理解微積分真諦：微分方程

精要復習

前面我們講了導數/微分：

“導數”是函數的原因，函數是“導數”的結果。

引出了積分：

不定積分，是把函數降維投影，求到了一系列的投影 F(x) +C。

定積分，是“原因”f(x) 經過一段過程（a to b）所造成的結果改變。

微分方程

如果您從前面的專欄一路學過來，就會有一種感覺，“微積分”的核心對象并不是“微分”與“積分”，其實應該是：

原函數 與 導函數

而微分積分只是研究原函數與導函數之間關系的一種方法。

如果，我們知道原函數與導函數之間的關系，如何求出原函數呢？這就是：

微分方程（Differential equation，DE）

比如，函數 y=x 的導數為1，那么反過來問：什么函數的導數為1呢——

y' = 1

這就是最簡單的微分方程了。解就是：

y = x+C

微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的——

階

所以上面就是一階微分方程。

那為啥解里多個 C 呢，因為很顯然，x+C 的導數也是1呀，它也滿足方程給出的條件。

除非再加個條件：

y(0) = 0

這樣，解就只能是 y=x 了，這種條件叫做

微分方程的初始條件

微分方程的應用

微分方程的應用太多太多，甚至我們可以說，微積分能有今天這種科學基石的地位，很大一部分來自微分方程。

例幾個應用一看便知：

力學

• 動力學中的牛頓第二運動定律
• 歐拉－拉格朗日方程
• 哈密頓力學

熱力學

• 熱力學中的牛頓冷卻定律
• 熱力學中的熱傳導方程

電磁學

• 麥克斯韋方程組

流體力學

• 納維－斯托克斯方程
• 對流－擴散方程

導管中氣流的仿真：納維－斯托克斯方程

材料學

• 泊松方程

生物學

• 威爾霍斯特方程–生物族群增長模型
• 生物個體增長模型
• 洛特卡－沃爾泰拉方程–掠食者和獵物的動態模型

經濟學

• 布萊克-休斯方程
• 索洛模型
• 馬爾薩斯模型

太多了

• 廣義相對論中的愛因斯坦場方程
• 量子力學中的薛定諤方程
• 復變分析中的柯西－黎曼方程
• 分子動力學中的泊松－玻爾茲曼方程

根本數不過來，可以說，沒有微分方程，就沒有現代科學。

為啥應用這么廣

還記得我們前面講過的么——

“導數”是函數的原因，函數是“導數”的結果。

要解釋物體的位移現象，就要研究速度；要解釋速度，就要研究加速度。

研究一個量的導數的規律，才有可能從根本上理解這個量的規律。

解微分方程

列出微分方程就算是解決了一大半問題，另一半就是解方程了。

然而事實上，微分方程不太好解，教材上一般也就列舉了幾種很特殊的微分方程的解法，但其實真到了使用微分方程的時候，往往不在這幾種列舉的范圍之內。

所以，除要考試或以數學為專業外，建議不要花時間在學習如何手算解微分方程上。

這個時代，直接用計算機求解唄！這么好的工具，一定要擅于使用。

'君子生非異也，善假于物也'

——《勸學》

MATLAB求解微分方程解析解

求微分方程的解析解，就是要求出函數的表達式。

MATLAB中，一般用這個函數就能搞定：

例，解方程：

syms a y(t)eqn = diff(y,t) == a*y;dsolve(eqn)ans =C2*exp(a*t)

簡單吧，注意方程里的等號，要寫成“==”。

（MATLAB中，==表示等于，=表示賦值）

高階的也一樣啊：

如果有初始條件，就把初始條件也寫成一個方程的形式，跟在方程后面，如：

syms y(t) aeqn = diff(y,t) == a*y;cond = y(0) == 5;ySol(t) = dsolve(eqn,cond)ySol(t) =5*exp(a*t)

微分方程數值解

其實，能求出解析解的微分方程并不多，基本都是“線性微分方程”和“低階的特殊微分方程”，一般的非線性微分方程根本求不出解析解，只能求出數值解。