原理由德國物理學家海森堡于1927年提出，是量子力學的重要概念之一。該原理表明，精確確定一個粒子（例如原子核周圍電子）的位置和動量（速度）是不可能的，位置的不確定程度越小，則動量的不確定程度越大，反之亦然，用公式表示為 其中Δx表示粒子位置的不確定程度，Δp 表示粒子動量的不確定程度，h表示普朗克常數，這個數很小很小，約等于 6.626x10-34J·s。 從上面公式中可以看到，如果我們完全確定了粒子的位置，也就是說 Δx=0 ，那么要想滿足上面的不等式，只能讓 Δp=∞ ，此時粒子的動量（速度）可以是任意值（完全不確定），反之亦然。 當然我們也可以降低標準，讓位置和速度的測量都不那么精確，此時兩個量同時不確定。 我們知道，在宏觀中，同時確定一個物體的位置和速度是很容易的（考試題目除外），為什么會在微觀世界中存在這么反直覺的現象呢？這還要從粒子的波粒二象性說起。 波粒二象性 波粒二象性說的是，一切物質都具有波粒二象性，物質在某些情況下會表現出粒子的性質，但在某些情況下會表現出波的性質。德布羅意給出了物質動量p的計算公式 其中l表示物質的波長。目前來看，宏觀物體還沒有表現出波動性，這里僅僅討論微觀粒子。 從這個公式我們可以得到一條重要信息，就是粒子的動量和波長呈反比關系。二者之間的直接聯系表明，動量大小體現了粒子的波動性。而粒子的位置描述的顯然是其粒子性。我們知道，粒子和波是相互矛盾的兩個對象，我們無法準確描述一個波的位置，也無法準確描述一個粒子的波長，不確定性原理正是二者矛盾性的一種體現。 波與粒子的矛盾 應該說，上面的解釋可以作為不確定性原理的定性理解方式。想要從最嚴格的角度解釋不確定性原理，我們還需要適當引入一些量子力學的基礎知識。 不確定性原理的精確解釋 開始之前先說一下，量子力學和其它很多學科的不同的地方就在于，它會給所有東西都起一個很高大上的名字，讓身處物理世界之外的同學望而生畏。比如說，粒子的狀態可以用波函數來描述，一般記ψ（其實用y表示也不是不行，但是就顯得有點太low了）。 我們可以通過操作波函數獲得粒子的能量、動量、位置等等所有物理量的信息。操作手段很多，比如說可以對波函數求導，給波函數乘以一個數，等等。不同的操作手段可以得到不同的物理量信息，量子力學也給這些手段起了個很高大上的名字，叫算符。 下面單獨考慮一下位置算符和動量算符，其中位置算符 而動量算符 （這里不用管為什么，直接把物理學家給出的結果拿來用一下就行），對任意一個波函數ψ，考察下面這個積分 這里的*表示一個數的復共軛， 顯然該式子是大于0的。整理一下可以得到 值得注意的是，位置的不確定程度 Δx 和動量的不確定程度 Δp 分別滿足 再令
這里使用了位置算符和動量算符的表達式，并代入了得到的
取
則有
這樣就得到了海森堡的不確定性原理
上面的式子展示了不確定性原理產生的根源，即g≠0，也就是
或者
量子力學對這種現象也起了個很高端的名字，稱兩個算符不對易。如果兩個算符交換位置后的乘積相等，就稱這兩個算符對易。那么，結論就很清晰了，不確定性原理的出現就是由位置算符和動量算符不對易造成的。 如何理解
這種奇怪現象呢？我們借用一些其他事物來類比一下。 學過線性代數的同學都知道，對于兩個矩陣A和B，AB和BA的值不一定相等，算符和矩陣有著相同的性質。再比如說，我喜歡一個妹子，但是反過來，妹子不喜歡我，那么我們之間的關系也是不對易的。 好了，有了不對易的概念之后，我們只剩下最后一個問題，為什么算符的不對易會導致不確定性原理呢？ 先說一下波函數，它表示了粒子的狀態，在每種狀態下，粒子的速度和位置都存在一個概率分布。但有一些狀態是比較特殊的，這些狀態叫本征態，如果是位置的本征態，那么粒子的位置就完全確定，反之，如果是動量的本征態，那么粒子的動量就完全確定。 所以說，如果粒子的位置和動量具有相同本征態，那么粒子的位置和動量就可以同時確定，而位置算符和動量算符不對易造成了它們沒有共同本征態。 對于對易算符而言，二者仿佛心有靈犀，只用用心去尋找，就能找到共同本征態，就像是如果你和女神相互喜歡，只要你們去努力，總能找到自己的共同本征態。 然而，現實很殘酷，往往是我喜歡女神，但女神卻對我毫無感覺，無論多么努力，兩個人之間總是存在隔閡。很不幸，位置和動量就是這樣的一對冤家，所以它們兩個也就永遠不能同時被確定了。 不確定性原理的另一種解釋 另外，也有一些解釋認為，不確定性原理是由于測試手段的限制造成的。比如說使用光照到一個粒子上的方式來測量一個粒子的位置和速度，為了精確測定粒子位置，必須用短波長的光，但波長太短則意味著光的能量越大，對粒子的擾動也就越大，對粒子動量的測量也就越不精確；如果想要精確測量粒子的動量，那就要用波長較長的波，那么就不能精確測定粒子的位置。 這里需要說明的是，本人認為該解釋并非導致不確定性原理的真正因素，其真正來源仍然應該是算符不對易。 最后講幾個和不確定性原理相關的笑話結束全文： 1. 費曼說他一直無法理解非對易性，直到有一天，他在夜店嘗試過一些新鮮的動作之后，終于領悟到AB≠BA。 2. Q: Why is the particle physicist bad lover? A: Because when they find the momentum, they can’t find the position. Whenthey find the position, they can’t find the momentum. 作者：王艷寧，男，27歲，西安交通大學在讀博士，數學物理愛好者，崇拜Dr. Sheldon Cooper！ |
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