歐拉乘積公式中的有趣結論和黎曼Zeta函數(shù)

繼續(xù)前一篇歐拉級數(shù)的文章探討歐拉級數(shù)給我們帶來的不可思議的結論:

首先進行如下變換：

整理得：然后用第一行減去第二行

就得到兩個神奇的有關π的美妙級數(shù)：

讓我們繼續(xù)回顧上面的兩個等式，第一行減去第二行：

我們又得到一個優(yōu)美的有關π的級數(shù)

我們把歐拉級數(shù)指數(shù)2換成z，把含有π的分數(shù)替換成ζ（z）

就得到著名的黎曼Zeta函數(shù)：

繼續(xù)替換上述的兩個式子：把含有π的分數(shù)替換成ζ（z），2換成z

開始假設z=1，我們得到如下，如果假設第一行的無窮級數(shù)是收斂的，那么第二行和第三行肯定也是收斂的：

你會發(fā)現(xiàn)，第二行和第三行左邊都相等，但第二行右邊大于三行右邊，多以假設不成立，得到第一行級數(shù)時發(fā)散的，趨于無窮大。

我們將級數(shù)乘以1/3^z

用第一行減去第二行：

右邊分母是3的倍數(shù)的全部消去得到：

我們將上式乘以1/5^z，同理然后在相減得到：右邊分母是5的倍數(shù)的全部消去

重復下去就得到如下級數(shù)：你會發(fā)現(xiàn)左式的分母上全部是素數(shù)

就得到著名的黎曼 ζ函數(shù)與歐拉乘積公式之間的重要關系

我們假設z=1，結果是無窮大的，說明素數(shù)有無窮多個

我們假設z=2，結果又是趨于無窮的，因左邊的π是個無理數(shù)

變換得到著名的黎曼 ζ函數(shù)下的歐拉乘積公式

它建立了素數(shù)與歐拉級數(shù)之間的橋梁：

也給出了一條重要結論，任意選兩個自然數(shù)，他們互為質數(shù)的概率時6/π^2。

上述就是有歐拉級數(shù)延伸出來的黎曼ζ函數(shù)和歐拉乘積公式。